变化率问题 人教A版高中数学 选修2 2课件

1.1.1

变化率问题1.1.1

变化率问题1(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？问题引入：注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少.变化率！

一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率．(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较2

一.提出问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球，吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是如果将半径r变为体积V的函数，那么一.提出问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球3我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

探究1：我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了当V从1增4hto在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,如5

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究2：计算运动员在这段时6hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，经过计算，，所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一时刻的运动状态.hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.57上述问题中的变化率可用式子表示平均变化率定义:则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样f(x2)=f(x1)+Δy称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

二.基本概念若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子8注：1.式子中Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.2.若函数f(x)为常函数时，Δy=0.3.变式注：9

三.思考?（平均变化率的几何意义）观察函数f(x)的图象，平均变化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率三.思考?（平均变化率的几何意义）观察函数f(x)的图象，10例1、求函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]的平均变化率.解：函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]

的平均变化率为四.例题例1、求函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]的平均变化率111.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量为(

)

A．f(x0+Δx)

B．f(x0)+Δx

C．f(x0)·Δx

D．f(x0+Δx)－f(x0)D2.一质点运动的方程为s=1-2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为(

)

A．-4

B．-8

C．-6

D．6C五.课堂练习1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，123.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy)，则为(

)

A．B．

C．D．CA4.质点运动规律s=t2+3，则在时间(3,3+Δt)中相应的平均速度为()A.6+ΔtB.

C.3+ΔtD.9+Δt3.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点135.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D6.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

2x0+Δx

7.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1，1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.5.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-14六.小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)求自变量的增量Δx=x2-x1(3)计算平均变化率六.小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:154.课本P10第1题yOtt1t0标准甲：W1(t)乙：W2(t)4.课本P10第1题yOtt1t0标准甲：W1(t)乙：W161.1.1

变化率问题1.1.1

变化率问题17(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？问题引入：注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少.变化率！

一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率．(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较18

一.提出问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球，吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是如果将半径r变为体积V的函数，那么一.提出问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球19我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

探究1：我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了当V从1增20hto在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,如21

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究2：计算运动员在这段时22hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，经过计算，，所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一时刻的运动状态.hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.523上述问题中的变化率可用式子表示平均变化率定义:则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样f(x2)=f(x1)+Δy称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

二.基本概念若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子24注：1.式子中Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.2.若函数f(x)为常函数时，Δy=0.3.变式注：25

三.思考?（平均变化率的几何意义）观察函数f(x)的图象，平均变化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率三.思考?（平均变化率的几何意义）观察函数f(x)的图象，26例1、求函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]的平均变化率.解：函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]

的平均变化率为四.例题例1、求函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]的平均变化率271.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量为(

)

A．f(x0+Δx)

B．f(x0)+Δx

C．f(x0)·Δx

D．f(x0+Δx)－f(x0)D2.一质点运动的方程为s=1-2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为(

)

A．-4

B．-8

C．-6

D．6C五.课堂练习1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，283.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy)，则为(

)

A．B．

C．D．CA4.质点运动规律s=t2+3，则在时间(3,3+Δt)中相应的平均速度为()A.6+ΔtB.