实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件

大连理工大学材料学院铸造工程研究中心313室2正交设计方法卢一平E-mail：luyiping@大连理工大学材料学院铸造工程研究中心313室2正交设计方法

对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是利用一种规格化的表-“正交表”，合理安排多因素试验、只做较少次实验便可判断出较优组合的一种高效率试验设计方法。

对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的

例如，Super304钢生产过程中，要考察保温排气时间、添加的微量元素的量和钢液冷却速度对其强度硬度的影响。每个因素设置3个水平进行试验。

A因素是保温，设A1、A2、A33个水平；B因素是某种微量元素的添加量，设B1、B2、B33个水平；C因素为冷却速度，设C1、C2、C33个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在很多情况下无法完成。

2.1指标、因素和水平例如，Super304钢生产过程中，要考察保温实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件

L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要做34=81次，减少了72次。

L25（56）6因素5水平正交试验，共做25次试验，而全面试验要做56=15625次，减少了15600次。可以看出使用正交表可大大减少试验次数，提高实验效率。L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安2.1.2试验安排原则

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。上图中标有试验号的九个“(。)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C22.1.2试验安排原则正交设计就是从选优区

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。从上图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C2.1.3用正交表安排试验及直观分析法

正交表的记号及含义记号及含义正交表的列数（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）正交表的行数（需要做的试验次数）正交表的代号2.1.3用正交表安排试验及直观分析法正交表的记号及含如表示？表示各因素的水平数为2，做8次试验，最多考虑7个因素（含交互作用）的正交表。如表示？表示各因素的水平数为2，

正交表的特点表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）

——均衡分散性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现的次数相等

——整齐可比性这是设计正交试验表的基本准则1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；正交表的特点表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均

正交表的两条重要性质：（1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9（34），每列中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。（书上117页）（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如如L9（34），有序数对共有9个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它们各出现一次。正交表的两条重要性质：

正交试验设计的基本步骤2.选用合适的正交表；3.按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4.组织实施试验；5.试验结果分析。

确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；正交试验设计的基本步骤2.选用合适的正交表；3.按选定实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件例1轴承退火实验。轴承圈退火是把工件加热到临界温度以上30-50度，保持一段时间，再缓慢冷却下来，其目的是用于消除工件的内应力，降低硬度，增加韧性。因素

加热温度（度）

保温时间（小时）出炉温度（度）一水平8006400二水平8208500（a）制定试验计划并进行试验。（1）明确实验目的，规定考察目标。（2）选因素并定出各因素的水平。（3）选用合适的正交表，排表头，列出实验方案。本实验可选正交表，每一因素恰好占一列位置，见下表例1轴承退火实验。轴承圈退火是把工件加热到临界温度以上301（A）2（B）3（C）硬度合格率试验号加热温度保温时间出炉温度（Ya,100%）11(800)1(6)1(400)9021(800)2(8)2(500)8532(820)1(6)2(500)4542(820)2(8)1(400)70Ij175135160a=1,2,3,4,j=1,2,3IIj11515513087.567.58057.577.565极差3010151（A）2（B）3（C）硬度合格率试验号加热温度保温时间出炉1.首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好2.综合比较，看那个因素影响大，找出合适的水平，找出合适的水平搭配从上图中可以看出，温度的极差值最大，出炉温度次之，保温时间最小。最佳实验条件为加热温度800度，保温时间为8小时，出炉温度为400度。1.首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好2.实例：为提高化工产品的收率实验，收率是化工生产的一项重要指标，系指产品的实际产量与理论上按投入原料计算所得到的最大产量之比，显然收率越高越好。实验前收率指标一般在60-80%之间波动，拟通过正交试验来寻找收率最高的最佳工艺条件。试验方案设计a.制定试验计划（1）明确试验目的，确定试验指标，考察指标为 收率的百分比。（2）选因素、定水平。经分析认为反应温度的高低，加碱的多少和催化剂种类是影响收率高低的主要因素，每个因素都取三个水平，水平表如下图。实例：为提高化工产品的收率实验，收率是化工生产的一项重要指标因素水平加热温度(A)度加碱量(B)公斤催化剂种类(C)一水平8035甲二水平8548乙三水平9055丙（3）选用正交表，排表头，列出实验方案。选用正交表，可容纳下四个因素，每个因素取三水平，共安排9次试验。该表还多出一列未用，可将该列空出或抹去，表头设计及试验方案如上图。因素加热温度(A)度加碱量(B)公斤催化剂种类(C)一水平因素1（A）2（B）3（C）试验指标收率（%）试验号加热温度保温时间出炉温度（Ya）11(80)1(35)1(甲)5121(80)2(48)2(乙)7131(80)3(55)3(丙)5842(85)1(35)2(乙)8252(85)2(48)3(丙)6962(85)3(55)1(甲)5973(90)1(35)3(丙)7783(90)2(48)1(甲)8593(90)3(55)2(乙)84Ij180210195a=1,2,3….9j=1,2,3IIj210225237IIIj246201204607065707579826768极差22814因素1（A）2（B）3（C）试验指标收率（%）试验号加热温度=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7)=70=1/3(y1+y6+y8)=65=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度对指标影响最大、温度取三水平效果最好，催化剂次之，取二水平最好，碱的影响不大，从计算结果来看应取二水平，但是为了降低成本也可以取一水平。因此综合分析后，可以取A3B2C2或A3B1C2，这两种组合都是没试验过的，因此还需要具体实验，具体实验后发现，这两种组合的收率分别是92.5%和91%均高于8号试验收率85%。这两种组合最后取那种，还要看生产实践具体要求。（碱贵了就取A3B1C2）综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度对指标影响最大、温度2.2正交表的统计分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；判断因素对试验指标影响的显著程度；找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；了解各因素之间的交互作用情况；估计试验误差的大小。直观分析法不能知道分析的精度，及实验测定当中的误差大小。2.2正交表的统计分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件二、方差分析的含义方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。二、方差分析的含义方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假三、方差分析的基本思想根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因素的作用加以解释。通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响。三、方差分析的基本思想根据变异的来源，将全部观察值总的离均差

2.2.1单因素方差分析一、单因素方差分析的几个概念因素：影响研究对象的某一指标、变量。水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

2.2.1单因素方差分析一、单因素方差分析的几个概念单因素方差分析：对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。二、单因素方差分析的基本原理单因素方差分析：对单因素试验结果进行分工艺条件试验号1234合计平均值（）A1y11=68y12=6477y14=5926867A2

Y21=4259365519248A3Y31=5362636224060A4Y41=5053414018446A5Y51=7043476822857A6Y61=6763567025664上面的每个实验结果：真值+误差因为实验数据围绕着真值上下波动，所以误差也就围绕着真值上下起伏波动，因此把他们加起来的时候，误差在很大程度上就抵消了。注意：平均值不是真值，而是接近真值工艺条件1234合计平均值A1y11=68y12=6477y工艺条件试验号1234合计A1Y11-y1=1-310-80A2Y21-y2=611-1270A372320A447-5-60A51314-10110A63-15660S误：误差的偏差平方和；

V误：误差的平均偏差平方；f误：误差的自由度工艺条件1234合计A1Y11-y1=1-310-80A2Y应该去除6个约束条件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?f误=各条件下（数据个数-1）之和应该去除6个约束条件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?b.因素水平变化的分析：根据各实验条件下数据的平均值，可以算出全数据的总平均值由此可以写出各水平下数据的平均值（y1,y2,…y6),与总平均值之间的差值，对各差值平方求和，记为：它反映了由因素A的水平变动（A1，A2，….A6）所引起的波动。我们把SA叫做因素A的变动平方和。该值仍然受到因素A的水平个数的影响，因此用平均变动平方和VA来表示：b.因素水平变化的分析：由此可以写出各水平下数据的平均值（yfA称为因素A的自由度，因素A的六个水平满足一个约束条件：所以，fA=6-1=5。因此，因素A的平均变动平方和应用：SA与fA可按下面的叙述规则进行计算：SA=因素各水平[重复数×(平均值-总平均值)2]之和fA=因素的水平数-1fA称为因素A的自由度，因素A的六个水平满足一个约束条件：所C.总的偏差平方和及总自由度工艺条件试验号12341Y11-y=1172022Y21-y=152-21-23-42654-77-16-1751314-10116106-113C.总的偏差平方和及总自由度工艺条件12341Y11-y=1该公式说明，实验数据总的偏差可以分解为两部分，一部分是实验误差的偏差，另一部分是由于因素变动引起的偏差。同理可知总偏差的自由度：为了方便S总还可以写成：该公式说明，实验数据总的偏差可以分解为两部分，一部分是实验误d.显著性检验计算出S因、f因、S误、f误数值，就可判断出因素对指标的影响是不是显著。所谓显著，是指因素水平改变时，确使实验结果的真值有改变。V误反映了实验误差影响的大小，而VA反应了因素水平改变时影响的大小，因此应该比较V误和VA的大小，以判断因素的水平改变确有超过实验误差干扰的影响，这是就说因素A是显著的。比较VA与V误的大小可以计算其比值：当FA多大时，就能说因素A是显著的呢？F分布表中的数值上就是各种情况下的临界值。由表查的的临界值记为Fα，当FA>Fα时，我们就有（1-α）的把握说因素A对指标有显著性影响。这里的α

就叫做显著性水平。d.显著性检验当FA多大时，就能说因素A是显著的呢？F分布表F分布及其查法：F分布表中列出了各种自由度情况下F比的临界值，F分布表的横行f1=1,2,3,4,5…15…。代表F比中的分子的自由度（f因或fA），竖行f2=1,2,3,4…，代表F比中分母的自由度(即f误），而α=0.1,0.05,0.01分别表示在不同的显著性水平上的F比的临界值。查表时根据f因和f误的值可在不同的显著性水平上分别找到Fα的值，并把该值与计算的F值进行比较。例子：例如在本例中fA

=5，f误=18，查表得：Fα=0.1（5,18）=2.20，Fα=0.05（5,18）=2.77，Fα=0.01（5,18）=4.25.由于：可以看出当FA>F0.05(5,18）=2.77，但是FA<F0.01(5,18）=4.25,表示本例有（1-0.05）的把握说因素A对实验结果有显著影响。F分布及其查法：例子：实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件2.2.2正交设计的统计分析（多因素试验的方差分析）多因素方差分析：多因素方差分析和单因素的方差分析类似。多因素实验结果之间的差异也是由两部分组成：各因素水平变化引起的；实验误差所引起的。在多因素试验中，方差分析的目的在于将实验误差所引起的结果差异与实验条件的改变所引起的结果差异区分开来，以便能抓住问题的实质。此外还要把影响实验结果的主要和次要因素区分开。2.2.2正交设计的统计分析（多因素试验的方差分析）多因素下面通过实例说明多因素方差的分析方法：例2-3寻求合理的钢材热处理条件。实验目的：提高钢材的强度，考察指标是（千克/毫米2）因素与水平：考察三个因素：淬火温度，回火温度，回火时间，其因素与水平表见下表。因素淬火温度（A）度回火温度（B）度回火时间（C）分一水平84041040二水平85043060三水平86045080下面通过实例说明多因素方差的分析方法：因素淬火温度（A）度回列号A空BC实验结果ya(ya-185)试验号123411(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列号A空BC实验结果ya(ya-185)试验号123411(

选正交表，排表头，列出试验计划，该实验选用L9(3)4表，表头设计及实验结果见下图，该表的第二列未安排因素，填入空留作他用。（空列的左右后续将讲到）a.计算总偏差平方和总偏差平方和S总表示了各实验数据围绕总平均值的变动情况。由上表可知，实验结果的指标在165-212之间波动，实验结果的指标165-212之间波动，各实验结果以ya表示，用表示他们的平均值：根据或选正交表，排表头，列出试验计划，该实验选用修正项总偏差自由度

为了便于计算，可对上表中的数据进行简化，当几个数y1，y2，….y9较大时，可将每一个数ya(a=1,2…n)都减去同一个数C，这并不影响偏差平方和的计算结果，而计算工作量却减少很多。当ya-185时，经简化后计算的结果如下：修正项总偏差自由度为了便于计算，可对上表中b.计算因素变动平方和（S因）因素A放在L9（34）正交表的第一列上，共有三个一水平，三个二水平，三个三水平。用因素A的一水平对强度的平均影响I1/3,代替各一个水平（共三个）对强度的影响，用因素A的二水平的平均强度II2/3代替二水平对强度的影响，同理用III3/3代替各三水平对强度的影响，根据正交表的综合可比性，I1/3,II1/3,III1/3,这三个平均值可以相互比较，且他们反映了因素A的三个水平间差异，所以因素A的偏差平方和SA可有计算三个I1/3,II2/3,III3/3,与y的偏差的平方和得到，即：也可用简化的公式b.计算因素变动平方和（S因）也可用简化的公式同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=3-1=2C.计算误差的偏差平方和（S误）在多因素试验中，毫无例外地也存在着误差，此时计算误差的偏差平方和可用正交表中未安排因素的空白列计算。计算方法与计算SA和SB等列的方法相同。本列中的三个I2/3,II2/3,III2/3的平均值与计算SA和SB的方法相同。同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=因为该列中没有安排因素，所以计算的空列的偏差平方和中，也没有因素水平间的差异所造成的偏差，该列仅仅反应实验误差的大小。因此：因为该列中没有安排因素，所以计算的空列的偏差平方和中，也没有列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(上述各列偏差平方和的计算，均可在正交表上进行，由S总及各Sj不难理解：上述各列偏差平方和的计算，均可在正交表上进行，由S总及各Sjd.检验因素的显著性计算S因，f因，S误，f误的目的是为了判断因素水平的变化所引起的实验结果的变动是否显著，因此仍采用单因素试验的方差分析方法进行显著性检验，即计算V因与V误的比值，而后与F分布表的临界值进行比较。根据SA，SB，SC及fA,fB,fC,f误可分别计算VA，VB，VC及V误

由计算结果可知VA

小于V误，而VB

与V误相差不大，因此，在VA

及VB的偏差中，由因素水平变化的影响部分很小，他们的偏差实际上主要是由于误差干扰造成的，这在进行显著性实验前就能确定。由于A，B两因素可取任一水平，因此SA，SB应与S误合并在一起，用以估计误差影响的大小，而且误差的自由度越大，进行显著性检验时越精确，所以我们把误差的偏差平方和及误差的自由度合并成：d.检验因素的显著性由计算结果可知VA小用这种合并后的误差的平均偏差平方和：去检验余下的因素C的显著性：因素C的自由度fc=2，的自由度，查α=0.01显著性水平的F分布表，F0.01(2,6)=10.9,所以因素C是高度显著的[（1-0.01）把握]FC=15.84>F0.01(2,6)=10.9用这种合并后的误差的平均偏差平方和：去检验余下的因素C的显著通过本例方差分析可知：（1）在影响强度的因素中，回火时间对强度有高度显著地影响，根据IC、IIC、IIIC的大小可以看出选2水平较好。（2）淬火温度和回火温度的改变对强度无显著影响，考虑到节省能源，一般选一水平（低温）为好，因此选取的工艺条件为：A1B1C2.即淬火温度为840度，回火温度为410度，回火时间为60分钟是最佳工艺条件。通过本例方差分析可知：2.2.3效应与工程平均前两节已说明用正交表安排实验时，可采用综合比较的方法，以及方差分析的方法定出较好的工艺条件。但是方差分析较为繁琐？对于所定出的工艺条件能否不经过试验也可预算处在该条件下所能够定量地估计个主要因素，当取某一水平组成不同的条件时，其考核指标可望达到的数值？

为此，首先引进效应的概念，试验数据的总平均是用以比较各因素、各水平差别的基准，因而要了解一个因素由于采用某一水平而使试验指标比多或者少，只要计算这个因素在该水平下数据的平均值与总平均的偏差就可以了。这个偏差我们称为该因素在该水平下的效应。效应一般用小写字母加数字足标表示，如a3表示因素A第三水平的效应。2.2.3效应与工程平均为此，首先引进效应的概念，试验数如下表中，=187，效应：同理可计算有了效应便可计算工程平均，因为每个效应都表示一个因素取定一个水平与总平均值的差值，所以当各重要因素选取一定水平后，试验应得到的数据是在总平均的基础上所得到的数值，该值就是工程平均。从上述计算数据中可以看出C元素影响是主要的，而且最优组合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)如下表中，=187，效应：同理可计算有了效应便可计算列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(有了效应便可计算工程平均，因为每个效应都表示一个因素取定一个水平与总平均值的差值，所以当各重要因素选取一定水平后，试验应得到的数据是在总平均的基础上所得到的数值，该值就是工程平均。从上述计算数据中可以看出C元素影响是主要的，而且最优组合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)除了计算最优条件下的工程平均之外，还可以计算（A1B1C2）平均值的波动半径δa,求出后，我们将有（1-α)的把握断言，在（A1B1C2）条件下，其指标值将在与之间变动。有了效应便可计算工程平均，因为每个效应都表示一个因素取定一个式中：有效重复数：式中：有效重复数：本例中：

于是有95%的把握断言，如采用条件A1B1C2，其真值将在202.7-9.2到202.7+9.2之间变动，即在193.5到211.9之间：本例中：于是有95%的把握断言，如采用条件A1B1C22.2.4多指标试验实际上对一项试验往往要同时考察几个指标，寻求使几个指标都能达到一定要求的条件，就是多指标实验问题。（前面介绍的几个章节都是单指标情况，例如考察硬度、收率等）2.2.4多指标试验实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件例：荧光屏涂料试验。本例重点介绍对多项指标的处理问题。（a）因素，水平，指标本试验考察11个因素，用A，B、…..K表示，每一因素取两个水平分别用A1、A2、B1、B2、……K1、K2表示。需考察三个指标：（1）外观（数据越小越好）（2）清晰度（数据越大越好）（3）表面缺陷度（数据越小越好）例：（b）表头设计与实验数据共有十一个二水平的因素，可采用正交表L16(215)，表头设计如下图所示，实验结果数据（经简化后）。因素ABCDEFGHIJK列号123456789101112131415（b）表头设计与实验数据因素ABCDEFGHIJK列号12344（C）实验数据分析从上图可以看出多指标问题与单个指标相比，表头设计没有什么不同。单数据分析却比单指标复杂很多，一般需要以下几个步骤才能定出最好的生产条件。第一步：对每个指标可按前面介绍的方法对其单独进行分析，找出对各单项指标有主要影响的因素，并确定他们的有利水平。本例中，三项指标单独分析的结果如下：外观的数据分析，计算结果如下表所示：由该表可知，对外观影响最大的因素是G，H，因外观数据越小越好，故G2和H1。（C）实验数据分析由该表可知，对外观影响最大的因素是G，H，清晰度的数据分析，计算结果如下表所示：由该表可知，对清晰度最大的因素是A、D、F、J，因清晰度数据越大越好，故应取A1、D1、F2、J2。由该表可知，对清晰度最大的因素是A、D、F、J，因清晰度数据缺陷的数据分析，计算结果如下表所示：由该表可知，对清晰度最大的因素是E、H、J、K，因缺陷数据越小越好，故应取E1、H1、J1、K1。由该表可知，对清晰度最大的因素是E、H、J、K，因缺陷数据越第二步：对单项指标的分析结果进行综合，确定出没有矛盾的因素水平。例如因素G、H对清晰度及缺陷度影响较小，对外观的影响较大，则应根据外观的需要，确定其水平分别为G2、H1，以此类推可以定出A1、D1、F2、E1、H1、K1。由于因素B、C、I对三项指标的影响都不大，故可以任意确定其水平，记为B0、C0、I0。第三步：根据单项指标的分析，对水平选取上有矛盾的因素，水平暂不选定。把它的各水平与第二步定出的其他因素的水平组合成不同的实验条件，计算出引起矛盾的哪些指标的工程平均后，再根据问题的实际需要确定其水平。例如从提高清晰度考虑，因素J应选取J2，根据减少缺陷数考虑，又应选J1。这样就产生了矛盾，于是需要计算条件（1）（A1D1E1F2G2H1J1K1）与条件（2）（A1D1E1F2G2H1J2K1）下的清晰度与缺陷数的工程平均。（实例：美国F117，F22等隐形飞机的设计：（符合气动性布局，不符合隐身性要求，符合隐身性要求不符合气动性布局，影响因素太多太复杂，且互相制衡）第二步：对单项指标的分析结果进行综合，确定出没有矛盾的因素水计算清晰度或缺陷数的工程平均时，只需要计算对清晰度或缺陷数影响最大的那些因素？（仅仅限于一般情况）。如计算条件（1）下的清晰度工程的平均数：上述计算过程中，为清晰度项指标值的总平均值，可由上表算出。上述计算过程中，为清晰度项指标值的总平均值，可由上表算上述计算过程中，可由上表算同理计算出。上述计算过程中，可由上表算同理计算出。同理，可计算缺陷数指标在两个不同条件下的工程平均（1）：实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件缺陷数指标在（2）条件下的工程平均：

从上述计算可看出，在条件（2）下清晰度较高，缺陷数目也不太多，可以满足实际需要。从这个试验要求看出，提高清晰度更主要一些，所以最后取定条件（2），即：A1D1E1F2G2H1J2K1或更完整写成A1B0C0D1E1F2G2H1I0J2K1作为最好生产条件。实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件大连理工大学材料学院铸造工程研究中心313室2正交设计方法卢一平E-mail：luyiping@大连理工大学材料学院铸造工程研究中心313室2正交设计方法

对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是利用一种规格化的表-“正交表”，合理安排多因素试验、只做较少次实验便可判断出较优组合的一种高效率试验设计方法。

对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的

例如，Super304钢生产过程中，要考察保温排气时间、添加的微量元素的量和钢液冷却速度对其强度硬度的影响。每个因素设置3个水平进行试验。

A因素是保温，设A1、A2、A33个水平；B因素是某种微量元素的添加量，设B1、B2、B33个水平；C因素为冷却速度，设C1、C2、C33个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在很多情况下无法完成。

2.1指标、因素和水平例如，Super304钢生产过程中，要考察保温实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件

L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要做34=81次，减少了72次。

L25（56）6因素5水平正交试验，共做25次试验，而全面试验要做56=15625次，减少了15600次。可以看出使用正交表可大大减少试验次数，提高实验效率。L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安2.1.2试验安排原则

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。上图中标有试验号的九个“(。)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C22.1.2试验安排原则正交设计就是从选优区

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。从上图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C2.1.3用正交表安排试验及直观分析法

正交表的记号及含义记号及含义正交表的列数（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）正交表的行数（需要做的试验次数）正交表的代号2.1.3用正交表安排试验及直观分析法正交表的记号及含如表示？表示各因素的水平数为2，做8次试验，最多考虑7个因素（含交互作用）的正交表。如表示？表示各因素的水平数为2，

正交表的特点表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）

——均衡分散性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现的次数相等

——整齐可比性这是设计正交试验表的基本准则1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；正交表的特点表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均

正交表的两条重要性质：（1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9（34），每列中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。（书上117页）（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如如L9（34），有序数对共有9个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它们各出现一次。正交表的两条重要性质：

正交试验设计的基本步骤2.选用合适的正交表；3.按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4.组织实施试验；5.试验结果分析。

确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；正交试验设计的基本步骤2.选用合适的正交表；3.按选定实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件例1轴承退火实验。轴承圈退火是把工件加热到临界温度以上30-50度，保持一段时间，再缓慢冷却下来，其目的是用于消除工件的内应力，降低硬度，增加韧性。因素

加热温度（度）

保温时间（小时）出炉温度（度）一水平8006400二水平8208500（a）制定试验计划并进行试验。（1）明确实验目的，规定考察目标。（2）选因素并定出各因素的水平。（3）选用合适的正交表，排表头，列出实验方案。本实验可选正交表，每一因素恰好占一列位置，见下表例1轴承退火实验。轴承圈退火是把工件加热到临界温度以上301（A）2（B）3（C）硬度合格率试验号加热温度保温时间出炉温度（Ya,100%）11(800)1(6)1(400)9021(800)2(8)2(500)8532(820)1(6)2(500)4542(820)2(8)1(400)70Ij175135160a=1,2,3,4,j=1,2,3IIj11515513087.567.58057.577.565极差3010151（A）2（B）3（C）硬度合格率试验号加热温度保温时间出炉1.首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好2.综合比较，看那个因素影响大，找出合适的水平，找出合适的水平搭配从上图中可以看出，温度的极差值最大，出炉温度次之，保温时间最小。最佳实验条件为加热温度800度，保温时间为8小时，出炉温度为400度。1.首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好2.实例：为提高化工产品的收率实验，收率是化工生产的一项重要指标，系指产品的实际产量与理论上按投入原料计算所得到的最大产量之比，显然收率越高越好。实验前收率指标一般在60-80%之间波动，拟通过正交试验来寻找收率最高的最佳工艺条件。试验方案设计a.制定试验计划（1）明确试验目的，确定试验指标，考察指标为 收率的百分比。（2）选因素、定水平。经分析认为反应温度的高低，加碱的多少和催化剂种类是影响收率高低的主要因素，每个因素都取三个水平，水平表如下图。实例：为提高化工产品的收率实验，收率是化工生产的一项重要指标因素水平加热温度(A)度加碱量(B)公斤催化剂种类(C)一水平8035甲二水平8548乙三水平9055丙（3）选用正交表，排表头，列出实验方案。选用正交表，可容纳下四个因素，每个因素取三水平，共安排9次试验。该表还多出一列未用，可将该列空出或抹去，表头设计及试验方案如上图。因素加热温度(A)度加碱量(B)公斤催化剂种类(C)一水平因素1（A）2（B）3（C）试验指标收率（%）试验号加热温度保温时间出炉温度（Ya）11(80)1(35)1(甲)5121(80)2(48)2(乙)7131(80)3(55)3(丙)5842(85)1(35)2(乙)8252(85)2(48)3(丙)6962(85)3(55)1(甲)5973(90)1(35)3(丙)7783(90)2(48)1(甲)8593(90)3(55)2(乙)84Ij180210195a=1,2,3….9j=1,2,3IIj210225237IIIj246201204607065707579826768极差22814因素1（A）2（B）3（C）试验指标收率（%）试验号加热温度=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7)=70=1/3(y1+y6+y8)=65=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度对指标影响最大、温度取三水平效果最好，催化剂次之，取二水平最好，碱的影响不大，从计算结果来看应取二水平，但是为了降低成本也可以取一水平。因此综合分析后，可以取A3B2C2或A3B1C2，这两种组合都是没试验过的，因此还需要具体实验，具体实验后发现，这两种组合的收率分别是92.5%和91%均高于8号试验收率85%。这两种组合最后取那种，还要看生产实践具体要求。（碱贵了就取A3B1C2）综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度对指标影响最大、温度2.2正交表的统计分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；判断因素对试验指标影响的显著程度；找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；了解各因素之间的交互作用情况；估计试验误差的大小。直观分析法不能知道分析的精度，及实验测定当中的误差大小。2.2正交表的统计分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件二、方差分析的含义方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。二、方差分析的含义方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假三、方差分析的基本思想根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因素的作用加以解释。通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响。三、方差分析的基本思想根据变异的来源，将全部观察值总的离均差

2.2.1单因素方差分析一、单因素方差分析的几个概念因素：影响研究对象的某一指标、变量。水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

2.2.1单因素方差分析一、单因素方差分析的几个概念单因素方差分析：对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。二、单因素方差分析的基本原理单因素方差分析：对单因素试验结果进行分工艺条件试验号1234合计平均值（）A1y11=68y12=6477y14=5926867A2

Y21=4259365519248A3Y31=5362636224060A4Y41=5053414018446A5Y51=7043476822857A6Y61=6763567025664上面的每个实验结果：真值+误差因为实验数据围绕着真值上下波动，所以误差也就围绕着真值上下起伏波动，因此把他们加起来的时候，误差在很大程度上就抵消了。注意：平均值不是真值，而是接近真值工艺条件1234合计平均值A1y11=68y12=6477y工艺条件试验号1234合计A1Y11-y1=1-310-80A2Y21-y2=611-1270A372320A447-5-60A51314-10110A63-15660S误：误差的偏差平方和；

V误：误差的平均偏差平方；f误：误差的自由度工艺条件1234合计A1Y11-y1=1-310-80A2Y应该去除6个约束条件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?f误=各条件下（数据个数-1）之和应该去除6个约束条件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?b.因素水平变化的分析：根据各实验条件下数据的平均值，可以算出全数据的总平均值由此可以写出各水平下数据的平均值（y1,y2,…y6),与总平均值之间的差值，对各差值平方求和，记为：它反映了由因素A的水平变动（A1，A2，….A6）所引起的波动。我们把SA叫做因素A的变动平方和。该值仍然受到因素A的水平个数的影响，因此用平均变动平方和VA来表示：b.因素水平变化的分析：由此可以写出各水平下数据的平均值（yfA称为因素A的自由度，因素A的六个水平满足一个约束条件：所以，fA=6-1=5。因此，因素A的平均变动平方和应用：SA与fA可按下面的叙述规则进行计算：SA=因素各水平[重复数×(平均值-总平均值)2]之和fA=因素的水平数-1fA称为因素A的自由度，因素A的六个水平满足一个约束条件：所C.总的偏差平方和及总自由度工艺条件试验号12341Y11-y=1172022Y21-y=152-21-23-42654-77-16-1751314-10116106-113C.总的偏差平方和及总自由度工艺条件12341Y11-y=1该公式说明，实验数据总的偏差可以分解为两部分，一部分是实验误差的偏差，另一部分是由于因素变动引起的偏差。同理可知总偏差的自由度：为了方便S总还可以写成：该公式说明，实验数据总的偏差可以分解为两部分，一部分是实验误d.显著性检验计算出S因、f因、S误、f误数值，就可判断出因素对指标的影响是不是显著。所谓显著，是指因素水平改变时，确使实验结果的真值有改变。V误反映了实验误差影响的大小，而VA反应了因素水平改变时影响的大小，因此应该比较V误和VA的大小，以判断因素的水平改变确有超过实验误差干扰的影响，这是就说因素A是显著的。比较VA与V误的大小可以计算其比值：当FA多大时，就能说因素A是显著的呢？F分布表中的数值上就是各种情况下的临界值。由表查的的临界值记为Fα，当FA>Fα时，我们就有（1-α）的把握说因素A对指标有显著性影响。这里的α

就叫做显著性水平。d.显著性检验当FA多大时，就能说因素A是显著的呢？F分布表F分布及其查法：F分布表中列出了各种自由度情况下F比的临界值，F分布表的横行f1=1,2,3,4,5…15…。代表F比中的分子的自由度（f因或fA），竖行f2=1,2,3,4…，代表F比中分母的自由度(即f误），而α=0.1,0.05,0.01分别表示在不同的显著性水平上的F比的临界值。查表时根据f因和f误的值可在不同的显著性水平上分别找到Fα的值，并把该值与计算的F值进行比较。例子：例如在本例中fA

=5，f误=18，查表得：Fα=0.1（5,18）=2.20，Fα=0.05（5,18）=2.77，Fα=0.01（5,18）=4.25.由于：可以看出当FA>F0.05(5,18）=2.77，但是FA<F0.01(5,18）=4.25,表示本例有（1-0.05）的把握说因素A对实验结果有显著影响。F分布及其查法：例子：实验设计与数据处理第二章正交设计方法课件2.2.2正交设计的统计分析（多因素试验的方差分析）多因素方差分析：多因素方差分析和单因素的方差分析类似。多因素实验结果之间的差异也是由两部分组成：各因素水平变化引起的；实验误差所引起的。在多因素试验中，方差分析的目的在于将实验误差所引起的结果差异与实验条件的改变所引起的结果差异区分开来，以便能抓住问题的实质。此外还要把影响实验结果的主要和次要因素区分开。2.2.2正交设计的统计分析（多因素试验的方差分析）多因素下面通过实例说明多因素方差的分析方法：例2-3寻求合理的钢材热处理条件。实验目的：提高钢材的强度，考察指标是（千克/毫米2）因素与水平：考察三个因素：淬火温度，回火温度，回火时间，其因素与水平表见下表。因素淬火温度（A）度回火温度（B）度回火时间（C）分一水平84041040二水平85043060三水平86045080下面通过实例说明多因素方差的分析方法：因素淬火温度（A）度回列号A空BC实验结果ya(ya-185)试验号123411(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列号A空BC实验结果ya(ya-185)试验号123411(

选正交表，排表头，列出试验计划，该实验选用L9(3)4表，表头设计及实验结果见下图，该表的第二列未安排因素，填入空留作他用。（空列的左右后续将讲到）a.计算总偏差平方和总偏差平方和S总表示了各实验数据围绕总平均值的变动情况。由上表可知，实验结果的指标在165-212之间波动，实验结果的指标165-212之间波动，各实验结果以ya表示，用表示他们的平均值：根据或选正交表，排表头，列出试验计划，该实验选用修正项总偏差自由度

为了便于计算，可对上表中的数据进行简化，当几个数y1，y2，….y9较大时，可将每一个数ya(a=1,2…n)都减去同一个数C，这并不影响偏差平方和的计算结果，而计算工作量却减少很多。当ya-185时，经简化后计算的结果如下：修正项总偏差自由度为了便于计算，可对上表中b.计算因素变动平方和（S因）因素A放在L9（34）正交表的第一列上，共有三个一水平，三个二水平，三个三水平。用因素A的一水平对强度的平均影响I1/3,代替各一个水平（共三个）对强度的影响，用因素A的二水平的平均强度II2/3代替二水平对强度的影响，同理用III3/3代替各三水平对强度的影响，根据正交表的综合可比性，I1/3,II1/3,III1/3,这三个平均值可以相互比较，且他们反映了因素A的三个水平间差异，所以因素A的偏差平方和SA可有计算三个I1/3,II2/3,III3/3,与y的偏差的平方和得到，即：也可用简化的公式b.计算因素变动平方和（S因）也可用简化的公式同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=3-1=2C.计算误差的偏差平方和（S误）在多因素试验中，毫无例外地也存在着误差，此时计算误差的偏差平方和可用正交表中未安排因素的空白列计算。计算方法与计算SA和SB等列的方法相同。本列中的三个I2/3,II2/3,III2/3的平均值与计算SA和SB的方法相同。同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=因为该列中没有安排因素，所以计算的空列的偏差平方和中，也没有因素水平间的差异所造成的偏差，该列仅仅反应实验误差的大小。因此：因为该列中没有安排因素，所以计算的空列的偏差平方和中，也没有列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(上述各列偏差平方和的计算，均可在正交表上进行，由S总及各Sj不难理解：上述各列偏差平方和的计算，均可在正交表上进行，由S总及各Sjd.检验因素的显著性计算S因，f因，S误，f误的目的是为了判断因素水平的变化所引起的实验结果的变动是否显著，因此仍采用单因素试验的方差分析方法进行显著性检验，即计算V因与V误的比值，而后与F分布表的临界值进行比较。根据SA，SB，SC及fA,fB,fC,f误可分别计算VA，VB，VC及V误

由计算结果可知VA

小于V误，而VB

与V误相差不大，因此，在VA

及VB的偏差中，由因素水平变化的影响部分很小，他们的偏差实际上主要是由于误差干扰造成的，这在进行显著性实验前就能确定。由于A，B两因素可取任一水平，因此SA，SB应与S误合并在一起，用以估计误差影响的大小，而且误差的自由度越大，进行显著性检验时越精确，所以我们把误差的偏差平方和及误差的自由度合并成：d.检验因素的显著性由计算结果可知VA小用这种合并后的误差的平均偏差平方和：去检验余下的因素C的显著性：因素C的自由度fc=2，的自由度，查α=0.01显著性水平的F分布表，F0.01(2,6)=10.9,所以因素C是高度显著的[（1-0.01）把握]FC=15.84>F0.01(2,6)=10.9用这种合并后的误差的平均偏差平方和：去检验余下的因素C的显著通过本例方差分析可知：（1）在影响强度的因素中，回火时间对强度有高度显著地影响，根据IC、IIC、IIIC的大小可以看出选2水平较好。（2）淬火温度和回火温度的改变对强度无显著影响，考虑到节省能源，一般选一水平（低温）为好，因此选取的工艺条件为：A1B1C2.即淬火温度为840度，回火温度为410度，回火时间为60分钟是最佳工艺条件。通过本例方差分析可知：2.2.3效应与工程平均前两节已说明用正交表安排实验时，可采用综合比较的方法，以及方差分析的方法定出较好的工艺条件。但是方差分析较为繁琐？对于所定出的工艺条件能否不经过试验也可预算处在该条件下所能够定量地估计个主要因素，当取某一水平组成不同的条件时，其考核指标可望达到的数值？

为此，首先引进效应的概念，试验数据的总平均是用以比较各因素、各水平差别的基准，因而要了解一个因素由于采用某一水平而使试验指标比多或者少，只要计算这个因素在该水平下数据的平均值与总平均的偏差就可以了。这个偏差我们称为该因素在该水平下的效应。效应一般用小写字母加数字足标表示，如a3表示因素A第三水平的效应。2.2.3效应与工程平均为此，首先引进效应的概念，试验数如下表中，=187，效应：同理可计算有了效应便可计算工程平均，因为每个效应都表示一个因素取定一个水平与总平均值的差值，所以当各重要因素选取一定水平后，试验应得到的数据是在总平均的基础上所得到的数值，该值就是工程平均。从上述计算数据中可以看出C元素影响是主要的，而且最优组合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)如下表中，=187，效应：同理可计算有了效应便可计算列号A空BC实验结果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)212