数学建模(线性规划)课件

数学规划模型数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。数学规划模型数学规划模型是在实际问题的数学建线性规划非线性规划整数规划动态规划线性规划1.线性规划模型表1.1生产计划问题的数据单位消耗产品

原料甲产品/t乙产品/t现有原料总量钢材/t95360电力/(kw.h)45200工作日/个310300

单位产品的利润/(万元/t)7121.线性规划模型表1.1生产计划问题的数据单位试拟订生产计划，使该厂获得利润最大试拟订生产计划，使该厂获得利润最大线性规划模型的解法两个变量的线性规划模型的图解法单纯形法数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、Matlab等线性规划模型的解法两个变量的线性规划模型的图解法例1.2投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并于次年年末回收本利115﹪；项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可买公债，于当年年末归还，并可获得6%的利息。已知该部门现有资金100万元，试为该部门确定投资方案，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？例1.2投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。1）模型建立。决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4)四个项目的投资额为xij（万元）。目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z，为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2

年份项目12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x541）模型建立。年份12345投资限额/③约束条件为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元，即x11+x14=100b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资的本利，即x21+x23+x24=106%x14同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收的各项投资本利，即x31+x32+x34=106%x24+115%x11,x41+x44=106%x34+115%x21,x54=106%x44+115%x31.③约束条件为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资金数学建模(线性规划)课件2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为x11=71.698112万元，x14=28.301888万元，x23=30万元，x32=40万元，x34=42.452831万元，x41=45万元，其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为例1.3货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。表1.3三个货舱装载货物的最大容许量和体积前舱中舱后舱重量限制/t10168体积限制/m3680087005300例1.3货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。表1.4四类装运货物的信息质量/t空间/(m3/t)利润(元/t)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下假设：①每种货物可以分割到任意小；②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；③多种货物可以混装，并保证不留空隙。2）模型建立。①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为③约束条件：约束条件包括以下4个方面：②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为③约束条件：数学建模(线性规划)课件3）模型求解。将以上模型输入Lindo模型，可以得到结果：最优解为x21=10t,x23=5t,x32=12.947t,x33=3t,x42=3.053t,其余变量均为零，最优值z=121515.8t3）模型求解。将以上模型输入Lindo模型，可以得到结果：2.非线性规划模型

非线性规划问题可以看作是线性规划问题的一种自然推广，亦是数学规划的一个重要组成部分。凡目标函数和约束条件中包含有非线性函数的数学规划问题都称为非线性规划问题。较之线性规划模型而言，非线性规划模型更能真实地反映问题的实质。2.非线性规划模型非线性规划问题可以看作是线性例2.1设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表2.1所示表2.1产品的消耗定额与资源供应量消耗定额产品资源ABCD资源可供应量甲1232200乙7981300丙3017400例2.1设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产

假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分别为p1=11-0.01x1,p2=12-0.02x2,p3=13-0.03x3,p4=14-0.04x4,试确定四种产品的产量，以便使总收益最大。假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而

显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不开忽略的重要因素：上述模型由于适当地考虑了价格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下由产量x1、x2、x3和x4线性确定，故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际经济活非线性规划模型求解

非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且求解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某些问题的有效方法，对另外的问题却未必有效。我们可以用一些数学软件来求解。非线性规划模型求解非线性规划模型的求解具有一定的例2.2工程造价问题

假定要建造容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元、12元，基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍，试建立使造价最省的数学模型。1）模型建立。①决策变量：设仓库的宽、高、长分别为x1,x2,x3(m)②目标函数：墙壁面积为2(x1x2+x2x3)，造价为8(x1x2+x2x3)；屋顶与地面面积为x1x3，造价为18x1x3

，则目标函数为z=8(x1x2+x2x3)+18x1x3

例2.2工程造价问题假定要建造容积为1500m③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制x1-2x2=0，及非负限制x1,x2,x3≥0由此得到数学模型2）模型求解。用Lingo软件求解。③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制2）例2.3经营计划问题某公司经营两种设备，假设每种设备的单位售价以及售出单位设备所需的营业时间及该公司在某段时间内的总营业时间见表2.2（表中x1,x2为两种设备的售出数量），建立营业额最大的营业营业计划模型。表2.2经营计划的数据设备ⅠⅡ公司可使用营业时间单位售价/元30450800售出单位设备的营业时间/h0.52+0.25x2例2.3经营计划问题某公司经营两种设备，假设每种设备的单位3整数规划模型

在一个数学规划模型中，如果它的某些决策变量或全部变量要求取整数时，就称这个数学规划模型为整数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、混合整数规划及0-1规划。3整数规划模型在一个数学规划模型中，如果它的某整数规划模型的一般形式整数规划模型的一般形式例3.1某航空公司为满足客运量日益增长的需要，欲购置一批新的远程及短程客机。每架客机价格6300万元，中程客机5000万元，短程客机3500万元。该公司现有资金7.5亿元可用于购买飞机。估计年净利润每架远程客机为420万元，中程客机300万元，短程客机230万元。该公司现有熟练驾驶员可用来配备30架新飞机。维修设备足以维修新增加40架新的短程客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，而每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。为获取最大利润，该公司应购买各类客机多少架？例3.1某航空公司为满足客运量日益增长的需要，欲购置一批新用Lindo软件求解用Lindo软件求解例3.2合理下料问题

某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.1）现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管，应如何下料最节省？1）问题的分析。首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一种组合。例如：我们可以将19m的钢管切割成3根4m的钢管，余料为7m；或者将19m的钢管切割成4m、6m和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模式是很多的。例3.2合理下料问题某钢管零售商从钢管厂家进

其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小此寸。例如：将19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的，但余料为7m，可以进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为3m），或者将7m的余料切割为6m钢管（余料为1m）。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表3.1所示其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通表3.1钢管下料的合理切割模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料m模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023表3.1钢管下料的合理切割模式4m钢管根数6m钢管根数8问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少根原料钢管最为节省。而所谓最为节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。2）模型建立。决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标，则由表3.1可得

z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7

以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少下面分别在这两种目标下求解。3）模型求解分别将目标函数与约束条件构成整数线性规划模型输入Lindo求解。下面分别在这两种目标下求解。3）模型求解2）该客户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省？1）问题分析。按照问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。

同问题1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于和等于客户需要的钢管的最小尺寸(本题中为4m)，切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中的参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3m。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。2）该客户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应2）模型建立。决策变量：由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按照第i种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m,5m,6m和8m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i和r4i(均为非负整数)。2）模型建立。3)模型求解。以上模型是一个整数非线性规划模型，我们用Lingo软件求解。3)模型求解。0-1整数规划模型例3.3指派问题。在实际工作中，常常会碰到这样的问题：要派n个人去完成n项不同的任务，每人必须而且只需完成其中一项。但由于各人的专长不同，完成各项任务的效率也就不同，因此就产生这样一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使总的效率最高或总的花费时间最少？今欲指派甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种不同零件，每人加工四种零件分别所需要的时间如表3.2所示。问应该指派每人加工何种零件使总的花费时间最少？0-1整数规划模型例3.3指派问题。表3.2工人加工零件的工作效率ABCD甲4658乙61074丙78119丁9386表3.2工人加工零件的工作效率ABCD甲4658乙610数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件例3.4选址问题某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点Ai(i=1,2,…,7)可供选择，且规定：东区只能在A1,A2,A3中至多选两个点；西区只能在A4,A5两个点中至少选一个点；南区只能在A6,A7中至少选一个点。如选用Ai，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，问在投资不得超过b元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额b为1000万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci,列于表3.3，试求最优选址方案。例3.4选址问题表3.3投资估计与年获利估计i1234567bi/万元15018030020030010080ci/万元25466053551716表3.3投资估计与年获利估计i1234567bi/万元15数学建模(线性规划)课件这是一个变量只能取0或1的整数规划模型，是整数规划中的特殊情形，称之为0-1整数规划模型。用Lindo软件求解。这是一个变量只能取0或1的整数规划模型，是整数规划中的特殊情4动态规划

前面介绍的各种规划都是在决策条件下相对确定的，即系统处于某一确定阶段时的最优化决策方法。但在实际工作中，当对一个经济系统进行分析时，往往要求对系统在包括若干阶段的整个过程进行最优化决策(称为多阶段决策问题)。所谓多阶段决策过程，是指这样一类决策过程，由于它的特殊性，可以将该过程(一般是按时间或空间)划分为若干个互相联系的阶段而在每个阶段都需要做出决策，以使整个过程取得最优的效益。在多阶段决策过程中，各个阶段所采取的决策通常与时间有关，4动态规划前面介绍的各种规划都是在决策条件下前一阶段采取的决策如何，不但决定着该阶段的效益，而且还直接影响到以后各阶段的效益，可见它是一个动态的规划问题，所以称为动态规划。当然动态规划也可以用来处理本来与时间无关的静态问题，这只需在静态模型中人为地引进“时间”因素，并按时间分段将静态问题转化为动态模型，然后按动态规划方法处理。

动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法。因而它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一种规则，而是必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。前一阶段采取的决策如何，不但决定着该阶段的效益，而且还直接影例4.1(最短路线问题)

设在图4.1中，A,Bi,Cj,Dp,E(i,j=1,2,3,p=1,2)代表城市，两城市之间的连线代表道路，连线旁的数字代表道路的长度。求由城市A到城市E的最短路线。AB1B2B3C1C2C3D1D2E3541584644242697512例4.1(最短路线问题)

设在图4.1中，A,Bi,Cj,

解此问题可以先求出一切可能的点A到点E的路线，求出各条路线的总长度，再比较它们的大小，选出其中的最小者即为所求。这种解法(穷举法)想起来十分简单，但真要实现它却比较困难，特别是当城市和道路的数量较多时，穷举法的计算量非常大，以致使大型计算机的计算也会失去实用价值。容易看出，在穷举法中有许多计算是重复的，例如在计算路线AB1C2D1E与路线AB1C2D2E的总长时，其中AB1C2的长度就要重复计算两次。下面给出一种高效的计算方法。首先依照空间的自然顺序，将该问题划分为4个阶段，并引入如下符号：解此问题可以先求出一切可能的点A到点E的路线，求数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件例4.2背包问题：一个旅行者需要某些物品。假设可以在4种物品中随意挑选，且已知每件物品的重量及其效用，效用能够用数量表示出来。又设旅行者背包最多只能装10kg物品，相应数据由表4-2给出。问如何选取装入背包中的物品及件数，才可使总效用最大？表4-2每件物品的相应信息物品重量(kg)效用15262316329415例4.2背包问题：一个旅行者需要某些物品。假设可以在4种

解：这是一个整数规划问题。然而由于该模型的特殊结构，可以通过对问题的分析得出用动态规划解此类问题的基本思想和基本方法。类似于例4.1的做法，首先对某一物品求最优。假设在背包中装物品1，2，3的最优件数已定，要决定如何装物品4，使效用最大。对物品4求最优时，其限装数量应是0到10之间的整数，记为s4(表示装入物品4的重量，因为每件物品4的重量等于1kg),求得的最大效用是s4的函数f4(s4)，于是解：这是一个整数规划问题。然而由于该模型的特数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件例4.3机器负荷分配问题：某种机器可在高低两种负荷下进行生产，设机器在高负荷下的产量g与投入生产地机器数量x的关系为g=10x，年完好率为a=0.75;在低负荷下的产量h与投入生产地机器数量y的关系为h=8y,年完好率为b=0.9.假定开始生产时完好的机器数量s1=100,试制定一个5年计划，确定每年年投入高低两种负荷下生产地机器数量，使5年内产品的总产量最大。例4.3机器负荷分配问题：某种机器可在高低两种负荷下进行数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件5多目标规划*

在过程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题.5.1引例投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并由m个项目A1,A2,…,Am可供选择。如果对第i个项目投资的话，需用资ai元，并获得收益ci元，试确定最佳投资方案。5多目标规划*在过程技术、生产管理以及国防建数学建模(线性规划)课件建模举例投资收益和风险问题。市场上有n种资产(股票、债券等)Si(i=1,2,…,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务人员对Si种资产进行评估，估算在这一时期内购买Si有平均收益率为ri,并预测出购买Si的损失率为qi.考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中的最大一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi,并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算(不买当然无须付费)。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险(r0=5%)建模举例已知n=4时的相关数据见表5.1表5.1n=4收益率、损失率、费率、给定值Siri/%qi/%Pi/%ui/元S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银生息，使净收益尽可能大，风险尽可能小。已知n=4时的相关数据见表5.1表5.1n=4收益率、损失数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件数学规划模型数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。数学规划模型数学规划模型是在实际问题的数学建线性规划非线性规划整数规划动态规划线性规划1.线性规划模型表1.1生产计划问题的数据单位消耗产品

原料甲产品/t乙产品/t现有原料总量钢材/t95360电力/(kw.h)45200工作日/个310300

单位产品的利润/(万元/t)7121.线性规划模型表1.1生产计划问题的数据单位试拟订生产计划，使该厂获得利润最大试拟订生产计划，使该厂获得利润最大线性规划模型的解法两个变量的线性规划模型的图解法单纯形法数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、Matlab等线性规划模型的解法两个变量的线性规划模型的图解法例1.2投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并于次年年末回收本利115﹪；项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可买公债，于当年年末归还，并可获得6%的利息。已知该部门现有资金100万元，试为该部门确定投资方案，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？例1.2投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。1）模型建立。决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4)四个项目的投资额为xij（万元）。目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z，为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2

年份项目12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x541）模型建立。年份12345投资限额/③约束条件为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元，即x11+x14=100b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资的本利，即x21+x23+x24=106%x14同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收的各项投资本利，即x31+x32+x34=106%x24+115%x11,x41+x44=106%x34+115%x21,x54=106%x44+115%x31.③约束条件为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资金数学建模(线性规划)课件2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为x11=71.698112万元，x14=28.301888万元，x23=30万元，x32=40万元，x34=42.452831万元，x41=45万元，其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为例1.3货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。表1.3三个货舱装载货物的最大容许量和体积前舱中舱后舱重量限制/t10168体积限制/m3680087005300例1.3货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。表1.4四类装运货物的信息质量/t空间/(m3/t)利润(元/t)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下假设：①每种货物可以分割到任意小；②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；③多种货物可以混装，并保证不留空隙。2）模型建立。①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为③约束条件：约束条件包括以下4个方面：②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为③约束条件：数学建模(线性规划)课件3）模型求解。将以上模型输入Lindo模型，可以得到结果：最优解为x21=10t,x23=5t,x32=12.947t,x33=3t,x42=3.053t,其余变量均为零，最优值z=121515.8t3）模型求解。将以上模型输入Lindo模型，可以得到结果：2.非线性规划模型

非线性规划问题可以看作是线性规划问题的一种自然推广，亦是数学规划的一个重要组成部分。凡目标函数和约束条件中包含有非线性函数的数学规划问题都称为非线性规划问题。较之线性规划模型而言，非线性规划模型更能真实地反映问题的实质。2.非线性规划模型非线性规划问题可以看作是线性例2.1设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表2.1所示表2.1产品的消耗定额与资源供应量消耗定额产品资源ABCD资源可供应量甲1232200乙7981300丙3017400例2.1设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产

假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分别为p1=11-0.01x1,p2=12-0.02x2,p3=13-0.03x3,p4=14-0.04x4,试确定四种产品的产量，以便使总收益最大。假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而

显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不开忽略的重要因素：上述模型由于适当地考虑了价格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下由产量x1、x2、x3和x4线性确定，故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际经济活非线性规划模型求解

非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且求解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某些问题的有效方法，对另外的问题却未必有效。我们可以用一些数学软件来求解。非线性规划模型求解非线性规划模型的求解具有一定的例2.2工程造价问题

假定要建造容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元、12元，基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍，试建立使造价最省的数学模型。1）模型建立。①决策变量：设仓库的宽、高、长分别为x1,x2,x3(m)②目标函数：墙壁面积为2(x1x2+x2x3)，造价为8(x1x2+x2x3)；屋顶与地面面积为x1x3，造价为18x1x3

，则目标函数为z=8(x1x2+x2x3)+18x1x3

例2.2工程造价问题假定要建造容积为1500m③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制x1-2x2=0，及非负限制x1,x2,x3≥0由此得到数学模型2）模型求解。用Lingo软件求解。③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制2）例2.3经营计划问题某公司经营两种设备，假设每种设备的单位售价以及售出单位设备所需的营业时间及该公司在某段时间内的总营业时间见表2.2（表中x1,x2为两种设备的售出数量），建立营业额最大的营业营业计划模型。表2.2经营计划的数据设备ⅠⅡ公司可使用营业时间单位售价/元30450800售出单位设备的营业时间/h0.52+0.25x2例2.3经营计划问题某公司经营两种设备，假设每种设备的单位3整数规划模型

在一个数学规划模型中，如果它的某些决策变量或全部变量要求取整数时，就称这个数学规划模型为整数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、混合整数规划及0-1规划。3整数规划模型在一个数学规划模型中，如果它的某整数规划模型的一般形式整数规划模型的一般形式例3.1某航空公司为满足客运量日益增长的需要，欲购置一批新的远程及短程客机。每架客机价格6300万元，中程客机5000万元，短程客机3500万元。该公司现有资金7.5亿元可用于购买飞机。估计年净利润每架远程客机为420万元，中程客机300万元，短程客机230万元。该公司现有熟练驾驶员可用来配备30架新飞机。维修设备足以维修新增加40架新的短程客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，而每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。为获取最大利润，该公司应购买各类客机多少架？例3.1某航空公司为满足客运量日益增长的需要，欲购置一批新用Lindo软件求解用Lindo软件求解例3.2合理下料问题

某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.1）现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管，应如何下料最节省？1）问题的分析。首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一种组合。例如：我们可以将19m的钢管切割成3根4m的钢管，余料为7m；或者将19m的钢管切割成4m、6m和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模式是很多的。例3.2合理下料问题某钢管零售商从钢管厂家进

其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小此寸。例如：将19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的，但余料为7m，可以进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为3m），或者将7m的余料切割为6m钢管（余料为1m）。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表3.1所示其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通表3.1钢管下料的合理切割模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料m模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023表3.1钢管下料的合理切割模式4m钢管根数6m钢管根数8问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少根原料钢管最为节省。而所谓最为节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。2）模型建立。决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标，则由表3.1可得

z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7

以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少下面分别在这两种目标下求解。3）模型求解分别将目标函数与约束条件构成整数线性规划模型输入Lindo求解。下面分别在这两种目标下求解。3）模型求解2）该客户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省？1）问题分析。按照问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。

同问题1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于和等于客户需要的钢管的最小尺寸(本题中为4m)，切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中的参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3m。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。2）该客户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应2）模型建立。决策变量：由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按照第i种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m,5m,6m和8m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i和r4i(均为非负整数)。2）模型建立。3)模型求解。以上模型是一个整数非线性规划模型，我们用Lingo软件求解。3)模型求解。0-1整数规划模型例3.3指派问题。在实际工作中，常常会碰到这样的问题：要派n个人去完成n项不同的任务，每人必须而且只需完成其中一项。但由于各人的专长不同，完成各项任务的效率也就不同，因此就产生这样一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使总的效率最高或总的花费时间最少？今欲指派甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种不同零件，每人加工四种零件分别所需要的时间如表3.2所示。问应该指派每人加工何种零件使总的花费时间最少？0-1整数规划模型例3.3指派问题。表3.2工人加工零件的工作效率ABCD甲4658乙61074丙78119丁9386表3.2工人加工零件的工作效率ABCD甲4658乙610数学建模(线性规划)课件数学建模(线性规划)课件例3.4选址问题某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点Ai(i=1,2,…,7)可供选择，且规定：东区只能在A1,A2,A3中至多选两个点；西区只能在A4,A5两个点中至少选一个点；南区只能在A6,A7中至少选一个点。如选用Ai，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，问在投资不得超过b元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额b为1000万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci,列于表3.3，试求最优选址方案。例3.4选址问题表3.3投资估计与年获利估计i1234567bi/万元15018030020030010080ci/万元25466053551716表3.3投资估计与年获利估计i1234567bi/万元15数学建模(线性规划)课件这是一个变量只能取0或1的整数规划模型，是整数规划中的特殊情形，称之为0-1整数规划模型。用Lindo软件求解。这是一个变量只能取0或1的整数规划模型，是整数规划中的特殊情4动态规划

前面介绍的各种规划都是在决策条件下相对确定的，即系统处于某一确定阶段时的最优化决策方法。但在实际工作中，当对一个经济系统进行分析时，往往要求对系统在包括若干阶段的整个过程进行最优化决策(称为多阶段决策问题)。所谓多阶段决策过程，是指这样一类决策过程，由于它的特殊性，可以将该过程(一般是按时间或空间)划分为若干个互相联系的阶段而在每个阶段都需要做出决策，以使整个过程取得最优的效益。在多阶段决策过程中，各个阶段所采取的决策通常与时间有关，4动态规划前面介绍的各种规划都是在决策条件下前一阶段采取的决策如何，不但决定着该阶段的效益，而且还直接影响到以后各阶段的效益，可见它是一个动态的规划问题，所以称为动态规划。当然动态规划也可以用来处理本来与时间无关的静态问题，这只需在静态模型中人为地引进“时间”因素，并按时间分段将静态问题转化为动态模型，然后按动态规划方法处理。

动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法。因而它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一种规则，而是必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。前一阶段采取的决策如何，不但决定着该阶段的效益，而且还直接影例4.1(最短路线问题)

设在图4.1中，A,Bi,Cj,Dp,E(i,j=1,2,3,p=1,2)代表城市，两城市之间的连线代表道路，连线旁的数字代表道路的长度。求由城市A到城市E的最短路线。AB1B2B3C1C2C3D1D2E3541584644242697512例4.1(最短路线问题)

设在图4.1中，A,Bi,Cj,

解此问题可以先求出一切可能的点A到点E的路线，求出各条路线的总长度，再比