空间向量与空间解析几何

关于空间向量与空间解析几何第1页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五知识目标了解二次曲面的标准方程；理解空间直角坐标系、向量的概念；会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程.第2页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五能力目标通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力.德育目标借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养.第3页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.1空间向量及其线性运算了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.第4页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.1.1空间直角坐标系

通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以90度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正方向.过空间一个定点O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O

为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x

轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系Oxyz

,点O

叫做坐标原点(或原点).第5页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五

这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限.x、y、z

轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面.x

轴与y轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地,有yOz面,zOx面.八封限第6页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？

A（1，-2，3）

B（2，3，-4）

C（2，-3，4）

D（-2，-2，1）练习2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）

B（0，4，3）

C（3，0，0）

D（0，-1，0）第7页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五空间中的任意一点P与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.点坐标xyOxyzOPABC这组数就叫做点P的坐标，并依次称x、y、z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).xyz

(x,y,z)第8页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两点间距离（△M1PQ都是直角三角形）任取空间两点M1(x1,

y1,

z1)、M2(x2,

y2,

z2),它们之间的距离为d=|M1M2|.过点M1、M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴,形成如图的长方体.（△M1QM2

是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2()PQz2y2x2第9页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两点间距离公式：特别地，点M(x,y,z)与原点O(0

,0

,

0)的距离：第10页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点

B（-2，4，1）的距离相等.

练习1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.

（1）

A（3，4，0）

B（0，4，3）

（2）C（3，0，0）

D（0，-1，0）第11页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.1.2向量的概念定义7.1既有大小又有方向的量称为向量(或矢量);向量的大小称为向量的模.代数法表达方式几何法用始点为A终点为B的有向线段表示AB图示用带有箭头的小写字母

表示或用黑体字母表示.(或)记作向量向量的模(或)(注：模长是标量)第12页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两个基本向量模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量单位向量记作记作(方向未做规定)第13页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量的三种关系模长相等,方向相反的向量.相反向量记作模长相等,方向相同的两个向量.相等向量记作向量可以在空间中任意平移.注

与始点、终点位置无关；图示图示注第14页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五方向相同或相反的非零向量.平行向量记作平行向量又可称作共线向量.注零向量与任何向量都平行.图示第15页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.1.3向量的线性运算向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的线性运算第16页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五三角形法则运算法则平等四边行法则AB图示图示加法运算CDABACCCA第17页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五三角形法则运算法则平等四边行法则AB图示图示减法运算CDABCCBDB第18页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五数乘运算注数乘运算后的结果仍是一个向量.记作一个向量与一个实数的乘积.定理

向量与向量平行(或共线)的充要条件是：存在不全为零的实数和,使得.若有成立,则称向量为原向量同方向的单位向量.第19页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五例题已知求：.解：第20页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴同向的单位向量.则称

为向量的分解式；

称为向量的坐标式.第21页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量线性运算规律坐标式分解式

(为常数)(为常数)第22页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五练习1.已知两点M1

(0，1，2)

和M2

(1，-1，0),试用坐标式来表示向量与.2.已知与,求向量与的坐标.第23页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.2向量的数量积与向量积

掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.第24页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.2.1向量的数量积引例设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2,以S表示位移,则力F所做的功为,其中为F与S

的夹角.M1M2FM1M2S第25页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五特别地，时,称与垂直；记作：或时,称与平行或共线；记作：定义任意两个向量,的数量积(或内积)是一个数量,记作,即.定义两个非零向量与,它们的夹角称为向量与的夹角,记作.第26页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五定义法坐标法数量积的运算方法第27页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五数量积的性质数量积的运算律第28页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五例题解：

第29页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量夹角余弦公式第30页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.2.2向量的向量积FPOLQ第31页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量积右手系规则图示向量积模的几何意义第32页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五分解式法坐标法向量积的运算方法第33页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五例题解：第34页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量积的性质向量积的运算律第35页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五向量的混合积第36页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五想一想第37页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.3平面与直线

平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.第38页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.3.1平面的方程平面的法向量第39页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五平面的点法式方程平面方程的表达式平面的一般式方程第40页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五解：求过两点M1

(2，

-1，1)

和M2

(3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。例题第41页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五解：求过点M(1，

-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。例题第42页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.3.2直线方程直线的点向式和参数方程直线方程的一般式直线方程的两点式三种表达形式第43页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五M(x，

y，

z)LM0(x0，

y0，

z0)s={l，

m，

n}M(x，

y，

z)M0(x0，

y0，

z0)直线的对称式方程（或向式方程）：直线的参数方程：第44页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五直线的一般式方程例题解：（两个相交平面的交线来表示）第45页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五直线的两点式方程第46页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五7.3.3直线与平面的相互位置关系两平面的位置关系两直线间的位置关系直线与平面的位置关系三种关系第47页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两平面的位置关系三种位置关系相交、平行、重合第48页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两直线间的位置关系两种位置关系异面、共面平行重合相交第49页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五直线与平面的位置关系三种位置关系相交、平行、直线在平面上第50页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五例题解：解：第51页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五点到平面距离公式直线与平面的夹角第52页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五例题解：注：上结论可作为公式应用.第53页，共63页，2022年，5月20日，15点6分，星期五两个平面间夹角注：可类似地定义两条直线之间的夹角.第54页，共63页，2022年，5月20日，15点6分