数学建模微分方程模型市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

微分方程模型2怎样预报人口增加3

怎样施救药品中毒4

人口预测和控制模型1目标跟踪问题动态模型

描述对象特征随时间(空间)演变过程.

分析对象特征改变规律.

预报对象特征未来性态.

研究控制对象特征伎俩.

依据函数及其改变率之间关系确定函数.微分方程建模根据建模目和问题分析作出简化假设.

按照内在规律或用类比法建立微分方程.1目标跟踪问题

设位于坐标原点甲舰向位于x轴上点A(1,0)处乙舰发射导弹，导弹头一直对准乙舰．假如乙舰以最大速度v0(常数)沿平行于y轴直线行驶，导弹速度是5v0，求导弹运行曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？由(1),(2)消去t,整理得模型:解法二(数值解法)1．建立M文件eq1．m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序以下：

x0=0，xf=0．9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b．')holdony=0:0．01:2;plot(1,y,’b*')

结论:导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰.令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组．结果见图导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰，与前面结论一致．返回

结论：时刻t=0．21时，导弹在（1，0．21）处击中乙舰．背景

年份1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况

年份1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加2怎样预报人口增加做出较准确预报建立人口数学模型指数增加模型——马尔塞斯1798年提出惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r

是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加.与惯用公式一致?指数增加模型应用及不足

与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合.

适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代.

可用于短期人口增加预测.

不符合19世纪后多数地域人口增加规律.

不能预测较长久人口增加过程.19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)阻滞增加模型——Logistic模型人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)指数增加模型Logistic模型应用

经济领域中增加规律(耐用消费品售量).

种群数量模型(鱼塘中鱼群,森林中树木).S形曲线参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm.模型参数预计、检验和预报

指数增加模型阻滞增加模型由统计数据用线性最小二乘法作参数预计例：美国人口数据(百万)t186018701880…1960197019801990x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2022/，x0=6.0450模型参数预计、检验和预报

指数增加模型阻滞增加模型r=0.2557/，xm=392.0886年实际人口计算人口(指数增加模型)计算人口(阻滞增加模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.3422.1指数增加模型阻滞增加模型用模型计算美国人口误差约2.5%与实际数据比较(281.4)=274.5模型参数预计、检验和预报

为作模型检验在参数预计时未用实际数据加入数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0x()=306.0预报美国人口美国人口普查局12月21日公布：截止到4月1日美国总人口为3.087亿.预报误差不到1%！场景3怎样施救药品中毒两位家长带着孩子急急忙来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱每次用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒,200μg/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子血药浓度会不会到达100~200μg/ml；假如会到达，应采取怎样紧急施救方案.调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药品体外认为血液系统内药品分布，即血药浓度是均匀，能够将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”

.药量x(t)药量y(t)血液系统对药品吸收率(胃肠道到血液系统转移率)和排除率能够由半衰期确定.半衰期能够从药品说明书上查到.通常，血液总量约为人体体重7%

~8%，体重50~60kg成年人有4000ml左右血液.目测这个孩子体重约为成年人二分之一，可认为其血液总量约为ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量

口服活性炭来吸附药品，可使药品排除率增加到原来（人体本身）2倍.临床施救方法：

体外血液透析，药品排除率可增加到原来6倍，不过安全性不能得到充分确保.模型假设

1.胃肠道中药品向血液转移率与x(t)成正比，百分比系数λ(>0)，总剂量1100mg药品在t=0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药品排除率与y(t)成正比，百分比系数μ(>0)，t=0时血液中无药品.3.氨茶碱被吸收半衰期为5h，排除半衰期为6h.4.孩子血液总量为ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药时刻为起点（t=0）.模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(百分比系数λ),总剂量1100mg药品在t=0瞬间进入胃肠道.转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药品体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增加速度是λx，由排除而降低速度与y(t)成正比(百分比系数μ),t=0时血液中无药品.模型求解

药品吸收半衰期为5h药品排除半衰期为6h只考虑血液对药品排除血液总量ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子抵达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将致命！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使药品排除率μ增至原来2倍.

孩子抵达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155×2=0.2310施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后马上下降，可算出μ最少应为0.4885.若采取体外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中药量下降更加快；临床上是否需要采取这种方法，当由医生综合考虑并征求病人家眷意见后确定.偏微分方程与数学模型/10/10济南大学数学科学学院24偏微分方程偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理学、力学、工程技术以及其它自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等研究中归纳出来一些含有未知函数及其偏导数方程/10/10济南大学数学科学学院25什么是偏微分方程？

/10/10济南大学数学科学学院26物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置

---------------物理量改变规律(偏微分方程)例子

/10/10济南大学数学科学学院27研究内容

/10/10济南大学数学科学学院28普通规律+定解条件(初始条件、边界条件)定解问题定解问题适定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）稳定性（Stability）+附加条件方程4人口预测和控制年纪分布对于人口预测主要性.只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程p0(r)~已知函数(人口调查)f(t)~生育率(控制人口伎俩)0tr生育率分解~总和生育率h~生育模式0人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育多少~生育模式——控制生育早晚和疏密正反馈系统滞后作用很大人口指数1）人口总数2）平均年纪3）平均寿命t时刻出生人，死亡率按(r,t)计算平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高5

烟雾扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四面扩散，形成圆形不透光区域.不透光区域不停扩大，然后区域边界逐步明亮，区域缩小，最终烟雾消失.建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各原因关系.问题分析无穷空间由瞬时点源造成扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度改变.观察到烟雾消失与烟雾对光线吸收、以及仪器对明暗灵敏程度相关.模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风影响；扩散服从热传导定律.2）光线穿过烟雾时光强相对降低与烟雾浓度成正比；无烟雾大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定.模型建立1）烟雾浓度改变规律热传导定律：单位时间经过单位法向面积流量与浓度梯度成正比.