20192020学年高中数学课时作业21平面向量数量积物理背景及其含义新人教A版必修4

5/52019-2020学年高中数学课时作业21平面向量数目积的物理背景及其含义新人教A版必修4|基础坚固|(25分钟，60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．33解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－122，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C2．已知向量a，b知足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为()ππA.6B.4ππC.3D.2解析：由于|a|＝2，a·(b－a)＝－1，因此a·(－)＝·－a2＝·－22＝－1，baabab因此a·b＝3.又由于|b|＝3，设a与b的夹角为θ，·b31则cosθ＝a＝＝.a|||b|2×32π又θ∈[0，π]，因此θ＝3.答案：C3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2)·(－3)＝－72，则向量a的模是bab()A．2B．4C．6D．12解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．答案：C→→4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC＝()A．－16B．－8C．8D．164解析：设∠CAB＝θ，∴|AB|＝cosθ，→→→→4AB·AC＝|AB|·|AC|·cosθ＝cosθ·4cosθ＝16.答案：D→→→→→5．如图，在△中，⊥，＝3，||＝1，则·＝()ABCADABBCBDADACADA．23B.323C.3D.3→解析：设|BD|＝x，→则|BC|＝3x，→→→→→→→AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD→→1＝|BC|·|AD|cos∠ADB＝3x·1·x＝3.答案：D二、填空题(每题5分，共15分)6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且||＝||＝1，ab则(－3a)·(a＋b)＝________.解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－33－3×1×1×cos120°＝－3＋3×2＝－2.答案：－327．已知|a|＝5，||＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数目等于b________．解析：||cos〈，〉＝8cos60°＝4，因此b在a方向上的射影的数目等于4.bab答案：4→→8．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|DC＋BC|＝________.→→解析：∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，∴∠DCB＝60°，∴|DC＋BC|2→→→→→→＝|DC|2＋|BC|2＋2DC·BC＝12＋12＋2×1×1cos∠DCB＝3，∴|DC＋BC|＝3.答案：3三、解答题(每题10分，共20分)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.)2－2解析：(1)(2a＋b)·(2a－)＝(2a2222＝4|a|－|b|＝4×4－8＝0.22(2)∵|4a－2b|＝(4a－2b)22＝16×4－16×4×8×cos60°＋4×8|4a－2b|＝16.10．已知||＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.a(1)求a与b的夹角θ；求(a－2b)·b；(3)当λ为什么值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，12π∴cosθ＝－2，∴θ＝3.易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.∵λa＋b与a－3b相互垂直，22∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa－3λa·b＋b·a－3b4∴λ＝7.|能力提高

|(20

分钟，

40分)→

→11．(2015·高考四川卷→→→→

)设四边形→→

ABCD为平行四边形，

|AB|＝6，|

AD|＝4.若点

M，N知足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝(A．20B．15

)C．9D．6解析：以以下图，由题设知：→＝→＋→＝→＋3→，AMABBMAB4AD→＝1→－1→，NM3AB4AD→→→3→1→1→1→2－3→21→→1→→因此AM·NM＝AB＋AD·AB－AD＝|AB||AD|＋AB·AD－AB·AD43431644133×36－16×16＝9.答案：C→→12．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则AO·AM＝________.解析：∵是的中点，∴→＝1(→＋→)，又O是△的外接圆圆心，∴→·→＝MBCAM2ABACABCABAO→→1→2→→1→2→→1→→→|AB||AO|cos∠BAO＝|AB|＝8，同理可得AC·AO＝|AC|＝2，∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO＝2221→→1→→2AB·AO＋2AC·AO＝4＋1＝5.答案：513．已知|a|＝1，a·b＝1，(a－b)·(a＋b)＝1，求：22a与b的夹角；a－b与a＋b的夹角的余弦值．1解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝2，∴||2－|b|2＝1.a2∵||＝1，∴||＝212||－＝.aba22设a与b的夹角为θ，则1cosθ＝a·b＝22，|a||b|＝221×20°≤θ≤180°，∴θ＝45°.即a，b的夹角为45°.2a2·＋b21(2)∵(－)＝－2＝，abab2∴|－|＝2.ab22225∵(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝2，10∴|a＋b|＝2.设a－b与a＋b的夹角为α，则1cosα＝a－ba＋b＝25|a－b||a＋b|210＝.52×25即所求余弦值为5.→→14．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.→→若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；→→→→若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．→→解析：(1)由于四边形ABCD是矩形，因此AD·DC＝0，→→→1→→2→2→由CP＝2PD，得DP＝3DC，CP＝3CD＝－3DC.→→→→→→因此·＝(＋)·(＋)APBPADDPBCCP→1→→2→＝AD＋DC·AD－DC33→21→→2→22＝AD－3AD·DC－9DC＝36－9×81＝18.→→→→1→→1→(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋3DC＝AD＋3AB，→→→→2→→2→BP＝BC＋CP＝BC＋3CD＝AD－3AB，→→→1→→2→因此AP·BP＝·＋－3ABAD3ABAD→21→→2→2＝－·－9ABAD3ABAD1→→1→