教育学第六章 相关与回归分析课件

第六章相关与回归分析第六章相关与回归分析第一节相关的种类一、相关的概念现象之间的关系可分为两类：一类是函数关系即现象之间确实存在的严格的依存关系在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一个变量的确定的值与之相对应，可以用数学表达式反映出来。例如圆的周长=2πR，就是函数关系。第一节相关的种类一、相关的概念1、是一一对应的确定关系2、设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量3、各观测点落在一条线上

xy函数关系1、是一一对应的确定关系xy函数关系另一种关系是相关关系即现象之间确实存在的不严格的依存关系在相关关系中某一变量的每一个数值，另一个变量都有许多数值与之相对应，不是一一对应关系，是不严格的依存关系。1、变量间关系不能用函数关系式精确表达2、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3、当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个4、各观测点分布在直线周围

xy另一种关系是相关关系1、变量间关系不能用函数关系式精确表达例：1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系

2、商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系

3、粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系

4、收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系

5、父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系例：1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系自变量：在相关关系中，有时存在一定的因果关系，一般把起着影响作用、主导作用的那个因素的标志称为自变量，也称之为因素标志因变量：把受到自变量影响而发生变动的那个因素的标志称为因变量，也称之为结果标志。有时两变量之间互为因果，在这种情况下，就只有根据研究目的来决定自变量和因变量。自变量：在相关关系中，有时存在一定的因果关系，一般把起着影响二、相关的种类（一）按变量之间的相关强度有：完全相关、不完全相关和不相关二、相关的种类（一）按变量之间的相关强度有：完全相关、不完全（二）按变量之间相关的方向分为正相关和负相关（二）按变量之间相关的方向分为正相关和负相关（三）按变量之间相关的形式分为线性相关和非线性相关xy非线性相关（三）按变量之间相关的形式分为线性相关和非线性相关（四）按影响因素的多少（即变量的多少）分为单相关和复相关两个变量之间的相关关系称为简单相关，又称单相关。三个或三个以上变量之间的相关关系称为多元相关，又称复相关。复相关可以分解为简单相关，即在实际工作中，如果存在多个自变量对一个因变量的关系，可以抓住其中最主要的因素，研究其相关关系，将多元相关化为简单相关。（四）按影响因素的多少（即变量的多少）分为单相关和复相关三、相关分析的主要内容（一）确定现象之间有无关系，确定相关关系的表现形式。这是相关分析的出发点。主要根据经验、相关图表和相关系数。（二）确定相关关系的密切程度。相关系数能从数量上明确说明关系的密切程度。（三）测定两个变量之间的一般的关系值。（四）测定因变量估计值和实际值之间的差异，用来反映因变量估计值的可靠性。三、相关分析的主要内容（一）确定现象之间有无关系，确定相关关第二节相关图表和相关系数一、相关表相关表就是将原始资料按顺序排列绘成的相关表格，通过相关表可以直观地判断变量之间大致呈现何种关系形式。根据给定资料是否分组，相关表可以分为简单相关表和分组相关表。（一）简单相关表简单相关表是资料未分组，直接将自变量按照从小到大的顺序排列并配上对应的因变量的数值制成的表格。第二节相关图表和相关系数一、相关表例如，为了研究家庭收入与家庭消费支出的关系，通过抽样调查获得了40个家庭的月收入与月消费支出的资料，以月收入为自变量，月消费支出为因变量编制简单相关表

月收入月支出月收入月支出月收入月支出月收入月支出856856858858862862862865865865799799800802803805810805808815865870870880880880880880885885820810830840845851853855850852885885898898898898898898898902857860855858861863866867890850902902902902915915915915915915853869872873850859863868875898例如，为了研究家庭收入与家庭消费支出的关系，通过抽样调查获得（二）分组相关表分组相关表是将原始资料分组后编制而成的表格，分组相关表有单变量分组相关表和双变量分组相关表之分。1、单变量分组相关表单变量分组相关表是将自变量分组并计算次数，对应的因变量计算其平均值制成的表格。（二）分组相关表分组相关表是将原始资料分组后编制而成的表格，单变量分组相关表如表

家庭月收入（元）家庭个数（个）家庭月平均支出（元）8568588628658708808858989029152234254756799.00801.00806.00812.00820.00848.80854.75865.72863.40868.83单变量分组相关表如表家庭月收入（元）家庭个数（个）家庭月平2、双变量分组相关表

双变量分组相关表是将自变量和因变量都进行分组而制成的相关表格，通常也称之为棋盘式表格。家庭月支出（元）收入（元）855-865865-875875-885885-895895-905905-915合计895-905885-895875-885865-875855-865845-855835-845825-835815-825805-815795-8052512313122154211121111698112552、双变量分组相关表

双变量分组相关表是将自变量和因变量都进二、相关图通过编制相关图也可直观地判断变量之间大致上呈现何种关系形式。相关图又称散布图或散点图，通过相关点的分布状况，可以直观地大致判断出两个现象之间存在的关系性质和密切程度。二、相关图通过编制相关图也可直观地判断变量之间大致上呈现何图6-4家庭月收入和月支出的相关图图6-4家庭月收入和月支出的相关图不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关相关关系的图示不相关负线性相关三、相关系数式中r为相关系数称为协方差

相关系数是指直线相关条件下，测定两现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。

相关系数一般是按积差法计算的，其基本公式如下：三、相关系数式中r为相关系数称为协方差相关系数是指直是自变量x的标准差；是因变量y的标准差。据此，上式可简化为：

（1）

是自变量x的标准差；是因变量y的标准差。据此，上式可简化为：又可将（1）式简化为：（2）r＞0正相关r＜0负相关r＝0不存在线性相关又可将（1）式简化为：（2）r＞0正相关一般情况下，通过相关系数判断相关关系密切程序的标准是：当|r|=0时，表明x和y不存在直线相关。当0＜|r|＜0.3时，表明x和y微弱相关（或无关）。当0.3≤|r|＜0.5时，表明x和y低度相关。当0.5≤|r|＜0.8时，表明x和y显著相关。当0.8≤|r|＜1时，表明x和y高度相关。当|r|=1时，表明x和y完全相关。相关系数必须保留四位小数。一般情况下，通过相关系数判断相关关系密切程序的标准是：当|r例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售额的资料如表6-4所示。计算职工生活费收入与商品销售额的相关关系

年份职工生活费收入x（百元）商品销售额y（亿元）199719981999200020015.66.06.16.47.08793100106114合计31.1500x231.3636.0037.2140.9649.00194.53y27569864910000112361299650450xy487.2558.0610.0678.4798.03131.6例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售从计算结果看出职工生活费收入和商品销售额是高度正相关。

从计算结果看出职工生活费收入和商品销售额是高度正相关。已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）汽车维修费用（百元）114236337457合计1224xyx2

1992544y216364949150xy418213578判断汽车使用年限和维修费用的相关程度和相关方向已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）二者高度正相关二者高度正相关第三节回归分析一、回归分析的意义相关分析法，说明相关方向和相关密切程度，但我们不能指出现象之间相互关系的具体数量形式，无法从一个现象的某一数量来推测另一与之相关的现象的数量。统计分析还需要知道它们之间的一般数量关系，以计算出来对应数值，作为进一步的各种估计预测的依据。这就需要借助于回归分析。第三节回归分析一、回归分析的意义

回归分析，是指对具有显著相关关系的现象之间数量变化的一般关系进行测定，建立一个相关的数学表达式，以便从一个已知量去推断另一个与之联系的未知量，进而进行估计预测的统计方法。回归分析是相关分析的延续，但二者之间是有区别的。第一，相关关系两个现象之间是对等关系，都是随机变量，而回归分析则要确定哪一个是自变量，哪一个是因变量。第二，说明相关关系密切程度的指标只有一个相关系数，而回归分析有时可能建立两个回归方程。回归分析，是指对具有显著相关关系的现象之间数量变化的一般二、配合回归直线的方法

建立回归方程的一般步骤如下：1、确定变量之间有无相关关系。2、通过编制相关图表和计算相关系数，判断变量之间相关关系的形态、方向和密切程度。3、正确确定自变量与因变量。4、应用最小平方法配合回归方程。二、配合回归直线的方法回归直线方程yc=a+bx

a代表直线的起点值（截距），表示当x=0时y的值；b代表回归系数（斜率），表示当x增加或减少一个单位时，y平均增加或减少的数量。b为正表明x和y正相关，b为负表明x和y为负相关。a和b都是待定参数，是需要根据实际资料予以确定的数值。回归直线方程求解a、b两个参数统计中采用的是最小平方法。利用此法求解a、b的标准方程式为：

求解a、b两个参数利用此法求解a、b的标准方程式为：对其进行数学变换可得：用上式求出a、b之值后，代入yc=a+bx中，就得到所求回归直线的方程。

对其进行数学变换可得：用上式求出a、b之值后，代入yc=例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售额的资料如表6-4所示。表6-4某地区职工生活费收入和商品销售额的资料年份职工生活费收入x（百元）商品销售额y（亿元）x2y2xy199719981999200020015.66.06.16.47.0879310010611431.3636.0037.2140.9649.0075698649100001123612996487.2558.0610.0678.4798.0合计31.1500194.53504503131.6例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售变量x、y满足配合一元线性回归方程的前提条件。给变量x、y配合回归直线方程yc=a+bx计算得：变量x、y满足配合一元线性回归方程的前提条件。给变量x、y配则回归方程yc

=-23.47+19.85Xb=19.85表明职工收入与销售额是正相关，当职工收入增加1百元时，该地区销售额平均增加19.85亿元。则回归方程yc=-23.47+19.85X建立回归方程的原则：1、必须在显著相关的条件下（r＞0.5）建立2、必须确定自变量和因变量3、自变量是给定的，因变量是随机的4、回归方程不能进行互推建立回归方程的原则：已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）汽车维修费用（百元）114236337457合计1224xyx2

1992544y216364949150xy418213578建立直线回归方程并指出汽车使用年限每增加1年时，维修费用如何变化？假定汽车使用年限为4年时，汽车维修费用为多少百元？计算估计标准误差已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）Yc=3.75+0.75x当x=4时：

Yc=3.75+0.75×4=6.75（百元）b=0.75表明当汽车使用年限每增加一年，汽车维修费用平均增加0.75百元Yc=3.75+0.75x当x=4时：b=0.75表明当汽车[教育学]第六章相关与回归分析课件三、估计标准误差回归方程的一个重要作用在于根据自变量的已知值推算因变量的可能值。这个可能值或称估计值、理论值、平均值估计标准误差是y的实际值与估计值离差的一般水平。回归方程的代表性如何，一般是通过估计标准误差指标的计算来加以检验。三、估计标准误差回归方程的一个重要作用在于根据自变量的已知值式中Syx表示估计标准误差下标yx表示y依x而回归的方程。y是因变量实际值，yc是根据回归方程推算出来的因变量估计值。分母n-2称为回归估计自由度。因为模型yc=a+bx中包括估计量a和b，因此失去了两个自由度。在实际应用中，有时为了方便也采用n来计算。

估计标准误差计算原理与标准差基本上相同，计算公式为：式中Syx表示估计标准误差估计标准误差计算原理与标准差基本上将yc=a+bx代入上述误差公式，可得出以下简化公式：将yc=a+bx代入上述误差公式，可得出以下简化公式例，根据表6-4的资料计算估计标准误差。例，根据表6-4的资料计算估计标准误差。估计标准误差是有计量单位其数值越大，反映实际值与估计值的差距越大，说明回归方程或回归线的代表性小，回归估计的准确性低；反之。只有在估计标准误差相对较小的情况下，用回归方程作出的估计或预测才具有实用价值。估计标准误差是有计量单位某企业上半年产品产量（千件）与单位成本（元）资料如下：月份产量（千件）单位成本（元）127323723471437354696568合计21426某企业上半年产品产量（千件）与单位成本（元）资料如下：月份产某企业上半年产品产量（千件）与单位成本（元）资料如下：月份产量（千件）单位成本（元）x2y2xy127345329146237295184216347116504128443739532921954691647612766568254624340合计2142679302681481某企业上半年产品产量（千件）与单位成本（元）资料如下：月份产r=-0.9091Yc=77.37-1.82xXc=35.45-0.45yr=-0.9091习题答案：1、（3）0.9882（4）yc=-0.36+2.284x

（5）4.2%（6）0.83232、（1）yc=77.37–1.82x

（2）66.45元（3）3.95千件习题答案：第六章相关与回归分析第六章相关与回归分析第一节相关的种类一、相关的概念现象之间的关系可分为两类：一类是函数关系即现象之间确实存在的严格的依存关系在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一个变量的确定的值与之相对应，可以用数学表达式反映出来。例如圆的周长=2πR，就是函数关系。第一节相关的种类一、相关的概念1、是一一对应的确定关系2、设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量3、各观测点落在一条线上

xy函数关系1、是一一对应的确定关系xy函数关系另一种关系是相关关系即现象之间确实存在的不严格的依存关系在相关关系中某一变量的每一个数值，另一个变量都有许多数值与之相对应，不是一一对应关系，是不严格的依存关系。1、变量间关系不能用函数关系式精确表达2、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3、当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个4、各观测点分布在直线周围

xy另一种关系是相关关系1、变量间关系不能用函数关系式精确表达例：1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系

2、商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系

3、粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系

4、收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系

5、父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系例：1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系自变量：在相关关系中，有时存在一定的因果关系，一般把起着影响作用、主导作用的那个因素的标志称为自变量，也称之为因素标志因变量：把受到自变量影响而发生变动的那个因素的标志称为因变量，也称之为结果标志。有时两变量之间互为因果，在这种情况下，就只有根据研究目的来决定自变量和因变量。自变量：在相关关系中，有时存在一定的因果关系，一般把起着影响二、相关的种类（一）按变量之间的相关强度有：完全相关、不完全相关和不相关二、相关的种类（一）按变量之间的相关强度有：完全相关、不完全（二）按变量之间相关的方向分为正相关和负相关（二）按变量之间相关的方向分为正相关和负相关（三）按变量之间相关的形式分为线性相关和非线性相关xy非线性相关（三）按变量之间相关的形式分为线性相关和非线性相关（四）按影响因素的多少（即变量的多少）分为单相关和复相关两个变量之间的相关关系称为简单相关，又称单相关。三个或三个以上变量之间的相关关系称为多元相关，又称复相关。复相关可以分解为简单相关，即在实际工作中，如果存在多个自变量对一个因变量的关系，可以抓住其中最主要的因素，研究其相关关系，将多元相关化为简单相关。（四）按影响因素的多少（即变量的多少）分为单相关和复相关三、相关分析的主要内容（一）确定现象之间有无关系，确定相关关系的表现形式。这是相关分析的出发点。主要根据经验、相关图表和相关系数。（二）确定相关关系的密切程度。相关系数能从数量上明确说明关系的密切程度。（三）测定两个变量之间的一般的关系值。（四）测定因变量估计值和实际值之间的差异，用来反映因变量估计值的可靠性。三、相关分析的主要内容（一）确定现象之间有无关系，确定相关关第二节相关图表和相关系数一、相关表相关表就是将原始资料按顺序排列绘成的相关表格，通过相关表可以直观地判断变量之间大致呈现何种关系形式。根据给定资料是否分组，相关表可以分为简单相关表和分组相关表。（一）简单相关表简单相关表是资料未分组，直接将自变量按照从小到大的顺序排列并配上对应的因变量的数值制成的表格。第二节相关图表和相关系数一、相关表例如，为了研究家庭收入与家庭消费支出的关系，通过抽样调查获得了40个家庭的月收入与月消费支出的资料，以月收入为自变量，月消费支出为因变量编制简单相关表

月收入月支出月收入月支出月收入月支出月收入月支出856856858858862862862865865865799799800802803805810805808815865870870880880880880880885885820810830840845851853855850852885885898898898898898898898902857860855858861863866867890850902902902902915915915915915915853869872873850859863868875898例如，为了研究家庭收入与家庭消费支出的关系，通过抽样调查获得（二）分组相关表分组相关表是将原始资料分组后编制而成的表格，分组相关表有单变量分组相关表和双变量分组相关表之分。1、单变量分组相关表单变量分组相关表是将自变量分组并计算次数，对应的因变量计算其平均值制成的表格。（二）分组相关表分组相关表是将原始资料分组后编制而成的表格，单变量分组相关表如表

家庭月收入（元）家庭个数（个）家庭月平均支出（元）8568588628658708808858989029152234254756799.00801.00806.00812.00820.00848.80854.75865.72863.40868.83单变量分组相关表如表家庭月收入（元）家庭个数（个）家庭月平2、双变量分组相关表

双变量分组相关表是将自变量和因变量都进行分组而制成的相关表格，通常也称之为棋盘式表格。家庭月支出（元）收入（元）855-865865-875875-885885-895895-905905-915合计895-905885-895875-885865-875855-865845-855835-845825-835815-825805-815795-8052512313122154211121111698112552、双变量分组相关表

双变量分组相关表是将自变量和因变量都进二、相关图通过编制相关图也可直观地判断变量之间大致上呈现何种关系形式。相关图又称散布图或散点图，通过相关点的分布状况，可以直观地大致判断出两个现象之间存在的关系性质和密切程度。二、相关图通过编制相关图也可直观地判断变量之间大致上呈现何图6-4家庭月收入和月支出的相关图图6-4家庭月收入和月支出的相关图不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关相关关系的图示不相关负线性相关三、相关系数式中r为相关系数称为协方差

相关系数是指直线相关条件下，测定两现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。

相关系数一般是按积差法计算的，其基本公式如下：三、相关系数式中r为相关系数称为协方差相关系数是指直是自变量x的标准差；是因变量y的标准差。据此，上式可简化为：

（1）

是自变量x的标准差；是因变量y的标准差。据此，上式可简化为：又可将（1）式简化为：（2）r＞0正相关r＜0负相关r＝0不存在线性相关又可将（1）式简化为：（2）r＞0正相关一般情况下，通过相关系数判断相关关系密切程序的标准是：当|r|=0时，表明x和y不存在直线相关。当0＜|r|＜0.3时，表明x和y微弱相关（或无关）。当0.3≤|r|＜0.5时，表明x和y低度相关。当0.5≤|r|＜0.8时，表明x和y显著相关。当0.8≤|r|＜1时，表明x和y高度相关。当|r|=1时，表明x和y完全相关。相关系数必须保留四位小数。一般情况下，通过相关系数判断相关关系密切程序的标准是：当|r例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售额的资料如表6-4所示。计算职工生活费收入与商品销售额的相关关系

年份职工生活费收入x（百元）商品销售额y（亿元）199719981999200020015.66.06.16.47.08793100106114合计31.1500x231.3636.0037.2140.9649.00194.53y27569864910000112361299650450xy487.2558.0610.0678.4798.03131.6例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售从计算结果看出职工生活费收入和商品销售额是高度正相关。

从计算结果看出职工生活费收入和商品销售额是高度正相关。已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）汽车维修费用（百元）114236337457合计1224xyx2

1992544y216364949150xy418213578判断汽车使用年限和维修费用的相关程度和相关方向已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）二者高度正相关二者高度正相关第三节回归分析一、回归分析的意义相关分析法，说明相关方向和相关密切程度，但我们不能指出现象之间相互关系的具体数量形式，无法从一个现象的某一数量来推测另一与之相关的现象的数量。统计分析还需要知道它们之间的一般数量关系，以计算出来对应数值，作为进一步的各种估计预测的依据。这就需要借助于回归分析。第三节回归分析一、回归分析的意义

回归分析，是指对具有显著相关关系的现象之间数量变化的一般关系进行测定，建立一个相关的数学表达式，以便从一个已知量去推断另一个与之联系的未知量，进而进行估计预测的统计方法。回归分析是相关分析的延续，但二者之间是有区别的。第一，相关关系两个现象之间是对等关系，都是随机变量，而回归分析则要确定哪一个是自变量，哪一个是因变量。第二，说明相关关系密切程度的指标只有一个相关系数，而回归分析有时可能建立两个回归方程。回归分析，是指对具有显著相关关系的现象之间数量变化的一般二、配合回归直线的方法

建立回归方程的一般步骤如下：1、确定变量之间有无相关关系。2、通过编制相关图表和计算相关系数，判断变量之间相关关系的形态、方向和密切程度。3、正确确定自变量与因变量。4、应用最小平方法配合回归方程。二、配合回归直线的方法回归直线方程yc=a+bx

a代表直线的起点值（截距），表示当x=0时y的值；b代表回归系数（斜率），表示当x增加或减少一个单位时，y平均增加或减少的数量。b为正表明x和y正相关，b为负表明x和y为负相关。a和b都是待定参数，是需要根据实际资料予以确定的数值。回归直线方程求解a、b两个参数统计中采用的是最小平方法。利用此法求解a、b的标准方程式为：

求解a、b两个参数利用此法求解a、b的标准方程式为：对其进行数学变换可得：用上式求出a、b之值后，代入yc=a+bx中，就得到所求回归直线的方程。

对其进行数学变换可得：用上式求出a、b之值后，代入yc=例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售额的资料如表6-4所示。表6-4某地区职工生活费收入和商品销售额的资料年份职工生活费收入x（百元）商品销售额y（亿元）x2y2xy199719981999200020015.66.06.16.47.0879310010611431.3636.0037.2140.9649.0075698649100001123612996487.2558.0610.0678.4798.0合计31.1500194.53504503131.6例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入和商品销售变量x、y满足配合一元线性回归方程的前提条件。给变量x、y配合回归直线方程yc=a+bx计算得：变量x、y满足配合一元线性回归方程的前提条件。给变量x、y配则回归方程yc

=-23.47+19.85Xb=19.85表明职工收入与销售额是正相关，当职工收入增加1百元时，该地区销售额平均增加19.85亿元。则回归方程yc=-23.47+19.85X建立回归方程的原则：1、必须在显著相关的条件下（r＞0.5）建立2、必须确定自变量和因变量3、自变量是给定的，因变量是随机的4、回归方程不能进行互推建立回归方程的原则：已知汽车使用年限和维修费用的资料如下：序号汽车使用年限（年）汽车维修费用（百元）1142