函数精讲课件

函数y=Asin（gdx+（J））（精讲）知识点精析【知识点的知识】.五点法作y=Zsin(CM+tp')(J>0,a>>0)的简图找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为:(1)先确定周期7="，在一个周期内作出图象；(2)令X=3x+(P,令X分别取0,—,n,型L,2tt,求出对应的x值，列表如下:2 2X-曳3-A+2L323兀-。co34_03CO2兀-03a)x+(p0n"Tn3兀22tuy=Jsin（3C+Q）0A0-A0由此可得五个关键点；(3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y=4sin(3+0)的简图..振幅、周期、相位、初相当函数(3x+<p)({>0,o)>0),xG(-°°,+8)表示一个振动量时，则比叫做振幅，7=2T3叫做周期，叫做频率，3吐里叫做相位，隼叫做初相.函数y=4cos(3x+(p)的最小正周期为二，y=Atan()的最小正周期为丁二例题精讲【例题1] (2021春•静宁县校级月考)已知函数y=2sin(2+^).26(1)试用“五点法”画出它的图象；列表:1 几-X+一2 6Xy作图:0.8-0.60.40.2-IIIII IiIIIIIIiIIIIIIIIIIIIInO- ji 2n 冗4n 5九 2冗 加 阮 3冗12支 ““-02- 3 3 3 T 3 3 3 30.4-0.6-0.8-1■1.2-(2)求它的振幅、周期和初相；(3)根据图象写出它的单调递减区间.【分析】(I)根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期的大致图象即可：(2)根据振幅、周期和初相的概念，由解析式直接写出；(3)由图象直接写出，注意最小正周期为41.

【解答】解析：⑴令/+2列表如下:Xn~~32乃T51T84T11万~Yt0n5nT2乃y020-20(3)由图象得单调递减区间［丝+4^,—+4k^］(keZ).【点评】本题考查了“五点法”作图，三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题.【例题2】 (2021秋•道里区校级月考)某同学用“五点法”画函数/(x)=/sin3x+s)(4>0,0>0,|夕|<1)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：cox-\-(p0n~2n3乃T2万X357r3Xsin(<yx+w)02-20(I)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数/(外的解析式；(II)若函数g(x)=U/(2x+^)-叭x+工)+叭生在［-工，刍上的最大值为2,求实数a的值.2 6 6 3 22【分析】由表格确定三角函数的解析式，再由g(x)的解析式代入/(x)进行化简，换元法求函数的最值得a的值.

co=1rr1，co=1rr1，又4=2,所以/(x)=2sin(x ),(p= 6【解答】解：依题意？ 2,解得,TOC\o"1-5"\h\z5乃 3万 卜(P=—所以表格数据如下:cox+(p071~2713万~21.71Xn~62冗TIn~65zrT13乃~6~力sin(tyx+Q)020-20TOC\o"1-5"\h\zrr rr /-rr(2)因为80)=彳"(2'十二)一旷(》+工)+4(丁,2 6 o3所以g(x)=[2sin((2x+-) )—2asin((xh—) )+2asin(( x) )—tz]—1>2 6 6 6 6 3 6所以g(x)=-^[2sin2x-2asinx+2acos ♦所以g(x)=sin2x-a(sinx-cosx)-gq-1BPg(x)=2sinxcosx-a(sinx-cosx)-^a ,令Z=sinx-cosx=\[2sin(x—-),4则2sinxcosx=l?/,所以原函数转化为〃")=1一『一点一;Q一1=一/一改一；々,因为[—生二],22所以止[-&,1b因为函数〃")=-/-a，-ga的对称轴为/=-£,-^<-72卜五一?所以2或2h(-y/2)=2万(-卞=2或卜A，[〃⑴=2解得。=?2或aJ五+8.7【点评】本题考查三角函数的解析式，及函数的最值问题，g(x)解析式较难化简，再换元法求最值，属于难题.【例题3】 (2021•西城区校级开学)已知三角函数/(x)=3sin(2x-X).6(I)函数/(x)的最小正周期7=_1_:(H)函数/(x)的值域为一；(111)函数/(x)的单调递增区间为一；(IV)函数“X)的对称中心为一；(V)函数/(x)的图像可由函数y=3sin2x向右平移个单位得到；(VI)利用“五点作图法”作出函数/(x)的一个周期的图像.【分析】由正弦函数的图象与性质及五点法作图分别求解即可.【解答】解：/(x)=3sin(2jr--)>6函数的最小正周期T=g=”,函数/(x)的值域为[-3,3],令一工+2〃万..2x--„—+2k7r,keZ,TOC\o"1-5"\h\z2 62解得一工+人阳.x,上+k九，所以函数f(x)的单调递增区间为[-2+k兀,—+k7i](kgZ),6 3令2x—工=左乃，keZ,6解得+ ,keZi12 2所以函数/(x)的对称中心为(4•+9•,0)(〃EZ),因为f(x)=3sin(2x--)=3sin2(x-—),6 12所以函数/(x)的图像可由函数y=3sin2x向右平移合个单位得至人列表如下;Xn1271T7乃775万T131~V2_ 71ZX—60兀7U3万T2乃y030-30描点、连线如图所示:故答案为：n:[-3,3]；[--+k7t,-+^](JteZ)：(―+—,0)(^eZ)；—.6 3 12 2 12【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，五点法作函数y=4sin(0x+g)的图象，考查运算求解能力,属于基础题.【例题4】 (2021春•石景山区校级期中)将函数y=sin2x向右平移。个单位得到函数y=/(x).(I)求、=/(X)的解析式；(II)用“五点法”做出函数y=/(x)在一个周期内的函数图像.【分析】(I)利用三角函数的图象变换求解即可；(II)确定关键的“五点”的坐标，作出函数图象即可.【解答】解：(I)将函数y=sin2x向右平移?个单位得到函数歹=/(x)=sin[2(x-?)]=sin(2x-日),所以/(x)=sin(2x-—)；(II)五点为：6,0),塔,1)彦,0),(粤,-1),件,0),3 12 6 12 3作出一个周期的图象如图所示.【点评】本题考查了三角函数的图象变换的应用，三角函数图象的作法，解题的关键是确定关键的“五点”,考查了逻辑推理能力，属于基础题.【例题5】 (2021春•洛阳期中)已知/(x)=2sinx(sinx+cosx).(1)求函数/(x)的单调递增区间及最大值；(2)用“五点法”画出函数y=/(x)在区间［0,上的图象.【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，进而利用正弦函数的性质即可求解.(2)用“五点法”列表，描点，连线即可.【解答】解：(1)/(x)=2sinx(sinx+cosx)=sin2x-cos2x+1=41sin(2x--)+1,4可得f(x)的最大值M=V2+1,2k7r-—„2x--2k7T+—,kezt求得人乃一工..★，十2,ksz,2 4 2 8 8故函数的增区间为［公r-生，k7t+—］,kwz.8 8(2)由题意列表如下:X0n3乃T51-8~7乃TnC 乃2x 4冗0几~2TCTIn~Tf(x)01V2+111-V20描点连线可得函数图像如下:

【点评】本题考查了五点法作函数歹=4sin(3x+p)的图象和正弦函数性质的运用，属于基础题.【例题6】 (2021•和平区校级开学)已知函数〃x)=2sin(2x+马.6(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数“X)在［0,乃］上的图像；(2)将函数y=/(x)的图像向右平移工个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵6(2)根据三角函数的图象平移变换关系求出g(x)的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.【解答】解：⑴/(x)=2sin(2x+—),列表如下:6X0n654InTU乃~V2n

c 冗2x+-6冗~6n2n2万131~12/(X)120-201描点连线画出函数/(x)在一个周期上[0,幻的图象如图所示:(2)将函数y=/(x)的图像向右平移C个单位后，可得y=2sin[2(x-&)+C]=2sin(2x-2)，TOC\o"1-5"\h\z6 6 6 6再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin(x-工)的图像，6令2k兀 ,,x ”2k7TH—,keZ、2 6 2解得2k兀--„x.2k兀+—,keZ,3 3可得g(x)的单调递增区间为：[2^-1,2^+—],kwZ.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了三角函数的图象平移变换关系，利用五点法作图结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.【例题7] (2021•西城区校级开学)某同学用“五点法”画函数/(x)=Asin((yx+(p\A>G,(o>Q,\(p\<-)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：cox^(p0n~2n3乃~22/rXn2万Ty=Asin(69x+(p)0200(1)请将如表数据补充完整；函数/(x)的解析式为/"(x)=_2sin(2x+马_(直接写出结果即可);6(2)求函数的单调递增区间.【分析】(1)由函数的最值求出力,由周期求出。，由五点法作图求出0的值，可得函数的解析式.(2)利用正弦函数的单调性，求得函数/(x)的单调递增区间.【解答】解：(1)把表格填完整：a)x+(p0n~2n31T2万X71"12n7II24T1~ny-Asin(69x+(p)020-20根据表格可得、生=生-2,2a)3 6：.(D=2・再根据五点法作图可得2xC+/=工，6 271(P=—,6・•・函数的解析式为：/(x)=2sin(2x+-).6(2) 2x+p,2^+1,求得版'gx, 可得函数/(x)的单调递增区间为［-工+观，兀1 . —-+K7t\9keZ.故答案为：2sin(2x+-).6【点评】本题主要考查由函数y=Xsin(5+/)的部分图象求解析式，由函数的最值求出4,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题.［例题8］ (2021•让胡路区校级开学)设函数/(x)= -yfisin2cox-sin@xcos<ux(<y>0),且y=/(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为巴.4(1)求o的值；(2)用“五点法”作出函数“X)在区间［0,句上的图像.【分析】(1)利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式对函数进行化简，得〃x)=-sin(23x-2),由题意得函数的周期为T=Ax±=兀，利用三角函数的周期公式加以计算可得。的值；4(2)根据五点法即可作函数y=Zsin(s+/)的图象.【解答】解：(1)f(x)= ylisin2cox-sincoxcoscox百rr1-cos2tyx1,c 73 sin2coxcos2a)x--sin2(ox2=—sin(26yx—y),因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为c,4又3〉0>所吟=4十因此刃=1.(2)由(1)可得y=-sin(2x-?),2x--3710n~2冗34V5乃TX0n6772乃T1\n~\2ny百T0-I01百T或者化为y=cos(2x+令,2x+—6n7n27t37r22/r13万X0n71227TT1\n~\2ny百~20-101百~21———i u 1 1 1 I । I4. ♦ A.—।।•Vr\1 1 1r-!i•/r-TN । 1N i ।! ：'/1 1 /I\!：1:/::\\0一架一5兀刍.L11兀—126A；12力3「；3y\s\1\?!!! ;I'一 【点评】本题考查了五点法作函数y=4sin(ox+9)的图象、三角恒等变换公式、三角函数周期公式和正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题.【例题9] (2020秋•鼓楼区校级期末)已知函数/(x)usinZxQcos。^-D+cosZxsinMOv夕＜”)图象的一条对称轴为x=&.3(1)求。的值与函数〃x)的解析式；(2)在(1)的前提下，(i)根据“五点法”填入表格中空白部分数据，并画出函数〃x)在xw[-卫，工]的图像：126X_7£~12(ox+(p0nIn~6f(x)0i0(ii)若xe[-主，5时，方程/(x)-m=0有两个不同的实数解x2,求实数m的取值范围及占+x2的126值：(3)已知函数g(x)=/(经-2)+cosox在区间[0,1]上恰有50次取得最大值，求正数。的取值范围.【分析】(1)对函数解析式进行化简，利用对称轴，建立方程，解得9,进而可得函数解析式.(i)利用五点法列表格.(ii)作出xe［-主二］时，〃x)的图象，结合图象解得胆的取值范围，进而可得X?关于x=-三对称,126 6即可得出答案.(3)g(x)=f(~--yy)+coscox=&sin®x+()，若g(')取得最大值，则sin(sr4--^)=-y-»函数g(x)=/(掾-^O+cosgx在区间［0，1］上恰有50次取得最大值，则等价于^=sin®x+?),在区间［0，1］上恰有50次取得上，列出不等式，即可得出答案.2【解答】解：(1)f(x)=sin2x(2cos(i)--1)+cos2xsin^>(0<(i)f(x)=sin2xcoscp+cos2xsin勿=sin(2x+(/)),因为0<8<乃，图象的一条对称轴为％=工，3jr jr所以2x—+夕=%乃+—,keZ3 2所以q=左力_A,keZ因为0<e<乃,所以k=1时，(p=n--=—,6 6即/W=sin(2x+——)・6(ii)若卫二］时，方程/(x)-加=0有两个不同的实数解芭，x2,126则机的取值范围为1),函数人无)在［-去会上的对称轴为工=-7，所以石,〃关于对称,TOC\o"1-5"\h\z所以M+%=2x(--)=--、6 3/］、/、C/SX5乃 .d5乃5乃g(x)=/( )4-coscox=sin［2( )H J+coscox=sincox+cos(ox\o"CurrentDocument"2 12 2126=5/2sin(6?x+—),4若g(x)取得最大值，则&sin(ox+X)=l,即sin(<yx+?)= »因为函数g(x)=f号-11)+coss:在区间［0,1］上恰有50次取得最大值，则等价于丁=$出(。工+生)，在区间［0,I］上恰有50次取得也，函数y=sin(qx+X)的最小正周期F=—,4 co所以257+J1<26T+O,a)>02coik1_—27r7T( 、/21日以25x—+—,,1<26x—+0,CD2(0 CD所以正数co的取值范围,52兀).【点评】本题考查三角函数的图象与性质，解题中需要理清思路，属于中档题.【例题10】(2021春•南阳期末)函数〃x)=4sin3x-工)+1,(4>0,0>0)的最大值为3,其图像相邻6两条对称轴之间的距离为三.2(1)求函数f(x)的解析式和函数/(x)的单调递增区间；(2)/(x)的图像向右平行移动专个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)的图像，写出函数g(x)的解析式并作出g(x)在［0,%］内的图像.2-【分析】(1)由函数的最值求出力,由周期求出。，可得函数的解析式，从而利用正弦函数的单调性，求得它的增区间.(2)由题意利用函数y=，sin(ox+s)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，结合五点法作图，得到它在［0,n\内的图象.【解答】解：(1)•.•函数/(x)=/lsin(0x-¥)+l,(4>0,0>0)的最大值为4+1=3,6A=2.TOC\o"1-5"\h\z•.•其图像相邻两条对称轴之间的距离为1乂生=工，.・.。=2,故/(x)=2sin(2x-X)+l.2(0 2 6令2k兀-工,，2x一工”2k汽+工,求得A;r一工,,工，%乃+工,2 6 2 6 3可得函数的增区间为［公r-生，&万+2］,keZ.6 3(2)把/(x)的图像向右平行移动个长度单位，可得y=2sin(2x-10+l的图象；再向下平移1个长度单位，得到g(x)=2sin(2x-?)的图像，故函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x-y).下面用五点法作图作出它在［0,%］内的图像.

列表：由xe[O,n],可得2x-g€[-g,—],八 兀2x 3n0n~27t31T51TX0n~654~n2万T1U~n7Cy—y/i020-2-73作图如下:【点评】本题主要考查由函数y=/sin（ox+夕）的部分图象求解析式，由函数的最值求出Z,由周期求出0.还考查了函数y=4sin（ox+夕）的图象变换规律，五点法作图，于中档题.举一反三【变式1］ (2020秋•鼓楼区校级期末)已知函数/(x)=J^sin(2x-?).(1)利用“五点法”完成以下表格，并在下图中画出函数/(x)在区间［工，里］上的图象;88(2)求出函数“X)的单调减区间._ 712x 40冗2n3万TX7T749乃Tf(x)0600【分析】(1)由题意根据五点法作图，画出函数/(x)在区间弓，系］上的图象.(2)由题意利用正弦函数的单调性，求得函数“X)的单调减区间.【解答】解：⑴对于函数/(x)=JIsin(2x-?),在区间亨,］上，2x-?€［0,2汨,列表：c 兀2x 40n~2n3/r~22乃Xn3乃57rIn9兀88888fM0V20—x/20作图:

(2) 2kn+—M2x--„2kjr+-»求得人乃十二,，工，人乃十』，TOC\o"1-5"\h\z2 4 2 8 827r 77r可得函数/(x)的减区间为伏力+把，^+―],kwZ.8 8【点评】本题主要考查由函数y=Xsin(Ox+9)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，属于中档题.【变式2] (2021春•顺德区期末)已知函数/(x)=3sin(0x+s),(o>0,\(p\<^.从下面的两个条件中任选其中小①/⑴=3c-+3Amxcos”?②若小)=3,/⑺=。，且1%-x2।的最小值为£,/(0)=-；求解下列问题：(I)化简/(x)的表达式并求/(x)的单调递增区间；(II)请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象.【分析】若选①：(1)利用三角恒等变换化简/(X)的解析式，然后利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可;(II)列出表格，作出图象即可.若选②：(I)先求出函数的周期，进而求出3,由/(0)的值，求出少,得到函数/(X)的解析式，然后利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可：(II)列出表格，作出图象即可.【解答】解：若选①：3(I)/(%)=3cos2x+3V3sinxcosx——3八「、2G.e3=—(1+cos2x)+ sin2x TOC\o"1-5"\h\z373..3 .= sinzx+—cos2x2 2=3sin(2x+令，令-三+2k兀、、2x+—„—+2kn,解得一工+左兀，x,三+k兀,kwZ,2 62 3 6所以函数f(x)的单调递增区间为［-巳+k兀:+kn\keZ.3 6(II)表格如下:-- - 兀X=2x4—60n~27TT27rXn12n7~T22乃3Ibr12y030-30函数在一个周期内的图象如图所示:若选②：TT(I)因为/(再)=3,/(x2)=0,且|芭-当1的最小值为一，4所以工=£,则7="，所以@=二=2,TOC\o"1-5"\h\z44 T3又"0)=5，所以3sin0=3,解得0=工，2 6所以/(x)=3sin(2x+—),6令+2k2x+—,,—+2k兀»解得+k九、、乂，—+k冗,kwZ，62 3 6所以函数〃x)的单调递增区间为[-工+收■，工+%T],%eZ.6(II)表格如下:”一汽X=2x+—60n27t31T2乃X71~1271~65/r~V2241\nITy030-30函数/(X)在一个周期内的图象如图所示:【点评】本题考查了三角函数的图象和性质的应用，涉及了三角函数解析式的求解，三角恒等变换的应用,三角函数的周期性以及单调性，''五点”法的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.【变式3] (2021•金安区校级开学)某同学用“五点法”画函数/(x)=/sin(0x+e)(/>0,0>0,|何<乙)在某•个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表:a)x+(p0n2-n31T2万Xn72;rAsin(s+*)020-20(1)请将上表数据补充完整，并求出函数/(X)的解析式；(2)将、=f{x)图象上所有点向左平行移动3个单位长度，得至ljy=g(x)图象，求y=g(x)的图象离原点。最近的对称中心.【分析】(1)根据五点法进行求解即可.(2)根据函数平移关系求出函数g(x)的表达式，利用正弦函数的图像和性质即可求解.【解答】解：(1)将表数据补充完整如下：cox+(p0n~2nTXTCn5万2万1U12612312Asin(6>x+(p)020-20根据表中已知数据可得：A=2,函数表达式为/(x)=2sin(2x+—).6(2)由(1)知/(x)=2sin(2x+X),6/.g(x)=2sin[2(x+—)+—]=2sin(2x+为,12 6 3「.y=sinx的对称中心为(左肛0),keZ,令2工+工=〃]，ke九,解得“伊-专，keZ,即尸g(x)图象的对称中心为仔-2,0),keZ,其中离原点O最近的对称中心为(-^,0).【点评】本题主要考查了五点法作函数^=/sin(0r+0)的图象，由y=4sin(5+w)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题.【变式4] (2021春•奉贤区期中)已知函数》=45由(5+夕)(4>0,0>0,|°|<1)在一个周期内，当X.时，y有最大值为2,当x=g时，y有最小值为-2.(1)求函数y=/sin(5+9)表达式；(2)并画出函数y=4sin(s+0)在一个周期内的简图.(用“五点法”)；（3）当xw[O,g时，求函数的最值.【分析】（1）根据题意得4=2,周期为7="，求出。=2,<p=-,从而得到函数的解析式;6（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；TOC\o"1-5"\h\z（3）求出xe[O,2]时2x+^的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值.2 6【解答】解：（1）在1个周期内，当工=工时y有最大值为2,当空时y有最小值为-2,6 3所以4=2,且函数的周期7=2x（红-工）=]，所以。=至=2.3 6 T把（工，2）RA/（x）=2sin（2x+p）,W2x—+^=—+2kn>keZ；6 , 6 2解得e=巳+2%乃，keZ9结合|°|<工，取左=0,得°=6 2 6所以函数表达式为y=2sin（2x+-）.6（2）由题意列表如下:2x+-6071~27T3乃T2万X7t12715兀122乃T11不y=2sin(2x+.020-20描点、连线，画出函数在I个周期号上的简图如下:TOC\o"1-5"\h\z(3)xe[O,工]时，2x+-e[-,—],所以sin(2x+K)e[-L1],2 6 6 6 6 2所以2%+工=—,即工=巳时，y=2sin(2x+—)=-1为最小值；6 6 2 62%+看=1，即x时，y=2sin(2x+令=2为最大值.所以，当x=C时，y有最小值为-1,当》=工时，y有最大值为2.2 6【点评】本题考查了函数y=/sin(5+夕)的图象与性质的应用问题，是基础题.【变式5】 (2020秋•永昌县校级期末)设xwR,函数/(x)=cos(2x-§.(1)求/(x)在R上的单调增区间：(2)在给定坐标系中作出函数/(x)在[0,乃]上的图象.【分析】(1)由条件根据余弦函数的单调性即可求解.(2)由条件利用五点法作函数函数、=4«)式的+夕)在一个周期上的简图.【解答】解：(1)由于xeR,函数/(x)=cos(2x-马，令—4+2k九..2x ,,2k1t解得+k兀、、x,—fkjr>kwZ,

可得函数/(x)的单调递增区间是[-工+左;r,-+kn],keZ.3 6(2)f(x)=cos(2x-—)>列表如下:2x--37T一10n~27T37rT5兀TX0n777T1\n~12n〃x)1210-10\_2作图:【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，用五点法作函数函数y=4cos(〃)x+»)在一个周期上的简图，属于基础题.知识点精析【知识点的知识】函数y=sinx的图象变换得到y=Zsin（3x+@）（J>0,3>0）的图象的步骤法二平移31个雌位一同一平移31个雌位一同一画出,v=、inx的图柒横*I，标变为晚来的《倍得到\=sin（.t+g的图象横啜标变为蛆来的白倍向左（<p<>横啜标变为蛆来的白倍向左（<p<>>或向右平移*1个小位sin(«n+<p)的图望双t标变为腕来的A双t标变为腕来的A倍{5}到y=Asin(u»k+S的图象"—|霍|—•纵32标变为原来的A倍配到y=Asin3rz)的图®两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是依个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换,平移的量是m（3>o）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的.3例题精讲例题精讲【例题1】【例题1】（2021秋•金台区期中）已知曲线G:y=cosx,C2:y=sin（2x+—）,则下面结论正确的是（6上各点的横坐标伸长到原来的2倍,上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移II个单位长度，得到曲线CB.把G上各点的横坐标伸长到原来的B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移区个单位长度，得到

6曲线GC.把0C.把0上各点的横坐标缩短到原来的g倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移工个单位长度，得到

6TOC\o"1-5"\h\zD.把G上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移工个单位长度，得到1 2 3曲线G【分析】利用诱导公式，函数y=Zsin(5+⑼的图象变换规律，得出结论.【解答】解：曲线。2：力=sin(2x+区)=cos(2x+工)=cos2(x+&),6 3 6把G：V=cosx上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，可得y=cos2x的图象，再把得到的曲线向左平移工个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos2(x+^)=sin(2x+红)的图象，6 6 6故选：C.【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=4sin®x+⑼的图象变换规律，属于基础题.【例题2】 (2021秋•泰兴市期中)把函数y=sin(x-生)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数y=/(x)的图象，则/(x)=( )a•/X5乃 ./X71、A.sin( ) B.sin( )212 212C.sin(2x-D.sin(2x--jy-)【分析】由题意利用函数y=Zsin(s+e)的图象变换规律，得出结论.【解答】解：把函数y=sin(x-工)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，4可得y=sin(—-工)的图象；再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数夕=〃X)=5呜-„$呜-总的图象,故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Zsin(s+9)的图象变换规律，属于基础题.【例题3】 (2021秋•绵阳月考)把函数/(x)=3sin(2x+工)的图象向右平移工个单位长度，再把横坐标6 6缩短到原来的,倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(xJ=g(X2)-6,X1,x? ,则再-马的最大值为( )【分析】先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g(x)的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果.TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：将/(x)的图象向右平移工个单位，得到y=3sin[2(x-工)+K]=3sin(2x-K),6 6 6 6再把横坐标缩短到原来的-倍，得到g(x)=3sin(2-2x--)=3sin(4x--),2 6 6由题意，要使g(M)=g(X2)-6,再，x2e\-n,乃],jr jr jrk冗只需gajnga)*，g(x2)=g(x)m(u,SC4X,--=--+2k7t,k&Z,x, ^gZ……①,o 2 1Z2/冗式、71r n、k兀.z^x4x) =—F2"产,〃wZ, =—I ,kgZ {2},~62 26 2由①式，当A=2时，*的最大值为业；由②式，左=-2时，%的最小值为一红，12 ， 6故士-当的最大值为--(--)=—.1 2 12 6 4故选：C.【点评】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题.【例题4】 (2021秋•九江期中)已知函数f(x)=2sin(@x+工)(0>0)的最小正周期为1,且/'(x)图象向右平移生个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的对称中心为( )4A.咛+奈0)(皿) B.咛得,0)(*)C.(与+/,0)(%eZ) D.(粤-：，0)(kwZ)4 6 4 6【分析】由生=如得，。的值，根据函数图象“左加右减”的平移原则，可得g(x)的解析式，再结合正弦2co函数的对称中心，即可得解.【解答】解：由巳=生得，0=4,2CDjr所以/(x)=2sin(4x+y)»所以g(x)=2sin[4(x-()+§=2sin(4x-牛)，令4x——=k冗，keZ、则x=—+—,kwZ,4 6所以g(x)的对称中心为(也+工，0),keZ.6故选：C.【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，正弦函数的中心对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.【例题5】 （2021秋•河南期中）将函数/（x）=sin（ox+程）®>0,0<9<5）的图象向右平移。个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，向左平移生个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称，且/（x）在区6间（包，工）上单调，则3的最大值为（ ）A.11 B.9 C.7 D.5【分析】根据函数/（x）=sin（5+o）平移后分别为奇函数和偶函数可求出0=1+2（&J，&gZ,k2gZ,根据〃x）在区间（葛，夕上单调，求出。的范围，从而可求出。的最大值.【解答】解：将/（x）=sin3+e）的图象向右平移/单位长度后，得到函数万皿蛆-号+夕）的图象,因为其图象关于原点对称，则-卒+0=左因，k、wZ,将/（x）=sin（ox+s）的图象向左平移出个单位长度后得到函数y=sin（ox+煞+仍的图象，6 6因为其图象关于y轴对称，则型+夕=&乃+工，k2eZ,6 2所以@=1+2（%2-勺），勺wZ,k2eZ,又因为〃x）在区间（卫，生）上单调，则工-红=£.工，所以0<恁12,12 2 21212G当0=11时，函数/（X）的一条对称轴丫=工+网=吗e（红，-）,则人幻在（红，2）上不单调，611 66 12 2 12 2当。=9时，函数（x）的两条相邻对称轴x[+,x=^+y=|,所以喑，乡在两条相邻对称轴之间，则/（x）在（空，工）上单调，则0的最大值为9.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：函数y=4sin（ox+3）的图象变换和正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.【例题6】 （多选）（2021秋•鲤城区校级期中）已知函数/（x）=cos（2°x-马（O>0）的最小正周期为工，6 2将/（x）的图象向左平移三个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,6得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）g（0）=0g(x)在[0,自上单调递减g(x)的图象关于x=-工对称4g(x)在上的最大值是1【分析】由题意利用函数y=4sin(s+p)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：•函数/(x)=cos(2tyx-令(0>0)的最小正周期为,.,.0=2,将fM的图象向左平移三个单位长度，可得y=cos(4.t+X)=-sin4x的图象；6 2再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得至IJ函数g(x)=-sin2x的图象.由于g(0)=-sin0=0,故/正确；在[0,自上，2xe[0,扪，g(x)没有单调性，故8错误：令*=-工，求得g(x)=l,是最大值，故g(x)的图象关于x=-工对称，故C正确；TOC\o"1-5"\h\z4 4在[-二，工]上，2x€[--,目•],故当工+工=-工时，g(x)取得最小为值-,，故。错误，123 6 3 6 6 2故选：AC.【点评】本题主要考查函数y=Zsin(如+9)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题.【例题7】 (多选)(2021秋•青岛期中)将函数/(x)=sin(2x+“)(-;r<9<;r)的图象向左平移三个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+?)的图象，则下列说法正确的是( )A.(0=——3B.函数/(x)的图象关于点((,0)成中心对称C.函数“X)的最小正周期为不D.函数“X)的一个单调递增区间为【分析】求出平移之后的/(X)解析式/(X+?),令g(x)=/(x+§可求得夕，从而求得/(X)的解析式，然后逐一判断选项即可.【解答】解：将函数f(x)=sin(2x+<<p<7t)的图象向左平移2个单位长度的/(x+—)=sin[2(x+—)+(p}=sin(2x+—+<p),

rr -rr根据函数/(x)=sin(2x+s)(-”<s(万)的图象向左平移-个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+§)的图象,所以可得9=-工，力正确；由/=-2,所以/(x)=sin(2x-§,jr令2x =k兀,keZf3所以x"+竺，kez,6 2所以〃x)的对称中心为仁+竿，0),keZ,点号,0)不满足，故8错误；函数f(x)的最小正周期为手=乃，故C正确；是正弦函数的一个单调递增区间，故。正确；故选：ACD.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.【例题8】 (多选)(2021秋•扬州期中)已知函数/(x)=sin(2x-工)，则下列结论中正确的有( )“X)的图象的对称中心为(竺+生，0)(%wZ)2 6/(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移2个单位得到“X)在xe[-工，马上的值域为63D.方程f(x)=l在xe[0,扪上的根为x=A【分析】由/(x)=sin(2x-工)，由2X-&=%乃，即可判断Z,利用函数的图象变换即可判断8,利用三角函数的定义域与值域即可判断C,解方程sin(2x-2)=l,xe[0,,即可判断。.【解答】解：A：由2x-巳=Att,%eZ得函数/(x)=sin(2x-X)的对称中心是(竺+工，0),(ZeZ),3 3 2 6所以选项4正确；B：把尸sin2x的图象向右平移(个单位，得到y=sin2(x-g)=sin(2x-争，所以选项8错误；C：当xe[-工,X],2x--e[--,-),sin(2x--)€[-1,—],所以〃x)在xe[-三二]上的值域为[-1,63 3 3 3 3 2 63-怖],故C错误；D：当xw[O.4],令/(x)=sin(2x-q)=1,解得工=得，故。正确.故选：AD.【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.【例题9】(多选)(2021秋•湖北月考)已知函数/(x)=〃sinx+bcosx,若/(0)= 且对任意xwR都有/(Gjg)，则()f(x)=2>/3sin(x+—)6/(x)的图像向右平移与个单位后，图像关于y轴对称〃2x)在区间[0,§上单调递增/(2x)在区间[0,自上的最小值为々5【分析】利用已知求得到“X)的解析式，利用正弦函数的性质对48C。四个选项逐一分析可得答案.【解答】解：v/(x)=asinx+6cosx>/(0)=JJ,:.b=y/3,又对任意xeR都有/(»/(§，f(y)=yla~4-b2=yja24-3=~~^a+ »整理得(a—3)?=0,解得〃=3,对于Z,由a=3,b=g\得/(x)=3sinx+VJcosx=2VJsin(x+工)，故/正确;对于8,7(x)的图像向右平移笄个单位后，得y=/(x)=2VJsin[(x-曰)+却=-268$工，为偶函数，其图像关于y轴对称，故8正确；对于C,xe[0,-]=>2xe[0,—]^2x+-g[-,—],〃2x)在区间[03]上不单调，故C错误;对于。，xe[0,y]=>2xe[0,^-]=>2x+-g[-,—b故当x=工时，/'(2x)取得最小值f(tt)=-2>/3sin—=->/3,故O正确；2 6故选：ABD.【点评】本题考查了函数y=4sin(ox+程)的图象变换，考查三角函数性的对称性、单调性及最值的判断与应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.【例题10】(2021秋•湖北期中)将函数y=/(x)的图象向左平移生个单位长度后得到g(x)=sin2x的图6象，则，个=0.【分析】由题意利用函数y=<sin(s+g)的图象变换可求/(x)的解析式即可计算求解.【解答】解：因为将函数y=/(x)的图象向左平移三个单位长度后得到g(x)=sin2x的图象，6所以/(x)=sin2(x-—),6则/(工)=sin2(a--)=sin0=0.故答案为：0.【点评】本题主要考查了函数y=/sin(s+p)的图象变换，考查了函数思想，属于基础题.【例题11】(2021秋•天津期中)已知函数/(x)=Zsin(2x+9)(4>0，M<g,将y=/(x)的图像上所有的点向左平行移动2个单位长度，所得图像对应的函数为g(x),若g(x)的图像过原点，且g(C)=百，则8 6O【分析】由题意利用函数y=4sin(0x+0)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得/(x)的解析式，可得/(当)的值.O【解答】解：,・,函数/(x)=/sin(2x+[)(/>0J/|<))，将》=/(x)的图像上所有的点向左平行移动巳个单位长度，8所得图像对应的函数为g(x)=4sin(2x+生+夕)，4若g(x)的图像过原点，则一+0=%乃，keZ,:.(p=——，g(x)=^sin2x.4 4由=VJ=Asin-y,A=2i

,jr ?万 \irIT/(x)=2sin(2x-J)，则fA=2si吟- =2,4 8 4 4故答案为：2.【点评】本题主要考查函数y=4sin(0x+夕)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题.【例题12](2021秋•东城区校级期中)如果将函数/(x)=sin(3x+^)(-zr<^<0)的图象向左平移个单位所得到的图象关于y轴对称，那么夕4【分析】利用y=/sin((yx+夕)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得夕的值.【解答】解：将函数/(x)=sin(3x+e)(-万(夕<0)的图象向左平移■^个单位,rr jr 」,所得到y=sin[3(x4-—)+^]=sin(3x+^+。)的图象，•・,得到的函数图象关于7轴对称，—+(p=kjr+—,keZ,4 2求得x=k兀+七,keZ,4又一乃<°<0,:.(:.(p=一34

~4~【点评】本题主要考查y=Zsin(ox+s)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.举一反三【变式1] (2021秋•大理市月考)把函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数g(x)=sin(x-?)的图象，则/(?)=( )A.-1 B.-g C.1 D.且上也2 2 4【分析】根据函数图象的平移与伸缩变换法则，由g(x)逆向推出“X)的解析式，再代入求解，即可.【解答】解：将函数g(x)=sin(x-?)的图象先向左平移。个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得/(x)=sin(；x+?-?)=sin(；x+A),所以/=sin(；•菅+ =sin今=g.故选：C.【点评】本题考查三角函数的图象变换，理解函数图象的平移与伸缩变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.【变式2] (2021秋•浦东新区校级期中)将函数y=sin(4x+()的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标TOC\o"1-5"\h\z变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移套个单位，得到的函数的一个对称中心可以是( )IT 7T 7TA.(-,0) B.(-,0) C.(—,0) D.(-.0)12 o 12 2【分析】由题意利用函数y=4sin(°x+⑼的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，得出结论.【解答】解：将函数y=sin(4x+工)的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=sin(2x+2)的图像，再沿着x轴向右平移菅个单位，可得y=sin2x的图像.令2x=ki,kwZ,求得x=w，故》=sin2x的图像的对称中心为,0),kwZ,则得到的函数的图像一个对称中心可以(5,0),故选：D.【点评】本题主要考查函数y=4sin(ox+夕)的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，属于中档题.【变式3] (2021秋•南阳期中)把函数/(x)=sin(2x-X)的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的曲线向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数^=馍$丫的图像，则a可以是()A.- B.- C.- D.-n8 4 2 4【分析】先写出伸缩和平移之后的函数表达式，再将选项逐一代入即可判断.【解答】解：函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变得y=sin(x-H),4将该曲线向左平移a(a>0)个单位长度，得》=cosx的图象，可得sin(x+〃 )=cosx,4TOC\o"1-5"\h\z对力，当。=工时，sin(x+---)=sin(x--)cosx,故X错误；8 84 8对6,当a=巳时，sin(x+---)=sinx^cosx,故8错误；4 44对C,当a=C时，sin(x+---)=sin(x+—)^cosx,故C错误；2 24 4对。，当网时，sin(x+—-—)=sin(x+—)=cosx,故。正确.4 44 2故选：D.【点评】本题主要考查了函数y=/sin(s+p)的图象变换，考查了函数思想，属于基础题.【变式4] (2021秋•河南期中)将函数/(x)=sin(2x-&)的图象向左平移工个单位长度后得到函数g(x)6 6的图象，则函数y=g(x)+cos2x在[0,g上的最小值为( )A.G B.-2 C.Y D.--2【分析】直接利用函数的图象的平移变换和函数的性质的应用求出结果.【解答】解：函数/(x)=sin(2x-C)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+工)的图象，6 6 6乃 百] 冗则函数y=g(x)+cos2x=sin(2x+—)+cos2x=——sin2x+—cos2x+cos2x=\§-cos(2x-马，6 2 2 6由于》6[。，]],所以2乂-工€[-工,生],6 66所以cos(2x——)G[——,1],整理得故选：D.【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.【变式5] (2021秋•越秀区期中)已知函数/(x)=sin(2x+X),将其图象向右平移风0>0)个单位后得6TOC\o"1-5"\h\z函数g(x)图象，若g(x)为奇函数，则夕的值可以为( )A.— B.- C.- D.-12 6 4 3【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和奇函数的性质的应用求出结果.【解答】解：函数/(x)=sin(2x+-),将其图象向右平移夕(夕>0)个单位后得函数g(x)=sin(2x-2a+工)图6 6象：由于函数g(x)为奇函数；故-2<p+今=k7r(keZ),整理得：<p=--+~(keZ)x当A=0时，m-—.12故选：A.【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.【变式6] (2021秋•北海月考)函数〃x)=sin(0x+/)(3>O,|s|<g的图象如图所示，将函数/(x)的图象向右平移二个单位长度，得到函数g(x)的图象，则()6A.g(x)=sin2x B.g(x)=cos2x2乃 24C.g(x)=sin(2x+—) D.g(x)=cos(2x+—)【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的平移变换的应用求出结果.【解答】解：根据函数的图象：1=卫-工=£,41234整理得7=不，故口=2；当％=0时，,(9)=(与+>)=0，所以耳+(p=kn(keZ),2乃整理得0=%万一-^~(攵62),当k=0时，(p=—；故f(x)=sin(2x+y),将函数/(x)的图象向右平移工个单位，6得至ljg(x)=sin2x.故选：A.【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.【变式7] (2021秋•天津期中)已知函数/\x)=sin(2x-包)，下列说法正确的个数为( )4①/(x)的图象的一个对称中心为(2,0)；8②/(X)的图象的一条对称轴为X=-红；8③/(X)的单调递增区间是《+k兀片+kG，keZ；④函数〃x)的图象向左平移且个单位后得到的是一个奇函数的图象.8TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2 C.3 D.4【分析】直接利用正弦函数的性质和三角函数的关系式的平移变换确定Z、B、C、。的结论.【解答】解:函数/(x)=sin(2x-亍)，对于①，当x=J时，故函数〃x)的图象的一个对称中心为(J,0)不满足条件，故①错误；8 8 8对于②，当x=-红时，〃-红)=-1故②正确；8 8对于③，令-三+2k兀、、2x-汉叮2卜1+三,(keZ)t整理得：—+x, —(ArgZ),所以/(x)的单调2 4 2 8 8递增区间是[工+“再三+%t],AeZ,故③正确;8 8对于④函数/(x)的图象向左平移2个单位后得到g(x)=sin(2x+—)=cos2x,故函数为偶函数，故8 8 8④错误；故选：B.【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.【变式8］ (多选)(2021秋•淮安期中)已知函数/(x)=2sin(三+工)，若将函数/(x)的图象纵坐标不变,26横坐标缩短到原来的再向右平移三个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是( )4 6A.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x-马6B.函数/(x)的周期为4万C.函数g(x)在区间国，年］上单调递增D.函数/(x)图象的一条对称轴是直线x=-(【分析】先根据象像变换的知识求出函数g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质以及换元思想求解.【解答】解：易知g(x)=2sin［2(x-工)+巴|=2sin(2x-工)，故4正确;6 6 6对于8,7=竿=4万，故8正确；22x--..—,因为y=sinx在［史，臣］上单调递增，故g(x)在区间5,也］上单调递3 6 6 6 6 6 3增，故C正确：因为/(-马=2sin(-空-§= 不是最值，故。错误.故选：ABC.【点评】本题考查三角函数的图象与性质以及图像变换的知识方法，属于中档题.【变式9］ (多选)(2021秋•濠江区校级期中)把函数/(x)=2sinx的图象向右平移。个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的g(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法正确的是( )A.函数g(x)的图象关于点g,0)对称B.函数g(x)的图象的一条对称轴是x=4c.函数g(x)在区间伶，g上的最小值为百D.函数g(x)在[0,扪上单调递增【分析】由题意知，g(x)=2sin(2x-y),4,代入计算，并判断g(二)=0是否成立，即可；8,代入计算，并判断g(-C)的值是否为最大值或最小值，即可；C,求出2x-C的取值范围，再结合正弦函数的图像与性质，得解；3D,根据正弦函数的单调性，即可得解.TT【解答】解：由题意知，g(x)=2sin(2x-y),选项4，g(y)=2sin(2---)=5/3^0,即/错误；选项8,g(--^1)=2sin[2.(-^)-y]=-2=g(x)mjn,即8正确；选项C,因为xw[工，-],所以2x-工4工，—],3 2 3 3 3所以g(x)1mH=2•sin(= ,即C正确：选项。，^-2x--e[2k ,Ikn+—1,keZ,则xw伏；r-工，kit+—1.k&Z,3 2 2 12 12当4=0时，g(x)的单调递增区间为/，^]U[0,句，即O错误.故选：BC.【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.【变式10](多选)(2021秋•开福区校级期中)对于函数〃x)=2sin(4x-()+l,以下说法中正确的是()A.要得到函数/(x)的图象，只需将函数y=2sin4x+l的图象向右平移2个单位长度B.函数〃x)的最小正周期为、C./(-)=-V3+14D.直线》=-四是函数/(x)的图象的一条对称轴【分析】A,由函数图象''左加右减”的平移原则，即可得解；B,由7=3，得解：COC,代入计算/(,的值，即可：D,计算/(一2)的值，看其是否为/(x)的最大值或最小值，即可判断.【解答】解：选项4,将函数y=2sin4x+l的图象向右平移二个单位长度，得到. 12y=2sin4(x咱+1=2sin(4x-1)+l=/(x)，即/正确；选项8,最小正周期7=生=工，即5正确：4 2选项C,/(q)=2sin(4.?-工)+1=0+1,即C错误；选项。，/(-^)=2sin[4.(-^)-j]+1=3=f(x)max,即。正确.故选：ABD.【点评】本题考查三角形函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，正弦函数的周期性、对称性等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.【变式11](多选)(2021秋•海安市期中)已知函数/(x)={sin®x+g)(4>0,o>0,|s|<g的图象如图C.向左平移2个单位 D.向右平移士■个单位12 12【分析】由题意利用由顶点坐标求出4,由周期求出。，由五点作图求出夕，可得/(x)的解析式，再利用函数y=4sin(ox+o)的图象变换规律，得出结论.【解答】解：根据函数/(x)=4sin3x+p)(4>0,0>0,|夕|<马的图象，可得/=1,12九_747t4"fiT"24"7结合五点法作图，可得4xC+°=;r, =—9 f(x)=sin(4x+—).6 3 3为得到g(x)=sins=sin4x的图象，只需将/(x)的图象上所有点向右平移合个单位，或将/(x)的图象上所有点向左平移区个单位，12故选：BC.【点评】本题主要考查由函数y={sin(ox+s)的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出力,由周期求出由五点作图求出夕，函数y=/lsin(0x+夕)的图象变换规律，属于中档题.【变式12](多选)(2021秋•龙岗区期中)函数/(x)=sinxsin(x+f-；,则下列说法正确的是( )A.若xw[0,、],则/(x)的值域为B.函数〃x)在[-工，马上为增函数63C.函数/(幻的图象关于点(—,—)对称D.函数/(x)的图象可以由g(x)=；cos2x的图象向右平移(个单位长度得到TOC\o"1-5"\h\z【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/(x)=lsin(2x--),2 6对于4,由已知可求范围2x-&e[-工，—],利用正弦函数的性质即可判断得解；6 6 6对于8,令2加r-2x-工..2&乃+工，keZ,由正弦函数的单调性即可求解；2 6 2对于C,由/(春)=。=-；，即可判断C;对于。，利用函数y=4sin(3r+9)的图象变换即可求解.r解较】〃、• •/।1、1•/•H、11・2,G・石•>1o、肝口JHlT.j(X)=sinxsin(x+y)--=sinx(—sinx+—cosx)--=—sinx+—sinxcosx=—sinzx--coszx=—sin(2x--)»对于Z,若xe[0,工],则2x-&e|-三，—],sin(2x--)g[--,1],可得/(x)='sin(2x-2)e|-L-]»2 6 6 6 6 2 2 6 42可得/(x)的值域为故N正确；对于8,令2k冗-工2x--„2kn+—,keZ,解得后乃一工,，x,k兀+乙,keZ,可得当我=0时，„天，—,2 6 2 6 3 6 3即函数/⑴在[-巳=]上为增函数，故8正确；63对于C，"t)=gsin(2xAJ)=0H-：，故C错误；对于。，g(x)=gcos2x的图象向右平移三个单位长度得到y=-cos2(x--)=-cos(2x----)=—sin(2x--)=/(x),故Z)正确.2 3 2 62 2 6故选：ABD.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质以及函数y=4sin(or+夕)的图象变换，考查了函数思想，属于中档题.【变式13](多选)(2021秋•峨山县校级期中)函数〃x)=3sin(2x-为的图象为C,则以下结论中正确的是( )A.图象C关于直线x=±对称120jrB.图象C关于点(?，0)对称c.函数/(X)在区间(-五，内是增函数D.由y=3sin2x的图象向右平移。个单位长度可以得到图象C【分析】利用正弦函数〃x)=3sin(2x-马的性质，对四个选项逐一判断即可.【解答】解：v/(x)=3sin(2x-y)»对于彳：由= 得：x= 4--jy(AreZ),・・/(x)=3sin(2x一5)的对称轴方程为：x=-y+^|()leZ),当％=0时，x=——»%=-1时，x=――,12 12•・图象c关于直线工=£对称是错误的，即/错误；12对于B:•・・/(y)=3sin(2xy--1)=0,・,图象。关于点(与，0)对称，即8正确；对于C：由2kjv-工2x-工2〃4+工得：k/r-—„x.k7r^-—(kgZ),2 3 2 12 12/(x)=3sin(2x一工)的增区间为n万一2，一+—](keZ)，6 12 12当左=0时，[后，言为其一个增区间，故C正确；对于。：将y=3sin2x的图象向右平移？个单位长度可以得到y=3sin2(x--)=3sin(2x———)*3sin(2x-—)=f(x),故£＞错误.综上所述，8c正确.故选：BC.【点评】本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y=/fsin(0x+s)的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题.【变式14](多选)(2021秋•徐州期中)已知函数/(x)=sin<ox+>/Jcos0x(0>O)的零点依次构成一-个公差为二的等差数列，把函数/(x)的图象向右平移工个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)(2 6)A.是偶函数B.其图象关于直线x=C对称4c.在行，g上是减函数D.在区间[£,四]上的值域为6 3【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数y=/sin(ox+s)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：函数/(x)=sinox+百cosox=2sin(“x+工)(<y>0)的零点依次构成一个公差为,.生=工的等3 2to2差数列，.,.0=2,/(x)=2sin(2x+y).把函数〃x)的图象向右平移工个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x的图象，6显然，g(x)为奇函数，故Z错误；令》=工，求得g(x)=2,为最大值，可得其图象关于直线x=&对称，故8正确；4 4在《，,上，2xe[p初，g(x)是减函数，故C正确：在区间四，—]±,2xe[-,—],sin2xe[--,1],g(x)的值域为[-6,2],故。正确，6 3 3 3 2故选：BCD.【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=4sin(0x+⑼的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.【变式151 (多选)(2021秋•建平县校级期中)将函数/(x)=2A/3cos2x-6sinxcosx的图象向左平移二个8单位后，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )A.当xe[-工，辿]时，g(x)的值域为[0,2&]88111Tg(x)的一个对称中心为(胃,0)g(x)的图象关于直线x=1^对称g(x)在区间(把，红)上单调递增43【分析】由题意利用函数y=Zsin(5+o)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：将函数/(x)=zGcos?x-6sinxcosx=2JJ•匕"^^-3sin2x=V3cos2x-3sin2x+5/3=2-^(—cos2x--sinlx)+出=2jJcos(2x+?)+百的图象向左平移7个单位后，得到函数g(x)=2>/3cos(2x+^+—)+VJ=2>/3cos(2x+卷)+百的图象,当X€［一?，Y］时，2x+e(Y>4］，cos(2x+^)g［-1,00 12 3 3 12g(x)=2Gcos(2x+.+VJ的值域为[-52同故力错误；令X=口三，求得g(x)=G，故g(x)的一个对称中心为(L@，6),故8错误；24 24令x=K，求得g(x)=-6,为最小值，故g(x)的图象关于直线x=1j对称，故C正确：在区间(甘，学)上，2x+^1w(等，管)，故g(x)在区间(警，等)上单调递增，故。正确,故选：CD.【点评】本题主要考查函数y=4sin(0x+⑼的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题.【变式16](多选)(2021秋•如皋市期中)已知函数/(x)=4cos(Ox+q)(力＞0,。＞0