最新高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc

高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1)求证：EF是AB和例1题图(2)求AB和CD间的距离；【标准解答】(1)证明：连结AF，BF，由可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在Rt△BEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.例2题图由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.例2题图【例2】如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.设AB中点为E，连CE、ED.∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，那么AB⊥EF.同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.∴AB、CD的距离是.【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的根本方法：〔1〕利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.〔2〕如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.〔3〕如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3例3题图【例3】如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=.又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=.∴A到平面BCD的距离是.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面PBC的距离.【标准解答】(1)作AF⊥DC于F,连结PF,∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=,在Rt△PAF中tan∠PFA=,∴∠PFA=arctan.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,那么BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,∴PB=a,∴AH=.如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.〔Ⅰ〕求BF的长；〔Ⅱ〕求点C到平面AEC1F的距离.解法1：〔Ⅰ〕过E作EH//BC交CC1于H，那么CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.〔Ⅱ〕延长C1E与CB交于G，连AG，那么平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，那么CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解法2：〔I〕建立如下图的空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，B〔2，4，0〕，A〔2，0，0〕，C〔0，4，0〕，E〔2，4，1〕，C1〔0，4，3〕.设F〔0，0，z〕.∵AEC1F为平行四边形，〔II〕设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，那么∴C到平面AEC1F的距离为正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。BACD〔1〕求点到直线AC的距离.〔2〕求直线到平面的距离．BACD解：〔1〕连结BD，，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。在中．．〔2〕因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD，，，即直线到平面BD的距离是．【解后归纳】求空间距离注意三点：1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.〔1〕证明：D1E⊥A1D；.解析：法1〔1〕∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E〔2〕设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故〔3〕过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，那么D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，那么BE=2－x〔1〕〔2〕因为E为AB的中点，那么E〔1，1，0〕，设平面ACD1的法向量为，，从而，所以点E到平面AD1C的距离为〔3〕设平面D1EC的法向量，∴由令b=1,∴c=2,a=2－x，∴依题意∴〔不合，舍去〕，.∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.●对应训练分阶提升一、根底夯实1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，那么点A到BC的距离是()A.aB.C.D.2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm,那么P到α的距离是()A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，那么P与Q的最短距离为()A.B.C.D.a5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，那么点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，那么AC与BD的距离是()A.B.C.D.第6第6题图第7题图7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，那么有()A.1<d1<d2B.d1<d2<1C.d1<1<d2D.d2<d1<18.如下图，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于()A.2dB.3dC.4dD.以上都不对第8第8题图第9题图9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是()A.B.C.D.二、思维激活10.二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，那么点B到α的距离为.11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=a，那么A、B两点间距离为.12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，那么线段AB的长是.13.在直角坐标系中,A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，那么cosα的值是.三、能力提高14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点A到面BMC1第15题图16.斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.〔1〕求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;〔2〕求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;〔3〕求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1—EF—B的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离.第第17题图空间的距离习题解答1.D折后BC=,∴点A到BC的距离为.2.ABC=.∴△ABC外接圆半径R=,∴点P到α的距离为3.D设PO⊥α垂足为O,|PO|=xcm,∠OAP=β,∠OBP=γ,那么β-γ=45°,tanβ=,tanγ=,tan(β-γ)=tan45°展开左边并整理得:x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4.4.BP、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.5.APM=.6.C取BD的中点O连AO、OC，作OE⊥AC于E，那么OE为所求，∴AO=CO=AC=.7.D点C到平面PAB的距离d1=,点B到平面PAC的距离d2=，∵,∴d2<d1<1．8.B|MM′|=，又.∴a+b+c=3d.9.A设BD的中点为O，∴EO=，点A到平面EFGH的距离为.10.2作AC⊥MN于C，连BC，那么BC⊥MN，第13题图解∴∠ACB=60°，又MN⊥平面第13题图解∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，那么BD⊥α，∴BD的长即为所求，得BD=2．11.AB=.12.2cm或cm当点A、B在α同侧时，AB=;当点A、B在α异侧时，AB=13.如图,AB″=∵BC⊥y轴,B′C⊥y轴,∴∠B′CB″为二面角A—Oy—B的平面角.∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3,第14题图解B′B″=,由余弦定理易知cosα=.第14题图解14.如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距.连AC、BD，设AC、BD交于O，那么EO∥平面PBC，∴OE上任一点到平面PBC的距离相等．∵平面PBC⊥平面ABCD，过O作OG⊥平面PBC，那么G∈BC，又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a，∴OC=,OG=OCsin60°=.点评：假设直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．15.(1)∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴∠BAC为二面角B1—AA1—C1的平面角，∴∠BAC=60°.又∵∠ACB为直角，∴BC⊥侧面AC1.连MC，那么MC是MB在侧面AC1上的射影.∴∠BMC为BM与侧面AC1所成的角.且∠CMC1=90°，∠A1MC1=30°，所以∠AMC=60°.设BC=m，那么AC=，MC=m，所以tan∠BMC=.即BM与侧面AC1所成的角的正切值为.(2)过A作AN⊥MC，垂足为N，那么AN∥面MBC1.∵面MBC⊥面MBC1，且过N作NH⊥MB，垂足为H，那么NH是N到面MBC1的距离，也就是A到面MBC1的距离.∵AB=a,AC=,且∠ACN=30°，第16题图解∴AN=且∠AMN=60°，∴MN=.第16题图解∴NH=MNsin∠BMC=×(此题还可用等积法).16.(1)如下图,作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角∵AA1⊥A1C,AA1=A1C∴∠A1AD=45°为所求.(2)作DE⊥AB垂足为E,连A1E,那么由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB,∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由AB⊥BC得DE∥BC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2∴DE=1,AD=A1D=,tan∠A1ED==,故∠A1ED=60°为所求.(３)连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C—A1AB的高h.由VC—A1AB=VA1-ABC得S△AA1Bh=S△ABC·A1D即,∴h=为所求.第17题图解17.(1)如图连结B1D1，AC，B1第17题图解∵底面为正方形ABCD，∴对角线AC⊥BD.又∵E、F分别为AB、BC的中点∴EF∥AC.∴EF⊥BD.又∵棱B1B⊥底面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥B1B.又B1B∩BD=B,BB1面BB1D1D，BD面BB1D1D.∴EF⊥面BB1D1D.而B1Ｈ面BB1D1D，BH面BB1D1D，∴EF⊥B1H，EF⊥BH.∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角.在Rt△B1BH中，B1B=a,BH=，∴tan∠B1HB=.∴∠B1HB=arctan2.∴二面角B1—EF—B的大小为arctan2.(2)在棱B1B上取中点M，连D1M，那么D1M⊥面EFB1.连结C1M.∵EF⊥面BB1D1D，D1M面BB1D1D.∴D1M⊥EF.又∵D1C1⊥面B1BCC1.∴C1M为D1M在面B1BCC1内的射影.在正方形B1BCC1中，M、F分别为B1B和BC的中点，由平面几何知识B1F⊥C1M.于是，由三垂线定理可知B1Ｆ⊥D1Ｍ，而B1F面EFB1，EF面EFB1，EF∩B1F=F，∴D1M⊥面EFB1.(3)设D1M与面EFB1交于N点，那么D1N为点D到面EFB1的距离，∵B1Ｎ面EFB1,D1M⊥面EFB1，∴B1N⊥D1M.在Rt△MB1D1中，由射影定理D1B12=D1N·D1M，而D1B1=a,D1Ｍ=，∴D1N=即点D1到面EFB1的距离为.高中数学立体几何空间距离的计算〔学生版〕1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和例1题图如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.例2题图例2题图【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的根本方法：〔1〕利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.〔2〕如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.〔3〕如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3例3题图如图,正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面PBC的距离.如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.〔Ⅰ〕求BF的长；〔Ⅱ〕求点C到平面AEC1F的距离.BACD正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是ACBACD〔1〕求点到直线AC的距离.〔2〕求直线到平面的距离．【解后归纳】求空间距离注意三点：1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.〔1〕证明：D1E⊥A1D；.●对应训练分阶提升一、根底夯实1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，那么点A到BC的距离是()A.aB.C.D.2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm,那么P到α的距离是()A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，那么P与Q的最短距离为()A.B.C.D.a5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，那么点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，那么AC与BD的距离是()A.B.C.D.第6第6题图第7题图7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，那么有()A.1<d1<d2B.d1<d2<1C.d1<1<d2D.d2<d1<18.如下图，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a