最新高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一局部】知识复习【第二局部】典例讲解考点一：幂函数例1、比拟大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，那么m=A．0B．1C．2D．3解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，那么有，又，故为偶函数，故m为1．例3、幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如下图，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、以下函数是幂函数的是〔〕A．y=2xB．y=2x－1C．y=(x＋1)2、以下说法正确的是〔〕A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、以下函数中，定义域为R的是〔〕A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是〔〕A．B．C．D．5、以下函数中，不是偶函数的是〔〕A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x6、假设f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，那么〔〕A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、假设y=f(x)是奇函数，那么以下坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是〔〕A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))8、，那么以下正确的是〔〕A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、假设函数f(x)=x2＋ax是偶函数，那么实数a=〔〕A．－2B．－110、f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，那么满足f(x)>0的的取值范围是〔〕A．B．(0，1)C．D．11、假设幂函数的图象过点，那么_____________．12、函数的定义域是_____________．13、假设，那么实数a的取值范围是_____________．14、是偶函数，且在上是减函数，那么整数a的值是_____________．DACADABACD9、，函数为偶函数，那么有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，那么有函数f(x)在上单调递增，那么当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．那么满足f(x)>0的．11、解析：点代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：那么有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．考点二：指数函数例1、假设函数y=ax＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，那么〔〕A.a>1B.a>1且m<0例2、假设函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、假设关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．例4、函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、如果函数〔a>0，且a≠1〕在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=ax向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，那么必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．应选B．答案：B例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，那么y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的局部.根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,那么y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(ax)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，那么．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0,＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，那么，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=ax>0，那么y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．假设a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．假设0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈．∴当时，．解得〔舍去〕．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．2、函数是〔〕A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是〔〕A．B．C．D．4、,那么函数的图像必定不经过〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为〔〕A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是〔〕A．B．C．D．7、函数的单调递增区间是〔〕A．B．C．D．8、，那么以下正确的是〔〕A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．10、以下说法中，正确的是〔〕①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、假设直线y=2a与函数y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，那么a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不管a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递增区间是___________.15、9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、假设关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、f(x)＝〔a>0且〕．〔1〕求f(x)的定义域、值域．〔2〕讨论f(x)的奇偶性．〔3〕讨论f(x)的单调性．答案及提示：1-10DADADDDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，那么有，解得y>0或y<－1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，那么函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2)提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，那么≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，那么0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．18、解：〔1〕定义域为R．．．∴值域为〔－1，1〕．〔2〕，∴f(x)为奇函数．〔3〕设，那么当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)〔a∈R〕.〔1〕假设函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；〔2〕假设函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例3、的最大值和最小值以及相应的x值.例4、f(x)=loga(ax－1)〔a＞0，a≠1〕.〔1〕求f(x)的定义域；〔2〕讨论f(x)的单调性；〔3〕求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.例1解：由－x2＋2x＋3＞0，得x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为(－1，3)；又令g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当x∈(－1，3)时，0＜g(x)≤4.∴f(x)≥=－2，即函数f(x)的值域为[－2，＋∞〕；∵g(x)=－(x－1)2＋4的对称轴为x=1.∴当－1＜x≤1时，g(x)为增函数，∴为减函数.当1≤x＜3时，g(x)为减函数，∴f(x)为增函数．即f(x)在〔－1，1]上为减函数；在[1，3〕上为增函数．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；假设f(x)的值域为R，那么g(x)的值域为B必满足B〔0，＋∞〕，通过对a的讨论即可．解答：〔1〕令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.〔2〕因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，那么B〔0，＋∞〕.假设a＜0，那么B=〔－∞，1－]〔0，＋∞〕；假设a=0，那么B=R，满足B〔0，＋∞〕.假设a＞0，那么△=4－4a≥0，∴a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而〔3〕中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：〔1〕ax－1＞0得ax＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为〔0，＋∞〕，当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为〔－∞，0〕.〔2〕令g(x)=ax－1，那么当a＞1时，g(x)=ax－1在〔0，＋∞〕上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=logax在〔0，＋∞〕上是增函数，∴logag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在〔0，＋∞〕上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=logax在〔0，＋∞〕上是减函数，∴logag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在〔－∞，0〕上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．〔3〕∵f(2x)=loga(a2x－1)，令y=f(x)=loga(ax－1)，那么ax－1=ay，∴ax=ay＋1，∴x=loga(ay＋1)(y∈R)．∴f－1(x)=loga(ax＋1)〔x∈R〕．由f(2x)=f－1(x)，得loga(a2x－1)=loga(ax＋1)．∴a2x－1=ax＋1，即(ax)2－ax－2=0.∴ax=2或ax=－1〔舍〕．∴x=loga2.即y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图象是〔〕A．B．C．D．2、将y=2x的图象〔〕，再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是〔〕A．〔1，＋∞〕B．〔2，＋∞〕C．〔－∞，2〕D．〔1，2]4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=〔〕A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋35、函数的递增区间是〔〕A．〔－∞，1〕B．〔2，＋∞〕C．〔－∞，〕D．〔，＋∞〕6、f(x)=|logax|，其中0<a<1，那么以下各式中正确的是〔〕A．B．C．D．7、是〔〕A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、0<a<1,b>1，且ab>1，那么以下不等式中正确的是〔〕A．B．C．D．9、函数f(x)的图象如下图，那么y=log0.2fA．B．C．D．10、关于x的方程〔a＞0，a≠1〕，那么〔〕A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递增区间是___________.12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.13、假设关于x的方程至少有一个实数根，那么a的取值范围是___________.14、〔a＞0，b＞0〕，求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2－x＋b，log2f(a)=2，且f(log2(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f16、函数f(x)=loga(x－3a)〔a＞0且a≠1〕，当点P〔x，y〕是函数y=f(x)图象上的点时，点Q〔x－2a，－y〕是y=g(x)图象上的点.〔1〕写出y=g(x)的解析式；〔2〕假设当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.答案及提示：1-10DDDDABBBCC1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确.∴应选D.2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.3、由≥0，得0<x－1≤1，∴1<x≤2.5、应注意定义域为〔－∞，1〕∪〔2，＋∞〕，答案选A.6、不妨取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B.10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，作