东北大学岩石力学讲义第二章应力分析

东北大学岩石力学讲义第二章应力分析第二章应力分析第一节体力和面力载荷类型载荷——切导致物体变形和产生内力的物理因素，都称为载荷。按作用性质不同，可分为两大类1、第一类载荷：重力、机械力和电磁力等，可简化为作用在物体上的外力，由此引起物体变形和内力；2、第二类载荷：如温度和中子幅照，直接引起物体变形，这种变形受约束时，物体才产生内力。按作用区域，载荷可分为体积力和表面力。体积力和表面力的定义体积力一作用在物体内部体积上的外力，简称体力，如重力、惯性力、电磁力等，体力通常定义为flimFVV0(2-1)V是受体力作用的微小体积，或称微元体。F是微元体上体力的合力。f的方向是体力合力的方向。一般来说f是空间点位的函数。上述定义表明：1、体积力是体力强度；2、体力是矢量；3、体力强度是一种极限。

表面力一作用在物体表面上的外力，简称面力，如液压力、气体压力和固体之间的接触力等，面力通常定义为PlimGSS0(2-2)式中，S—受面力作用的微小面积，或称微面元。G是微面元上外力的合力。面力的方向是面力合力的方向，一般来说，面力是位置的函数。上述定义表明：1、面力是面力强度；2、面力是矢量；3、面力强度是一种极限。

第二节应力张量和应力分量内力与附内力一在外力作用下，物体发生变形，同时产生了企图恢复原形的力，即形成内力场。该内力场与外力平衡时，物体不再继续变形，达到变形的平衡，保持这个平衡的附加内力场，即是应力场。应力是反抗外力引起物体变形的分子力，不是保持物体形状或聚集状态的分子力，因此称作附加内力场。应力场是对附加内力场的精确描述。应力概念的建立1、将一变形平衡物体假想地剖开，分为A和B两部分，分界面为C,研究C面上，B物体对A物体的作用，此时C面上的附加内力变为外力，表面力。2、在C面上取一点P,围绕P点作一微面元S, S上的附加内力，即表面力为G»定义S上的应力矢量为olimGSS0(2-3)3、一般情况下，G既不平行于面元，也不垂直于面元。因此，可将G分解为平行和垂直于S的两个矢量，Gn, Gt并可以到两个应力矢量。n、tS0；tliraS0GtS(2-4)式中n是微面元的外法线方向；on,t分别称为法向应力和剪应力。过P点可作无数个面，

现在考察与坐标方向一致的面，在图5中剖面C的外法线与y轴的方向一致，也可以称为y面图2-5考虑对于图5所示的情况，当S0时，由于垂直于S面G在垂直方向的分量Gn无法进一步分解，因此法向应力。n也无法进一步分解。但G的平行于S面的分量Gt落在S面上，可以进一步分解，这里将Gt再分解为平行于其它两个坐标轴，即x轴z轴的S上的面力矢量G面力矢量，这表明即剪应力I可以在面元上进一步分解。按这种作法，可以分解为3个平行于坐标轴的分矢量。4、过P点做三个特殊的面，其法线分别平行于x轴、y轴和z轴，称它们为x面、y面和z面。按照上面的作法，在每个面上的面力矢量，可以分解为三个分量一个法向面力分量，平行于面元的法线或者说平行于一个坐标轴，与两个切向面力分量，分别平行于其它两个坐标。5、以三对坐标面。切割出一个特殊的微元体，六面体。当V0时，即向P点收缩时，六面体上面力分量的全体就是P点的应力张量。上面讨论的应力张量是点P上的应力，点是没有大小的。因此指向相同方向相反的两个坐标面距离为零。这样在平行且相反的一对坐标面上的应力是相等的。图5是点P的一种夸张的表示，因此P点上的独立的面力分量是9个，这些面力分量习惯称作应力分量，这9个应力分量的全体称为应力张量。应力张量的记法应力张量有工种记法：1、用9个分量的全体表示zxxyyzyxzyz(2-6)z每个应力分量的第一个下标表示面元的方向，第二个下标表示该应力分量的方向。2、张量记法iji,j=x,y,z（2-1）3、实体记法o即用黑体字表示应力张量，或应力分量的全体。有关应力定义注意的问题：1、应力是附加内力；2、应力张量或应力分量作为全体是定义在一个点上的，但每一个应力分量是定义在过P点的某个面上的。因此应力张量与过点P的面元的方向无关，而应力分量与面元的方向有关；3、在每一个面元上，应力分量可以合成一个应力矢量（面力矢量），但不同面上的面力矢量，不能合成一个力矢量。有关应力概念，应该注意的问题：1、面元S的方向，由S的外法线方向确定；2、应力具有二重方向性，（a）面元的方向；（b）面元上应力分量的方向；3、面元正负的规定：外法线指向坐标轴正向为正面，反之为负面；4、应力分量正负的规定：正面上指向坐标正向为正，负面上指向坐标负向为正。应力概念的建立是思想实验的例证。因为应力是内力，从外部看不到。为研究方便起见，假想地将物体分开，内力变为外力（表面力），变为可观察的量，变为至少在想象中可观察的息里。我们还要注意到应力具有如下奇特的性质：1、应力虽然是面力，但这种面力并不是作用在物体可见的外表面上的力，而是作用在连续体的内部假想的表面上。而且遍布连续体内的每一点；2、图6中所示的成对的坐标面实际上犹如一张纸的正面和反面，它们之间的距离为零。若正面，比如正x面是将连续体假想地切成两半并将B部分移去后，所剩下的A部分的外表面，其上的应力分量表示了B部分（或面力矢量）对A部分的作用力，则负x面上的应力分量就是A部分对B部分的反作用力，它们的大小相等，方向相反；3、应力虽然遍布连续体内的每一点，但是与物体的质量，或者说体积无关，因此不是一个可加和的量，与温度等类似。

第三节斜面应力公式(一点的应力状态唯一性的证明)过点P可做无数个平面，每个平面上应力矢量可分解为3个分量，这样一点的应力分量可以有无穷多个，以(2-6)式定义的应力状态(应力张量)是否唯一地决定了一点的应力状态是一个需要证明的问题，或者换一个说法，如(2-6)所示的一点的应力状态是否就是一点应力状态的的唯一描述，是一个需要证明的问题。但是在上一节我们不加证明地认定(2-6)式，就是一点应力状态的的唯一描述。图2-7

斜面应力公式的推导1、过点P做微小四面体OABC,如图7所示。斜面ABC的面积为dS,坐标面0BC(x2、斜面外法向为n,它与x,y,z坐标夹角的方向余弦为(1,m,n),斜面上面力矢量面)的面积为dSx；坐标面OAC的面积为dSy；坐标面OAB的面积为dSz。是P,P在X,y,z方向的分力为Px,Py,Pzx图2-83、四面体所受的体力为f(fx,fy,fz)四面体在x方向力的平衡要求Pxdsxdsxxydsyzxdsz13dnfx(2-2)由于dsxdscos(nx)Ids；dsydscos(ny)mds；dszdscos(nz)nds因此(2-2)变为Px xl yxm zxn(2-3a)同理可得Py xyl ym zyn(2-3b)Pzxzlyzmzn(2-3c)将(2-3)式写成矢量形式有PxPyPzx yx zxxyyzyxz1yzm(2-4)zn(2-3)或者(2-4)就是斜面应力公式。也成柯西应力定理。(2-3)或者(2-4)也可用其它方法推出，记x面上的面力矢量为Gx,y面为Gy,z面为Gz,此处下标表示表面所在面元的方向，不表示面力矢量的方向，四面体的平衡要求PdSGxdSxGydSyGzdSzPGxlGymGzn(2-5)(2-5)式两端点乘1,即向x方向投影，得到P1(GxlGymGzn)1注意到P1Px,Gx1x,Gy1yx,Gz1zx因此Px xl xymxzn(2-3a)同理:Pyxylymyzn(2-3b)Pzxzlyzmzn(2-3c)平面应力状态下的斜面应力公式(n,z)=n平面条件下xzyzz0,zxzy0,斜面与(n,z)=n=0o用两种方法讨论一、做为三维情况的特例此时，式(2-4)变为PxPy0TOC\o"1-5"\h\zx yx0xyyO0 10m(2-7a) 0 0上式等价于PxxPyyxxy1(2-7b)ym将(2-7)式写成分量形式，由图9可以得到cos(n,x)1cos,cos(n,y)msinx将上式代入(2-7b)得到PxxcosyxsinPyxycosysin图2-9二、仿照三维的情况进行推导从图9可以看出，各个微面元之间有关系dSxdScos,dSydSsin四面体的平衡要求PxxcosyxsinPyxycosysin将上式写成矢量形式PxPyyxxycossin(2-7c)用两种方法推导的结果完全一样。斜面应力公式(2-3)和(2-4)表明只要知道了过点P的3个坐标面上的9个应力分量，则过点P的任意平面上的面力矢量或面力分量，可以由这9个分量求出。因此，(2-6)式是一点应力状态的唯一的、全面的描述。第四节应力分量的坐标变换应力张量由过点P的坐标面上的应力分量的全体表示，坐标系是人为选择的，应力状态的唯一性定理意味着，坐标变换时不同坐标系的应力分量之间有确定的变换关系。将新坐标系x'y'z'中的坐标面看作I日坐标系xyz中的斜面，则由斜面应力公式，可求x出这些斜面上应力矢量的分量，比如px,py,pz,此处上标“x'”表示x’面。pxx'xx'py yxpx' zzxxyyzyxz111yz112z113

对y/面和z/面可类似地得到zzxpxz'pxy'xy'pyyxpy'py yxpz' zzxzzxpxz'xyyzyxyyzyTOC\o"1-5"\h\zxz 121yz 122 (2-8b)z123xz 131yz 132 (2-8c) z133式中,x、y、式中,x、y、z111cos(nx，,x),

轴夹角的方向余弦。112cos(fix',y),113

而px,py,pz是x'面上,cos(nx),z),是x'面与旧坐标系的指向旧坐标系x,y,z方向的面力分量。新旧坐标系之间夹角的方向余弦如下表2-1所示表2T

将px,py,pz分别向新坐标系的x/,y/,z/方向投影，得到新坐标系中的应力分量Xy7cos(n,(«,a)=/|Icos(ny)=/izcos(npg/13cos(n六x)=Z2icos(ny,y)=/22COS(I1、，,Z)-/23zcos(nA)=/3|cos(ny)=Incos(n〃z)=133x'pxlllpyll2pzll3x'y'pxl21pyl22pzl23(2-9a)x'z'pxl31pyl32pzl33写成矢量形式，有x'111112113 x'y'121122123x,z'131132133xpxx'pyx'pz，，，XXX(2-10a)将(2-8a)代入(2-10a)得到x'111112113x'y'121122123x'z'131132133x xy xzxy y xz xzzyz111 112 1 13对于y面和z面，按照类似的过程可以得到y"111111213y'121122123 111y'z'313233x xy xzyxy yz zxzyz121 122 1 23(2-1lb)

(2-11c)合成(2T1)的三式可以得到x‘xy'x'z'111112113y'x'x'x'z'121122123z'x'zfxfz131132133x xy xzyx y yz zxzyz111112131112122132111 132333(2-12)(2-12)即是坐标变换时，应力分量的变换关系。利用张量，(2T2)可以记为1J11iljJ1J(1,Jx,yz,，••；iJ,xy,z(2-20)(2-12)式，还可以简记为L L

Ill112113式中（L） 121122123111313233xxyxzyxyyzzyzzx111121131T是坐标变换矩阵，(L)=112122132 111 132333是它的转置。，，，，，xxyxz，，，，，，，，，，yxxxz zxzxz利用(L)第m行，(L)T的第n列和应力张量 ，可以得到新坐标系中第m行第n列的应力分量mn的坐标变换关系m，n'1mllm2xxyxzlm3yxyyzlm3yxyyzzyzzx1nl ln2 1n3(2-14)平面应力状态下，应力分量的坐标变换1、作为三维应力张量变换的特殊情况在平面应力条件下，XZzxyzzyz0,平面与z轴平行，1131231330,1311320o因此，应力分量变换关系(2-12)变为x'x'y'0 1111120xxy0 1111210TOC\o"1-5"\h\z0110 011Oy'x'y'2122yxy1222 000 000000 000 上式可简记为x'x'y'111 112xxy 111121 (2-15)，，yxy121122yxy112122,y'和x,y之间的关系如下表2-2所示表2-2/X/H=cos0yll2=sin6l2l=-sin8/丝=cose*将上表代入lx2(lxy)2(xy)cos2xysin2ly2(x ly)2(x y)cos2 xysin2lxy2(xy)sin2xycos22、利用斜面应力公式直接推导 x对于图12的情况，dSx=dScos,dSy=dSsin。微元体力的平衡要求px，xxcosyxsinpx'yxycosysin将px'x'

X、py方向投影可以得到，，XXxpxcospysin将(2-17)代入上式可得(2-16)(2-17a)(2-17b)x12y)y)cos2xysin2(2T6a)将pxx'、py向y/方向投影可以得到xxypxsinpycos，，XX将(2-17)代入上式可得1(xy)sin2xycos2(2-16c)xy2对于图13的情况，dSx=dSsin,dSy=dScos。微元体力的平衡要求px'x xsin yxcos px'y xysinycos 将px'xX、py向y/方向投影可以得到py，x，xsinpycos将(2-18)代入上式可得Ily2(x y)2(x y)cos2 xysin2将px'iXX,py向X/方向投影可以得到y'yXpxcospx'ysin(2-18a)(2-18b)(2-16b)将(2T8)代入上式可得yX12(xy)sin2xycos2xy(2-16c)第五节主应力、主平面和主方向

一般情况下，应力矢量并不垂直于它的作用面，因此在该作用面的法线方向和该平面内都有分量。如果过P点的某一投影面上应力矢量垂直该平面，因此它在该平面内的分量，即剪应力T为零，则这样的平面称为主平面，该平面的外法线方向称为主方向，主平面上的应力矢量称为主应力。图2-14利用斜面应力公式求主应力和主方向。若斜截面ABC是主平面，则该平面上的应力矢量。与平面的外法线n平行，从图14容易看出，此时Px1,Pym,Pz(2-19)1、m、n是法线n与x、y、z轴夹角的方向余弦。Px、Py、Pz还可以由斜面应力公式(2-4)求出。因此有PxxlyxmzxnIPyyxlymzynmPzxzlyzmznn移项得到关于方向余弦1、m、n的齐次线性方程(x)1yxmyzn0xyl(y)mzyn0xzlyzm(z)n0(2-25)由于12m2n21,因此1、m、n不全为零。按线性代数，仅当系数行列式xxyxzyxyyzzxxzz0(2-27)时，1、m、n才有非平凡解。由上式可以得到关于主应力。的三次方程32II12 130(2-28)式中Ilxyz(2-29a)zyzxxzxzz12xxyyxyyyzxyyyz(2-29b)x13xyxzyz(2-29c) z可以证明，II、12、13是应力张量的第一、第二、第三不变量。不变量的含义是：坐标变换时，它们的值不变。由方程(2-28)可求出。的三个根，i(i1,2,3),对应着三个主应力。将其中的一个主应力i代入方程，可以求出它对应的主方向(li,mi,ni)(x i)li xymi xzni0xyli(y i)mi yzni0xzliyzmi(zi)ni0(2-19)在前三个方程中，任取两个,比如第一和第二个方程，与第四个方程联立，可求li,在前三个方程中，任取两个,mi,nioi)lixymixzni0

xylii)miyzni0222lixylii)miyzni0222limini0方法如下：若li0,在第二个方程两边用li除，得到miniixxzxylili()miniyiyzxylili(2-20)(2-20)是关于mili和nili的齐次线性方程，从(2-20)可以解出mili和nilio将它们代入第三式得到：(mili)(

nili)lii2(2-2la)(2-21b)li(lmili)(nili)2主应力具有以下四个重要性质：一、不变性从数学上看，由于特征方程(2-28)的三个系数是不变量，因此作为特征根的主应力i(i1,2,3)在坐标变换时，其值不变，即主应力i(i1,2,3)是不变量。从物理上看，主应力是物体受力时内部应力状态的客观性质，与人为选择的坐标系无关。二、实数性按照线性代数，主应力是特征根，与每个主应力对应的主方向是特征向量。由于应力张量是对称矩阵(*应力张量的对称性后面再证明，此处先将它作为一个假设接受下来)，其中的每一个元素都是实数。线性代数告诉我们，实对称矩阵的特征根是实数，因此主应力是实数。但下面我们从纯分析的角度进行证明。假如。1、。2是方程(2-28)的一对共瓢的虚根，则有xllxymlxznl111xyllymlyznl1mlxzllyzmlznlInixl2xym2xzn2212xyl2ym2yzn22m2xzl2yzm2zn22n2(a)(b)将12、m2、n2分别乘以方程(a)的第一、第二和第三个方程xlll2xymll2xznll211112xyllm2ymlm2yznlm2lmlm2xzlln2yzmln2znln2lnln2(c)将11、mknl分别乘以方程(b)的第一、第二和第三个方程xl211xym211xzn21121211xyl2mlym2mlyzn2ml2m2mlxzl2nlyzm2nlzn2nl2n2nl(d)将方程(c)的三式相加，得到1(1112itnlm2nln2)X1112ymlm2znln2xy(mll2llm2)xz(nll2lln2)yz(nlm2mln2)将方程式(d)的三式相加得到2(1112mlm2nln2)xlll2ymlm2znln2xy(m21111ml)xz(n21112nl)yz(n2mlm2nl)将(e)和(f)相减得(1 2)(1112mlm2nln2)0假设主应力的一对共辄虚根。1,。2为AiB,AiB相应的特征向量也是共瓶的，可以假设为11 al ibl,12aliblml a2 ib2,m2 a2ib2nla3ib3,n2a3ib3将这组解代入(g)式，可以得到(1 2)(albla2b2 a3 a3)022222由于11,ml,nl以及12,m2,n2有非零解，这要求al、a2>a3、bl、b2>b3不全为零，因此albla2b2a3a30222222这表明只有当1 20时，才能满足(g)式，因此1 2(AiB)(AiB)1 22iB0即只有当B=0时(g)式才能满足，即。1和。2是实数时(g)式才能满足。这样我们从假设。1、。2是主应力的一对共挽虚根出发，导出。1和。2只能是实根的结果，这就证明了主应力全为实数。三、正交性假设主应力为。1、。2、o3,对应主方向分别为11、ml、nl；12、m2、n2；13、m3、n3o则由(g)式(1 2)(1112mlm2nln2)0(2 3)(1213m2m3n2n3)0(3 1)(1311m3mln3nl)0若1 2,2 3,3 1,则有1213m2m3n2n301311m3mln3nl0这表明三个主方向相互垂直。若1 2,2 3,则有1213m2m3n2n301112mlm2nln20这表明。3垂直于。1和。2张成的平面，而。1与。2可以垂直，也可以不垂直。若1 2 3,1311m3mln3nl0则。1、。2、。3可以相互垂直，也可以不垂直。四、极值性极值性在下节讨论第六节最大法向应力和最大剪应力从前面的讨论已知过点P的不同平面上，法向应力和剪应力是不同的，这与面的方向有关。现在求过点P的平面，在该面上法向应力最大或剪应力的最大。为讨论方便起见，设该点的三个主应力各不相同，并以主应力方向为坐标方向，因此有下图所示的四面体最大法向应力按斜面应力公式Px■11;Py2m;Pz3n（1,m,n）是斜面的外法线n与xl轴（。1方向）、x2（。2方向）、x3轴（。3方向）夹角的方向余弦。因此斜面ABC上的应力矢量为onPxlPymPzn112m3n222（2-22）也可以采用另•种方式导出上式。四面体的平衡要求11图2T5GndSIdSxi2dSyj3dSzk注意到dSxyds,dSdsm,dSzds，上式可写成GnHi2mj3nk将斜面上的应力矢量Gn向n方向的投影得到法向应力on,因此有Gnnn(Hi2mj3nk)n(lli2mj3nk)(limjnk)因此得到(2-22)式，n112 2m2 23n由于12m2n21因此121m2n2o这样(2-22)式可写为n1(1mn2)222m3n显然当

(2-23)nm2m(2 1)0;nn2n(2 1)0(2-24)时。n取到极限值。由于已假设1 2 3,因此只有m=n=0时(2-24)式才满足,将m=n=0代入(2-23)得到1将11,

代入(2-22)代入(2-22)得到n1,这表明1是法向应力的一个极值。这还表明1是法向应力取极值的方向。按前面的规定，在1 1,m=n=O面上，只有法向应力。1,因此。1是。n的一个极值。用同样的方法还可以推出。2、。3也是。n的极值。一般规定。1＞。2＞。3。因此。1、。2、。3是法向应力的极值，这就证明了主应力的极值性。最大剪应力在主应力空间的一个作用面ABC上，应力矢量的大小的平方为|Gn|PxPyPz112m3n2222222222(2-25)法向应力的大小的平方为22222n(112m3n)(2-26)因此剪应力的大小的平方为22222222222223n)(2-27)n|Gn|n112m3n(112m3n)(2-27)利用12m2n21消去n,并代入上式可以得到n(1 3)12222(223)m22[(1 3)122(23)m23]2剪应力取极值的条件是

(2-28)这样可以得到11n1 3)1(2 3)m 3]21(1 3)}01,m,n1 3)1(2 3)m 3]21(1 3)}01,m,n不全为零，(2 3)m 3][(1 3)1(2 3)m 3]}2222(2-29)由于1 2 3和n{[(1 3)1222222222因此n10等价于21(1 3)41(1 3)[(1 3)1(2 3)m 3]02222上式可写为1(1 3)[(1 3)2(1 3)1(2 3)m23]022(2-30a)同理nm0,导出22m(2 3)[(2 3)2(1 3)1(2 3)m23]0(2-30b)整理上两式，可以得到1221( )[( )1()m(1 3)]0131323 2m()[( )12( )m21( )]0231323232由于1 2 3,因此上式等价于122TOC\o"1-5"\h\z( )1()m(1 3)01323 2( )12( )m21( )0132323 2若1m0,则上面的两个方程矛盾，因此1和m中必有一个为零。若令m=0,则有12(1 3)2(1 3)12了2从上式可以导出，1212石，还可以导出12mn120n1,n2同理，若令1=0,可导出m12,n12如果消去1,按同样的方法可以得到在n=0的情况下，有1212,112，皿212,m综合以上的讨论，在以下三种情况下剪应力取极值表2-3IIIin/0哇*in+L一百01+ 一«11+L一石+_L一80当然1=0,m=0,也可能是0,nmn10的解。但在这种情况下，n=±l,前面已经求出，（0,0,±1）是主方向，其对应的平面是主平面。在该面上n0,而n3,因此（0,0,±1）不是剪应力取极值的作用面。类似地，（0,±1,0）和（1.0,0）也不可能是剪应力取极值的作用面。因此剪应力取极值的作用面只有表2-3所示的三种。将这三种情况代入（2-27）式，可以求出21)2314(2 3)214(2223223)(2 3)42即32(2_31a)同理可得22(2-31b>c)由于1 2 3,最大剪应力为max3(2-32)从(2-32)和(2-27)可以看出，此时作用面的方向余弦为忑(1m0,n因此该平面平行于x2(。2)轴，与xl(。1)和x3(o3)轴的夹角为由(2-26)式，该面上的正应力为n113nxl(1)图2-163(2-33)-b±\]b-4«c如果12 32a,则按(2-31)或(2-27),n0,这表明对于各向同性材料，在静水压力作用下内部无剪应力。第七节平面应力状态下的最大主应力与最大剪应力由平面应力条件下的应力分量坐标变换公式(2T6)知道，此时n12(xy)1212(xy)cos2xysin2(2-16a)最大主应力按主应力的定义，此时作用面上的剪应力为零，因此从(2T6c)式可知，此时tan22xyxy(2-34)图2-17由于tan2tan(2)因此n方向及之正交的方向是两个主方向，两个主方向与ox轴分别呈及2的角度122xyarctanxy(2-35)引入辅助三角形可以得到加,一°」：+4匚cos22xy图2-18J(0,-%)'+4.,sin22 (2-36)将(2-36)代入(2T6a)式，可以得到，最大主应力为1,212(xy)(2-32)剪应力的极值剪应力的极值可由以下条件求出dnd因此从(2T6a)式得到，满足cot2P2xyxy(2-38)(2-38)式的面是剪应力取极值的作用面，同理2P和2P同时满足上式。因此,2P和2P是剪应力取极值的平面P12arctan(2xy)xy(2-39)作辅助三角形容易得到sin2P图2T9+4=cos2P2 (2-40)将(2-40)代入(2-16c)式可得maxmm(2-41)若xy0,则x1,y 3是两个主应力，此时剪应力的极值为maxmin2(2-42)按三角学和(2-38)可得tg(2Pctg2Pxyxy(2-43)比较(2-35)和上式可以得到tan2tan(2P)(2-44)因此，剪应力极值的作用面与主应力极值的作用面成45°角。与前面三维情况下的讨论结果一致。第八节八面体上的应力下面讨论一类特殊的作用面。其法线n与主应力1、 2、 3夹角相等的作用面。这样的面一共有八个，由这八个面围成的微元体称为八面体。由于1此八面体的倾角为mn和12m2n21,因耳1mn(2-44)图2-20八面体八面体上的正应力在八面体的任一表面上Px11,Py 2m,Pz 3n,因此正应力为P2228PxlPymzn112m13n3(12 3)八面体上的剪应力八面体上的应力矢量的大小为P22xPyP2z因此八面体上剪应力的大小为22228(PxPyPz)222222222228 112m3n(112m3n)13(222TOC\o"1-5"\h\z11 2 3)9(12 23)19[( 22212)(2 3)(3 1)]122283[(1 2)(2 3)(3 1)]如果是非主应力空间，八面体上剪应力的大小为12y)[(y)22221/2z)(zx)6(xyyzzx)]第九节应力张量和应力偏张量定义平均应力为(2-45a)(2-46a)(2-46b)(xyz)(2-47)则应力张量可作如下分解xyxzxxyyzyxmyzyxz zxxzxyymzyxzyzzmm0 0m00m上式右端第一个矩阵为应力偏张量，记为SxSijSyxSzxSxySySzySxzSyzSz(2-48a)式中TOC\o"1-5"\h\zSxy xy,Syz yz,Szx zx,Sx x m,Sy y m,Sz z m(2-48b)Sxy Syz Szx0的作用面上，应力偏张量为SISij000S200 0S3(2-49)按照与主应力类似的定义和求主应力的方法，偏应力的主量可由下式决定SJISJ2SJ3032(2-50)式中(2-51a)J2SxSyxSxySySySzySyzSzSzSxzSzxSx(2-51b)SxJ3SyxSzxSxySySzySxzSyzSz(2-51c)Jl、J2、J3都是不变量。不变量J2的各种表示塑性是材料的应力状态满足一定条件时发生的现象，因此塑性屈服准则可表示为f(ij)0由于已知应力张量ij,可以求出主应力。因此，一般将塑性屈服准则写成f(1,2,3)0在塑性力学中，应力偏量的第二不变量用的特别多，基于如下两个原因1、通常情况下，体积变形是弹性的，形状改变才可能有塑性屈服，应力偏量的第一不变量是体积应力，对均匀各向同性材料，体积应力不引起形状改变；2、材料的屈服条件，是材料自身特性，与所选择的坐标系无关。因此，可用应力不变量表示，而J2是应力不变量。由J2的定义(2-51b)可得：J22(SxSySySzSzSx)(SxyS22yzSzx)从偏应力第一不变量的定义(2-5匕)可以得到J222221(SxSySz)SxSySz2(SxSySySzSzSx)0从上式可以得出(SxSySySzS22zSx)(S2xSySz)代入J2的表达式，得到J1222222122(SxSySz)(SxySyzSzx)2SijSij如果在主应力空间，则J222212(SIS2S3)又S2222xSySz3(SxSyS2122z)3(SxSyS2z)23[S2222xSySz3(SxSySySzSzSx)]1[(S223S2xSy)(SySz)(Szx)]因此J12226[(SxSy)(SySz)(SzSx)6(SxyS22yzSzx)]注意到SxSyxy;SySzyz;SzSxz则J22216[(xy)(yz)(z2222x)6(xyyzzx)]在主应力空间J222[(1 2)3)1)]除了八面体上的剪应力与正应力外，塑性力学中有关的量还有1、有效应力师2(22212) 2 3)(3 1)]在简单拉伸中1 ,2 30时，还原为1这就是将称为有效应力的原因。(2-52)(2-53)(2-54)(2-55a)(2-55b)(2-55c)(2-56a)(2-56b)2、有效剪应力T(又称有效剪应力强度1 2)2 3)3 1)]222(2-57a)在纯剪1 ,20,3时还原为T(2-57b)这就是将T称为有效剪应力的原因。3、J2与8的关系813[(1 2)(2 3)(3 1)]1622222212J2[(1 2)(2 3)(3 1)]因此6J22,8(2-58)利用这个关系可以导出非主应力空间中的8表达式(2-46b)。4、J2与剪应力极值的关系J246[(TOC\o"1-5"\h\z1 22)(232)(21)][12 3]222(2-59)5、 1 ,20,3 ,等价于纯剪应力状态-Oa a-ox3(3)x3(3)xl(1)1(1)图2-21证明如下：按照应力变换的公式(++)式，在与xl、x3轴夹角为剪应力分别为的平面上，法向应力和1 3]cos(2)(02422213)sin2)sin12226、偏应力张量代表纯剪应力状态证明如下：由于SxSySz0,因此SySxSzo将偏应力张量做如下以分解SxSxySxzSxySySyzSxzSxSyzSxySzSxzSxySxSzSyzSxzSxSyz00SxOTOC\o"1-5"\h\z0 0 0Sxy0 OSxz OOO0 0SxyOO00 0000OOSyz0 0 Syz 00 00SzO00Sz按照上面的讨论，上面的5个应力状态每一个都代表纯剪应力状态。证毕！第十节应力张量的几何表示应力椭球设在主应力空间中有一斜截面，其法线n的方向余弦为（1,m,n）,在斜截面上的应力矢量为Gn,它的平行于xl、x2、x3轴的分量为P111,P22m,(2-60)因此1Pl1，mP2222，nP33(2-61)由于12mn1,从上式可以导出22Pl22P2P32231(2-37)上式是以Pl、P2、P3为坐标轴的空间内的椭球面，称为应力椭球，它的三个半主轴长分别为1,2,3O其几何含义是，如果过0点的任一斜截面上的应力，用应力矢量P表示，则从0点出发，到椭球面上(2-37)上的矢端曲线P,其长度就是应力矢量P的大小，其方向余弦就是该应力矢量的方向的描述。如果12 3m,则(2-37)式变为PlP2P3m2222(2-62)这是以m为半径，以。点为圆心的球面方程，如图2-23所示。

(b)图2-2300 表示应力球张量，便由此得名。 m将过P点的任意斜截面上的正应力和剪应力用n,n平面上的应力点表示，称为莫尔圆。现在讨论斜截面方向变化时，点的应力分量变化的规律的几何表示。二维应力莫尔圆在平面坐标系中，如103中，任意斜截面上的正应力和剪应力由下式确定(1 3)12(1 3)cos2In 2(1 3)sin2将改写以上二式为[n12(21221 3)][2(1 3)]cos2 2322n(12)sin2

2图2-24应力莫尔圆1013图2-25将(2-63)的两个方程相加可得(2-63a)(2-63b)[n12(1 3)]n(221 32)2(2-64)的圆。由斜截面方向变化上式是nn平面上，以[12(1 3),0]为圆心，半径为3时，相应的应力点（n,n）的移动的轨迹形成。在n-n平面上与1成2角的射线AB与应力莫尔圆的交点（通常被称为应力点），其坐标（n,n）就是103平面中与1成角的斜截面AB上的正应力和剪应力（图2-25）,在平面主坐标系102, 203中可类似地作出相应的应力莫尔圆，二维应力莫尔圆在岩石力学中有重要的应用。三维应力莫尔圆选用主坐标系，以P点为中心，作单位球面，对于过P点的任意截面都可以在球面上找到一个与它平行的面元。正截面：截面法线与坐标轴平行的面，如上图中的面元A、B、C。主斜截面：与坐标轴平行的面元，如上图中的面元D垂直于平行于x3轴，E垂直于x2轴，F垂直于xl轴。任意斜截面：截面法线既不与坐标轴平行，也不与坐标轴垂直。如上图中的面元H。正截面A、B、C是主平面，其上只有主应力，没有剪应力，在nn图上，应力点在n轴上。并且已详细讨论过，此处不再讨论。主斜截面，如上图中，面元B经水平大圆转一个角度，成为面元D的情况。这类截面的特点是外法线与x3轴垂直，即有n=0,12+m2=l,截面上的法向应力和总应力为22n11 2m；G2x3x21图2-26112m112222

剪应力为tn2G2n112m(11 2m)22222222(2-65)由（2-65）可以看出，截面上的n和n仅与1和2有关。其应力点的轨迹在上面讨论过的二维应力莫尔圆上，其方程为2)n(221 22)r322(2-66a)因为与3无关，按上式画出的圆称为03圆。对于主斜截面E和F,其对应的二维应力莫尔圆为(n(n3)n()n(222232)r2)rl(2-66b)(2-66c)32322分别称为02圆和01圆，这三个二维应力莫尔圆如下图所示图2-27如上面讨论过的，在这三个平面坐标系中，应力点(n,n)的轨迹分别画出了三个应力莫尔圆。最后讨论任意斜截面H,与x3轴夹角为的主斜截面F,绕x3轴转动，沿平行圆一直转动到主斜截面G。在这样转动过程中形成的斜截面与x3轴的夹角不变。斜截面H是这组截面中具有代表性的斜截面。对这组斜截面，应考虑主应力3对n和n的影响。在主应力空间中nG2221122m222(++)222112m3n2222222tnGn(112m3n)(112m3n)222(++)将(++)和(++)代入(2-66a)可以得到n(1 2)222)nnn(1 2)2221 32222)(112m3n)n222即TOC\o"1-5"\h\z1 32)(112m3n) (n22222221 22)n22整理上式TOC\o"1-5"\h\z(112m3n)(1 2) ((n22222)(112m3n)222222222n(n1 22)n3n12m13n121 23n()n(3 13 23)n 12(m1) ()n(3 13 23)n 12(1n)(2222222222222222222)2(nTOC\o"1-5"\h\z22)(n(n2222)222)n[3(3 1) 2(3l)]n(122)222(nTOC\o"1-5"\h\z2)n(3 1)(3 2)n(2222即有(n2)n(222)n(1 3)(2 3)R3(2-67a)式中R3o由于1 2 3,因此R3r3,比较(2-66a)和(2-67a)可以看出，(2-67a)描述了一个与03圆同心且半径大于03圆。同理可以证明，当主斜截面绕xl轴和x3轴旋转时，斜截面上应力点的轨迹分别画出(n1 32)n(22223)n(3 2)(1 2)R2222(2-67b))n(2 32)n(2 1)(3 1)RI(2-67c)容易看出，(2-67c)是与01同心的圆，且RIrl,即应力轨迹点在01圆的外面。(2-67b)是与02同心的圆，且R2r2,,即应力轨迹点在02圆的内侧。综合上面的讨论可以得到，与任意斜截面对应的应力轨迹点全部落在以三个主斜截面莫尔圆为边界的阴影区内。利用莫尔应力圆，可以用图解法来求任意斜截面上的n和no对于外法线与三个主轴夹角为、、的斜截面H,可以先通过圆心角2、2在01圆和03圆上找到相应主斜截Eo以0为圆心，0F为半面上的点F和D。然后以0为圆心，0D为半径，作圆弧D1133G,两圆弧的交点就是H,坐标(，)就是任意斜截面H上的法向应力和剪径，作圆弧Fnn应力。第十一节平衡微分方程以上集中讨论了具有确定坐标值的一点的应力状态的各个方面，现在研究一点的应力状态随坐标变化的规律，或者说研究以点P为邻域的一个空间微小体积。笛卡儿坐标系中的平衡澈分方程选取笛卡儿坐标系作为参考坐标，在任意点P的邻域内取一个外表面是坐标面，边长为dx、dy、dz的微元体。体力f作用在微元体的中心，在负面上的应力分量为ij,作用在面元的形心，在与负面有一段距离的正面上。应力分量也有相应的额增量，ijijo按Taylor级数展开，并略去高阶小量后，可以将正面处的应力，用相应的负面上的应力表示。如对一对x面，负x面上的应力分量为X(XX(Xx2x2,yy2y2,zz2z2),xy(xxy(xx2,yy2，Zz2),),xz(xxz(xy2,zz2z2)),y,z),x2,yy2,Zz2x2,yy2，Z利用Taylor级数展开，可以用负面上的应力分量表示正面上的应力分量。由于y和z坐标不变化，略去高阶小量后得到。xxXX负X面正面负面xy正X面xy负x面xyx负x面dxxz正X面XZ负X面xzX负X面dx简记为XXXdx,xyxydx,xzXZXdxy讨论微元体，在这些面力和体力作用下的平衡在正x面上，应力分量为(xx