高中数学：平面向量基本定理及向量坐标运算练习

高中数学：平面向量基本定理及向量坐标运算练习基他巩固1．如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(D)A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C.ei+e2与ei~e2D.®—2勺与一ei+2e2已知向量a=(—l,2),b=(3,m),mGR，则“m=—6”是“a〃(a+b)"的(A)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：由题意得a+b=(2,2+m),由a〃(a+b),得一1X(2+m)=2X2,所以m=—6,则“m=—6”是“a〃(a+b)”的充要条件，故选A.(河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC=2AE,则向量EM=(C)b.2ac+6abD.6aC+b.2ac+6abD.6aC+|ABc.6ac+|ab解析：女口图,・・・EC=2AE,?.EM=Ec+CM=|ac+|cb=|ac+|(Ab—Ac)=|ab+i1Ac.4.如图4.如图，向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为(B)[x_y=—[x_y=—3,则「1，lx——2,解得仁1,故a——2e1＋e2.A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2解析：以e1的起点为坐标原点,纟]所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由题意可得e]=(l,0),e2=(—l,l),a=(—3,1),因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(—1,1)=(x—y,y),兀兀-2・D兀-3・C兀-4

兀-6・A5.已知向量加一(sinA,2)与向量"一(3,sinA+\民osA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(C)3解析：因为m〃n,所以sinA(sinA+、j3cosA)—㊁一0,所以2sin2A+3sinAcosA—3,可化为1—cos2A+冷3sin2A—3,所以sin〔2A—6)—1,因为AW(0,n),所以〔2A—彳，平)因此2A~6=2,解得A=£.6.(河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE—久AB+“AD(久，“为实数)，则久2+〃2等于(A)D

A.81B.4C．15D.A.81B.4C．15D.16解析：庞=*da+2万0=莎+4丽=莎+4冈+恥）=折—135所以久=4,“=—4,故久2+“2=8,故选A.7．(四川凉山模拟)设向量a=(cosx,—sinx),b=(—cos(2—xj,cosxj,且a=tb,tH0,则sin2xA．B．－1C．±1D．0解析：因为b=f—cosf^—xj,cosx1=(—sinx,cosx),a=tb,所以cosxcosx—(—sinx)(—sinx)knnn=0,即cos2x—sin2x=0,所以tan2x=1,即tanx=±1,所以x=y+才伙$见),贝U2x=kn+2(k$Z)，所以sin2x=±l,故选C.8.（湖北黄石质检）已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x・ABAN=yAC,则x+y的值为（BB.DB.D.A.2C.2解析：由已知得M,G,N三点共线,••・AG=MM+(1—QAN=2xAB+(1—久)•yAC.•・•点G是△ABC的重心，/.AG=3x|(Ab+Ac)=3^(AB+ac),Ax=3Ax=3，、（］一小=3,即'3x<1—X=3~，

3y3x13y3x13y丄，f"x+y1=3,通分变形得,x+y=3xy・xy=1…x+y3已知点A(-1,2),B(2,8),aC=1AB,D)A=-1BA，则CD的坐标为(一2,—4)解析：设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得AC=(X]+1,歹]—2)AB=(3,6),DA=(—1—x22—y2),BA=(—3,—6).因为ac=3ab,da=-3ba,和1—勺一1'

〔和1—勺一1'

〔2—y2=2.所以有十1小ch—2=2[x=0,[x=—2,解得]'和]2cLy1=4〔y2=0・所以点C,D的坐标分别为(0,4),(—2,0),从而CD=(—2,—4).(南昌模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，匕卩⑴兄匕1,3),P],P2,P3三点共线且向量OP3与向量a=(1,—1)共线，若Op3=aop1+(1—A)oP2,M久=—1—.解析：设0P3=(x,y),则由OP3〃a知x+y=0,于是OP3=(x,—x).若OP3=AoP1+(1—A)OP2,[4久一1=x,则有(x,—x)=A(3,1)+(1—A)(—1,3)=(4A—1,3—2A),即]所以4久一1+3—2久=0,解13—2久=—x,得久=—1.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka—b与a+2b共线；(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三点共线，求m的值.解：(1)Ta=(1,0),b=(2,1),・ka—b=k(1,0)—(2,1)=(k—2,—1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),Vka—b与a+2b共线，2(k—2)—(—1)X5=0,k=—2(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),BC=(l,0)+m(2,l)=(2m+l,m).•・•a,b,c三点共线,・•・AB〃BC,3・8m—3(2m+l)=0,・m=2.3]l2.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足aM=4AB+4AC.(l)求AABM与AABC的面积之比；⑵若N为AB的中点⑵若N为AB的中点AM与CN交于点O,设BO=x・BM+yBN,求x,y的值.ABCM3l解：⑴由AM=4AB+4AC,可知m,b,c三点共线.如图，设BM=xBC,则am=aB+Bm=aB+xBc=aB+X(ac-AB)=(1-X)AB+xaC,所以久=4‘所以△ABC即AABM与△ABC的面积之比为l：4.(2)由BO=xBM+yBN,得BO=xBM+2BA,Bb=4BC+yBN,由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线II---y-2y---y-2y++Jx、lxl4x=7.1±能力提升13.已知I鬲1=1,1丽1=\/3,鬲・丽=0,点C在ZAOB内，且荒与鬲的夹角为30°,设荒=mOA+nOB(m,n$R)，则—的值为(C)nA.2B.2C．3D．4解析：・.・OA・OB=o,aOA±OB,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系，OA=(1,O),OB=(0^..'3),OC=mOA+nOB=(m,../3n).•・・tan30°=血二車.・・・m=3n,即聖=3.TOC\o"1-5"\h\zm3n14.(福州质检)设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)，其中O为坐标原点,a>0,b>120,若A,B,C三点共线，则a+b的最小值为(C)A.4B.6C.8D.9解析：•OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2),A,B,C三点共线,.*.AB=AAC,即(a—1,1)=久(一方一1,2),a—a—1=A(—b—1),1=2久，可得2a+b=1.•a>0，b>0，・a+i=〔a+ii(2a+b)=2+2+a+芽三4+2#半=8,b4a11当且仅当方=万，即a=4，l=2时取等号，

12故a+b的最小值为8,故选c.15.（福建福州模拟）如图,在平面四边形ABCD中,ZABC=90。,ZDCA=2ZBAC,若BD=xBA+yBC(x,yR)，则xxBA+yBC(x,yR)，则x—y的值为一1解析：如图，延长DCAB交于点E,BDC因为ZDCA=2ZBAC,所以ZBAC=ZCEA.又ZABC=90°,所以BA=—BE.因为BD=xBA+yBC,所以BD=—xBE+yBC.因为C,D,E三点共线,所以一x+y=1,即x—y=—1.16.（长沙一模）矩形ABCD中AB=3AD=2P为矩形内部一点，且AP=1若AP=xAB+yAD,则3x+2y的取值范围是（1,叮2].解