三重积分课件

定义:设存在,记作称为体积元素

若对作任意

分割,及任意取点,下列“乘积和式”的极限则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下也常写作定义:设存在,记作称为体积元素若对作任意分割1性质中值定理:

设在有界闭域上连续,使得其中V为的体积.三重积分的性质与二重积分相似,例如则存在一点性质中值定理:设在有界闭2直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算如图，3得得4注意“先一后二”注意“先一后二”5解解6三重积分课件7三重积分课件8三重积分课件9三重积分课件10三重积分课件11解解12原式原式13三、利用柱面坐标计算三重积分规定：三、利用柱面坐标计算三重积分规定：14柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为15如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为16例4.计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面例4.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中17解知交线为解知交线为18三重积分课件19解所围成的立体如图，解所围成的立体如图，20所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，21三重积分课件22四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分23规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．24球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，25球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，26三重积分课件27三重积分课件28三重积分课件29解解30三重积分课件31补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分32解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,33解解34三重积分课件35三重积分课件36（2）柱面坐标的体积元素三重积分计算法柱面坐标球面坐标五、小结直角坐标（1）直角坐标的体积元素为长方体，四面体或任意形体为柱体，椎体或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体（2）柱面坐标的体积元素三重积分计算法柱面坐标球面坐标五、37（3）球面坐标的体积元素（4）对称性简化运算被积函数：被积函数：为球体或球体的一部分，椎体（3）球面坐标的体积元素（4）对称性简化运算被积函数：被38思考题思考题39练习题练习题40三重积分课件41三重积分课件42练习题答案练习题答案43三重积分课件44作业P1645,9(1)，11(4)作业P1645,9(1)，11(4)45定义:设存在,记作称为体积元素

若对作任意

分割,及任意取点,下列“乘积和式”的极限则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下也常写作定义:设存在,记作称为体积元素若对作任意分割46性质中值定理:

设在有界闭域上连续,使得其中V为的体积.三重积分的性质与二重积分相似,例如则存在一点性质中值定理:设在有界闭47直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算如图，48得得49注意“先一后二”注意“先一后二”50解解51三重积分课件52三重积分课件53三重积分课件54三重积分课件55三重积分课件56解解57原式原式58三、利用柱面坐标计算三重积分规定：三、利用柱面坐标计算三重积分规定：59柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为60如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为61例4.计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面例4.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中62解知交线为解知交线为63三重积分课件64解所围成的立体如图，解所围成的立体如图，65所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，66三重积分课件67四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分68规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．69球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，70球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，71三重积分课件72三重积分课件73三重积分课件74解解75三重积分课件76补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分77解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,78解解79三重积分课件80三重积分课件81（2）柱面坐标的体积元素三重积分计算法柱面坐标球面坐标五、小结直角坐标（1）直角坐标的体积元素为长方体，四面体或任意形体为柱体，椎体或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体（2）柱面坐标的体积元素三重积分计算法柱面坐标球面坐标五、82（3）球面坐标的体积元素（4）对称性简化运算被积函数：被积函数：为球体或球体的一部分，椎体（3）球面坐标的体积元