均值不等式公开课课件

2002年第24届国际数学家大会在北京举行

走进智者挑战自我第1页/共14页2002年第24届国际数学家大会走进智者1

会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会在北京举行

走进智者挑战自我第2页/共14页会标的设计源中国2002年第24届国际数学家大会2

走进智者挑战自我第3页/共14页走进智者挑战自我第3页/共13思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些不等关系？第4页/共14页思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找4ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？第5页/共14页ab1、正方形ABCD的２、四个直角三角形的３、S与S’有什5ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab第6页/共14页ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b6思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）第7页/共14页思考：你能给出不等式的证明吗？证7结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R问题一第8页/共14页结论：一般地，对于任意实数a、b，总有文字叙述为:两数8问题一替换后得到：即：即：第9页/共14页问题一替换后得到：即：即：第9页/共14页9证明：——比较法：如何证明不等式：当且仅当a=b时取“=”第10页/共14页证明：——比较法：如何证明不等式：当且仅当a=b时取“=”第10你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______第11页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽11你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab第12页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,121.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数1.代数证明:2.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）算术平均数几何平均数2.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项基本不等式第13页/共14页1.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数1.代数证明:2.13感谢您的欣赏第14页/共14页感谢您的欣赏第14页/共14页142002年第24届国际数学家大会在北京举行

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会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会在北京举行

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走进智者挑战自我第3页/共14页走进智者挑战自我第3页/共117思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些不等关系？第4页/共14页思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找18ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？第5页/共14页ab1、正方形ABCD的２、四个直角三角形的３、S与S’有什19ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab第6页/共14页ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b20思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）第7页/共14页思考：你能给出不等式的证明吗？证21结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R问题一第8页/共14页结论：一般地，对于任意实数a、b，总有文字叙述为:两数22问题一替换后得到：即：即：第9页/共14页问题一替换后得到：即：即：第9页/共14页23证明：——比较法：如何证明不等式：当且仅当a=b时取“=”第10页/共14页证明：——比较法：如何证明不等式：当且仅当a=b时取“=”第24你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______第11页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽25你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab第12页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,261.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数1.代