第四章-复杂电力系统潮流的计算机算法

（申报北京市精品课程）电力系统分析基础（申报北京市精品课程）电力系统分析基础课程名称：电气与电子工程学院主讲人：艾欣 教授、副院长复杂电力系统潮流的计算机算法复杂电力系统潮流的计算机算法第四章第一节电力网络方程-P-Q分解法潮流计算第五节潮流计算中稀疏技术的运用本章主要阐述三个问题1、复杂电力网络的数学模型；2、复杂电力系统潮流分布的计算方法；3分的作用在于提高潮流计算程序的质量。第一节电力网络方程一、节点电压方程˙ Y˙B B B一、节点电压方程一、节点电压方程这些方程式中，IB是节点注入电流的列向量。在电力系统计算中，节点注入电流可理解为各节点电源电源流向网络的注入。因此，仅有负荷的负荷节点注入电流就具有负值。某些仅起联络作用的联络节点，如图4-1(a)中节点3UB是节点电压的列向量。因通常以大地作参考节点，网络中有接地支路时，节点电压通常就指各该节点的对地电压。网络中没有接地支路时，各节点电压可指各该节点与某一个被选定作参考节点之间的电压差。本书中一般都以大地作参考节点，并规定其编号为零。YB是一个n×n阶节点导纳矩阵，其阶数n就等于网络中除参考节点外的节点数。例如，图4-1(a)中，n＝3。一、节点电压方程节点导纳矩阵ni);ij)n˙自导纳Yii˙对第i

ik˙kk1

1,2,,n˙˙

˙

˙

0(k

1,2,n,˙

i)则：

Ii

Ui,

Ii˙i˙kIi˙i

Ii一、节点电压方程外，其他节点都接地，在i上加单位电压时，从节点i流向网络的注入电流。Yii

(yi0

yij˙njin

yio

yijnjin为与i相连的支路导纳之和。互导纳Yij对第i

Ii

iknk1n

1,2,,n令：

˙

˙

1,2,,n,kj)一、节点电压方程Ii

ij˙j

Yij

Ii˙j˙kIi˙j

Iij上加单位电压时，从节点i流向网络的注入电流。Yij

yij˙

yij

i、j支路导纳的负值Yji

Ij˙i˙kIj˙i

I

yijUi

yij

Yij一、节点电压方程导纳矩阵的特点:导纳矩阵元素与支路导纳有关,自导纳为与i相连支,互导纳为i与j之间支路导纳的负值。对称方阵、稀疏、具有对角线优势。一、节点电压方程节点阻抗矩阵Y1˙ ˙ Z ˙ ˙B B B B B BZ11Z

Z12 Z

Z

Z1nZ 21...

22...

2i...

2nZZBZ i1

Zi2

Zii

Zin...

...

... Z1

Zn

...

Zni

... Znn一、节点电压方程i);i与j)自阻抗Zii对第i

˙

Zik˙knIk1nI

i1,2,,nIi˙

˙

Ik

1,2,,n,˙˙iIi

i)则：

Ui

ZiiIi

Zii

Ik,k

Ui一、节点电压方程Zii的物理意义：除i外,其余节点电源开路,在i位电流时，节点i上的电压值，即从节点i看网络等值电路的对地总阻抗。互阻抗Zij对第i

˙

Zik˙knIk1nI

i1,2,,n˙令：Ij˙˙

˙

Ik

1,2,,n,kj)˙Ui

ZijIj,

Zij

˙iIjIk˙iIj

Ui一、节点电压方程Zij的物理意义：除j外其余节点电源开路在j单位电流时，节点i上的电压值。Zji的定义：第j

˙j

nZ Z I ,jjk k1

nIi

Ik

1,2,,n,

i)˙

jZ

jiIi

Zji

UjIiIkUjIi

˙jZji的物理意义：除i外其余节点电源开路在i单位电流时，节点j上的电压值。一、节点电压方程阻抗矩阵的特点:阻抗矩阵元素与支路阻抗有关,对称方阵、满阵、具有对角线优势。节点导纳矩阵的形成节点阻抗矩阵的形成BB按定义直接形成（对简单网络）BB

Z Y1二、回路电流方程二、回路电流方程 这些方程式中，IL惯上取顺时针的电流流向为正。EL是回路电压源电势的列向量。某回路电压源电势正方向与该回路电流正方向一致时，该回路电压源电势具有正值；与该回路电流正方向相反二、回路电流方程 ZL是一个m×m阶回路阻抗矩阵，其阶数就等于网络中独立回路数m=b-nb为支路数，n为节点数（树支数）。例如，图4-1(b)中，m＝3。节点电压方程和回路电流方程的比较（压输电系统）方程个数状态变量选向问题适应网络变化节点方程n (少)˙n直接)无易回路方程b-n (多)Il（间接)有难三、节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成第二节功率方程及其迭代解法一、功率方程和节点分类点电压方程来建立潮流计算的数学模型。˙

˙

˙

Z˙是节点功率（因为是，对于庞大的交流系得到），因此节点电压方程要进行修改。一、功率方程和节点分类功率方程˙

*

(in)UiPi*

jQi

*YijUj

(in)nUi jn其中：Pi

QiQGiQDi,

分别为节点电源发出的有功、无功功率QDi分别为节点负荷吸收的有功、无功功率一、功率方程和节点分类（复数方程→实数方程）

Gij

jBij,

˙

jfiPi

jQi

(eijfi

nn)

jBij

)(ej

jfj)ije ij

B

f

n

B

n

B

e

n

Be i

ij j

ij j i ij j

ij j jfi

ij j

ij j

i ij j ij j

j1

nnjnn

ije

f

nnfijnn

ijfjBijej

0ijij

jinjQi

fij

ije

f

j

ijfjBije

0一、功率方程和节点分类（复数方程→实数方程）Y G

,˙

UejiPi

jQi

Ui

令：ijnijeji(G nijj1

ijjBij

ij i iejjejUi

nnjj

U

ijcos(ij)Bijsin(i

j

ijcos(i

j

)

ijsin(i

j

)得实数方程：PiUi

nn

U

ijcosi

)

isini

) 00

ji1,2,,nji j ij iQ Un UBi j ij ij1

j)Gijsin(i

)0jj一、功率方程和节点分类变量的分类每个母线iUii

fi)TTp=

,QDi)

(PD1

,

,

,QD2

,)TTTu=i

,QGi)

(PG1

,QG1

,

,QG

,)Ti 1 1 2 x=(e,f )T (U , ,U , ,)i 1 1 2 一、功率方程和节点分类

f(x,u,p)0线路功率计算：由状态变量决定˙ij

˙

iyio

˙Uy*Uy

** * *ii˙ijii

jQij

2 ioUy*Uy

i(Ui*

Uj*

yij*˙ji

Pji

jQji

2 jo

j(Uj

Ui

yij一、功率方程和节点分类˙功率方程讨论

˙˙ji

Gij

jBij为常数,线性网络i

为为相对角度,须指定某个k 0变量6n个,方程2n4n个变量潮流计算的约束条件

≤

≤QGimin

≤QGi

≤QGimax一、功率方程和节点分类

≤Ui

≤Uimax重要线路：δi－δjδi－δjmax线路功率：Sij≤Sijmax功率方程的给定量及求解

p和

可求

，但要考虑三个因素：全系统功率平衡

P

QGi

QDi

Qij损耗取决于状态变量，故不能全给定，要留下一对PGS、QGS用于最后全系统功率平衡，将它们作为未知量；相角

不单独出现，指定

i0一、功率方程和节点分类方程组有多值解，而实际系统电压是唯一解，须指定某一个电压的值为已知，一般与为同一节点（即参考节点）。给定量：p)：PDi、QDi，共2n个

i 0除一对PGS、QGSu)，共2(n-1)个x)US、δS，共2个未知量：余下的状态变量Ui、δi（i

），共2(n-1)个。余下的一对控制变量PGS、QGS，共2个一、功率方程和节点分类求解步骤：给定pu(除一对PGS、QGS)指定一对US、δS，即˙

US0求余下的x及PGS、QGS若某些节点要控制U的大小，可将UQ作未知量处理。节点(母线)分类：依给定量分类PQ节点：给定Pi(PGi、PDi)及Qi(QGi、QDi)，求Ui，δiPV节点：给定Pi(PGi, PDi)、Qi中的QDi和Ui，求δiQi中的QG平衡节点(节点)：给定Ui、δi(PDi、QDiPi(PGi)、Qi(QGi)一、功率方程和节点分类一般无发电设备的变电所、功率固定的发电厂为PQPV节点；主调频电厂或出线多的发电厂为平衡节点。平衡节点全网一个，PQ节点大量存在，PV无。PQ节点和PV节点有可能互相转化。二、高斯——塞德尔迭代法（G_S）设AAx=b有唯x

xMxgx(0),有如下迭代公式：x(k

Mx(k)gM称为迭代矩阵该算法具有存储量小，程序设计简单的优点。需要解决的问题：收敛性：算法收敛的充要条件为迭代矩阵的谱半径 (M)

值），在此条件下，算法线性收敛。二、高斯——塞德尔迭代法收敛速度：谱半径越小，收敛速度越快。一维非线性方程的高斯迭代法

f(x)

0

xF(x)（可有多种形式）

x(0)

，将其代入方程yF(x(0))

x(1)x(1为x(0)

的一次修正值x(1)

yF(x)

，得到x(2)

x(k)

F(x(k

x(k)

x(k称k为迭代次数， 为要求的精度二、高斯——塞德尔迭代法算法图解yxy该算法的优点是简单，但收敛速度慢，阶梯式逼二、高斯——塞德尔迭代法多维非线性方程的高斯迭代法φ(x)

f(x)0于是可以有以下迭代格式： x(0)

x0x(k1)

φ(x(k)

φφ(x)xTφ'(x*)

xx*

谱半径决定，小于1，收敛，越小收敛性越好，x*的解

为方程二、高斯——塞德尔迭代法高斯——塞德尔潮流算法(k

1 PjQ

* (k)U [ i ii i

Y U

(i

n)Yii

* (kUi

ij jj1ji(k

1 P

* (k

* (k)U [ i ii i

U1(Y

Y U )]Yii

* (k) Ui

ij jj2

ij jji1(i

n)二、高斯——塞德尔迭代法算法特点：在系统病态的情况下，收敛困难。重负荷节点负电抗支路较长辐射型线路长短线路接在同一节点上，且长短线路的比值很大计算速度缓慢互影响太小，造成迭代次数增加，收敛缓慢。程序编制简便灵活三、牛顿——拉夫逊迭代法（N_L）算法的一般概念：线性逼近，对于一元普通方程y f

(x)x附近的某个近似解，将f(x)在近似解x(0) 泰劳展开：f(x)

f(x

(0))

f(x

(0)

)(x

x(0))

f(x(0)

(x

x(0))2如果用线性函数f(x)

f(x(0))

f(x(0))(x

x(0))

(x)

，于是原方程的线性化方程为y f

(x(0))

f(x(0))(x

x(0))三、牛顿——

y

(x(0))

(0)若f

(x(0))

0，其解记为x

f(x

x(0))

x的新近似值

x(1)。

f(x)

线性，则一次迭代就可以得x。x(k)附近的线性化方程为y f

(x(k))

f(x(k))(x

x(k))(k

yf(x(k))

(k)f

(x(k))0

，其解记为

f(x

(k)

xk

x(k)

y

(x)的牛顿迭代法。三、牛顿——拉夫逊迭代法牛顿迭代法有明显的几何解释：收敛速度：平方收敛收敛性：局部收敛yy f(x)x(2)x(1)x(0)三、牛顿——拉夫逊迭代法三、牛顿——拉夫逊迭代法算法在非线性方程组上的拓广对于非线性方程组f1(x1,x2,,xn)f2(x1,x2,,xn)y2fn(x1,x2,,xn)

ynf(x)yxx附近的某个近似解，f(x)x(0)处泰劳展开并略去二阶项。得以下线性方程组f(x(0))f'(x(0))(xx(0))y(x

x(0))

[f'(x(0))]1[y

f(x(0))]三、牛顿——拉夫逊迭代法其解记为x(1) ，根x的新近似值。类似，可以得到 f(x(k))(x(k

x(k)

yf(x(k))若定义∆x(k)

x(k1)

x(k，J(k

f'(x(k)(k

f(x(k))]f(k)J(k)x(k)运用牛顿——说明：与G-S法不一样，N-L法不需要进行方程组变形

x，功率方程为f点功率注入和PV节点电压幅值为y第二节牛顿——拉夫逊潮流计算一、直角坐标形式潮流计算修正方程功率方程的直角坐标形式展开(e,f)

eiGijeji

fj)

fiGijfji

Bijej)Qi(e,f)

fiGije

fj)ei(Gijfji

Bijej)当系统中共有n个节点，除了一个平衡节点外，其余节点都是PQ节点时的情况（电压实部、电压虚部），2（n-1）个已知量（有功、无功注入功2（n-1）个功率方程。如下：一、直角坐标形式潮流计算修正方程

eiGijeji

fj)

fiGijf

Bijej

1个方程

fiGije

fj)eiGijfji

Bijej)n-1个方程当系统中共有n个节点，其中PQ节点数目为（m-1），PV节点数目为（n-m）时的情况（电压实部、电压虚（PQ节点的有功、无功注入功率分别（m-1）个，PV节点有功注入功率（n-m）个，电压幅值（n-m）个），列写功率方程如下：一、直角坐标形式潮流计算修正方程

eiGijeji

fj)

fiGijfij jij

Bijej

1个方程Qi

fiGije

fj)eiGijfji

B e m-1个方程个方程，无法求（n-m）个，补充一组方程：eUf2 2 eUfefi i ief

n-m个方程

U2(e,f) 2 2ii P,f,Q,f)ii

U2f)

f(x)一、直角坐标形式潮流计算修正方程修正方程节点编号约定修正方程P1

H11

N11

H12

H12

H1

N1

H1n

N1nf1Q J L

L

L J

e 1

11 11 12

1p 1

1n 1n 1P2

H

N

H

N

H2

N2

H2n

N2nf22Q 2

J J

L21

J

N

J2

L2

J2n

eL2n 2e

HP Hpp

p1 N

Hp

Np

H

N

H

Npnfp pU2p

Rp1

S

Rp

Sp

Rpp

S

Rpn

S

epP H N

N

N H

f n

n2 n

np

nn nn n nU n

Sn1

Rn

Sn

Snp

Rnn

Snn

en一、直角坐标形式潮流计算修正方程, 式中的,, 的不平衡量。他们分别为：Pi

(Gije

fj)

fiGijf

Bijej)Qi

Qi

fi(Gije

fj)eiGijfji

Bijej)iiiiU2U2(e2f2)iiii式中的雅可比矩阵的各元素分别为Hij

Pi;Nijfjij

j Jij

j

;

j ij2ijijR i;ij

ifj

ej 一、直角坐标形式潮流计算修正方程一、直角坐标形式潮流计算修正方程求这些偏导数（书p160，式4-40a——4-41b）：注意求节点注入电流的意义不仅仅只在简洁表达式，也能够节约计算的开销。修正方程的特点：如果把2*2

Hij

Nij

Hij

Nij作为分块矩J L R S ij ij ij ij2（n-1）阶方阵一、直角坐标形式潮流计算修正方程修正方程的排列规律：构，减少在消去过程中的计算量。可比矩阵的各阶主子式不为0，如果各行对角元（主元）在该行（按列消元）元素一般来说是

Hii,Lii

，因此，需要将f排在e的前面，这样，在计算时就可以不需要进行选主元的工作。一、直角坐标形式潮流计算修正方程计算的收敛条件maxkmaxQ

k为除平衡节点外的所有节点k为所有PQ节点

k为所有PV节点k k二、极坐标形式潮流计算修正方程功率方程的极坐标形式展开UiUji

j(Gij

cos

sinij)Qiiy UQii

Uji

j(Gij

sin

cosij)定义：

这是函数关系，自变量和因变量的关系(U,

UiUji

j(Gij

cos

Bijsinij)

Qi(U,

UiUji

j(Gij

sin

Bijcosij)二、极坐标形式潮流计算修正方程当系统中共有n个节点，其中PQ节点数目为（m-1），PV节点数目为（n-m）时的情况这时共有n+m-2个未知量（PQ节点电压幅值、PV节点电压相角（n-m）个），2（n-1）个已知量（PQ节点的有功、无功注入功率分别（m-1）个，PV节点有功注入功率（n-m）个，电压幅值（n-m）个），列写功率方程如下：二、极坐标形式潮流计算修正方程PQ节点：n为常数

UiUjGjn

i+Bisi

ij)△Qi

Qi

UiUj(Gijj1

ijBijcosij

当自变量变化i1,2,,m-1PV节点：n

时，函数值与解方程（算法）△Pi

Ui

Uj1

j(G

ijcos

ijsin

就是要使得偏差尽量为0im1,m2,,n1二、极坐标形式潮流计算修正方程

(U,δ)Qi(U,δ)

n-1个方程m-1个方程式中的为：

为注入功率的不平衡量。他们分别Pi

(U,δ)Qi

Qi(U,δ)二、极坐标形式潮流计算修正方程修正方程

H11H21

H12H22

H1,n-1 H2,n-1

N11N21

N12N22

N2m-1

1 2

H

N N

n1

n-1,1

n-1,2

n-1,n-1

n-1,1

n-1,2

n-1,m-1

n1 Q1

J12

J1,n-1

L11

L12

U1/U1 2Q 2

J21

J22

J2,n-1

L21

L22

L2m-1

U

/U2

Qm1

Jm-11

Jm-12

Jm1,n-1

Lm-11

Lm-12

Lmm-1

Um1/Um1二、极坐标形式潮流计算修正方程雅可比矩阵Ja各元素:当ijHij

(U,j

Ui

j(G

ijSinij

Cosij)N (U,δ)

UU

Cos

BSin )jij Uj

j i j

ij ij ijJ Qi(U,

UU

Cos

BSin )Njij j

i j

ij ij ij ijLij

(U,δ)UjUjj

UiU

j

ijSin

Cosij)

Hij二、极坐标形式潮流计算修正方程H P(U,δ)iU

ijnUn

Sin

B

)Q

U2Biii i

i j ijj1ji

ij ij ij

i iiP(U,δ) n N i U UU(GCos BSin )2U2G

U2Giii Ui

i i

j ijj1ji

ij ij ij

i ii

i iinJ (U,δ)Un

U

Cos

B

)P

U2Gii

j ijj1ji

ij ij ij

i i iiQ(U,δ) n L i U UU(GSin BCos )2UB

U2BiUi

i i

j ijj1ji

ij ij ij

i ii i

i ii二、极坐标形式潮流计算修正方程计算收敛条件 k为除平衡节点外的所有节点k kmaxk

Qk

k为所有PQ节点三、潮流计算对约束条件的处理点无功注入功率越限，进行PV节点向PQ节进行PQ节点向PV节点的转化。节点类型转化时，需注意N_L法的修正方程的形式要发对应于该节点的无功功率不平衡量的表达四、N_L法潮流计算的基本步骤五、N_L法潮流的特点对初值很敏感，有时需要其他算法为其提供初值。对以节点导纳矩阵为基础的G_S法呈病态的系统，N_L法一般都能可靠收敛。五、N_L法潮流的特点六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题六、例题PQ分解法潮流计算一、算法背景提出的原因：N_L法的J阵在每次迭代的过这占据了N_L法的大部分计算时间，这也是N_L法速度不能提高的原因。可能性：N_L法可以简化成为定雅可比矩阵一、算法背景yy f(x)x(x(0)二、潮流计算时的修正方程将极坐标形式的N_L法修正方程式功分开排列。PH

NU/UQ

J

LU/U有功无功解耦。二、潮流计算时的修正方程SI˙SI

UIUI第一步近似：由于R<<X，的是N中各元素小于H中相应的各元素，J中各元素小于L中相应的各元素，即有近似的修正方程为：PH

0

PHQ

LU/U

Q

LU/U 二、潮流计算时的修正方程第二步近似：一般线路两端电压相角差ij较小（一般10~20度），

Gij

Bicosij1Gij得到

sinij

Bij

cosijHij=-UiUjBij, i、j=1,2,…,n-1ijiLij=-UiUjBij, 、j=1,2,…,m-1,IjiiHi

Qi

U2B

ii,

Lii

Qi

U2B

i;Qi为正常情况下节点i的注入无功功率;此时其U2B他节点未接地；i i 除i节点外其他节点接地时,由节点i注入的无功功率；所以Qiiiiiiiiii<<U2Biiiiiiiii

，得：Hii

U2B

Lii

U2B二、潮流计算时的修正方程 U2B

UUB

UUB 1

1 2

1 k 1kU

2U1B21

22U2U

U2Uk

B2k Uk

U1Bk1

UkU

2Bk2

2 kUkUU1

0B11

U1 0UU

B B

B22

B2k U2 0

B

B 0 U k k1 k2 kk k其中，对H：k=n-1，对L：k=m-1二、潮流计算时的修正方程

/U2

B21

B22

B2n1

U22

1/Un1 Bn11

Bn12

Bn1n1Un1△n1

/U1/U

B11B21

B12B22

2 △Qm1

/Um1

Bm-11

Bm-12

Bm-1m-1二、潮流计算时的修正方程

B Q/U

B△U△继续简化形成B’时略去那些主要影响无功功率和电压幅形成B’时，略去串联元件的电阻。二、潮流计算时的修正方程

P/

B'δ/UB''UB’和B”同。具体公式为：B'

1,B'

1Xij iiXij

ji

XijB''

X

,B''B

XijRXij 2 2 iiRXij ij

i0 2 2RXij ijRX三、算法特点组，显著减少了内存量和计算量大缩短每次迭代所需时间迭代矩阵对称，可上（下）内存量和计算量基于以上原因，该算法内存需要量为N_L法的60%，每次迭代所需时间为N_L法的1/5三、算法特点线性收敛，收敛次数多于N_L算速度任能大幅度提高。对R/X过大的病态条件以及线路特别重载的情况下，可能不收敛，一般只适用于及以上的电网。由于算法的精确程度取决于，P-Q的近似处理只影响过程，并不影响结果的精度。四、计算步骤五、例题由于例4-3所示系统的等值网络中除节点1为平衡节点外．其它节点均为PQ节点，系数矩阵B’，B’’不存在去除与有功功率和电压相位或无功功率和电压大小关系较小因素的可能性，这两个矩阵B’，B’’的虚数部分中除第一行和第一列外的各个元素所组成，即五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、例题五、潮流计算相关问题稀疏存储(1)链表结构的典型应用五、潮流计算相关问题数组实现JA——元素的列号LINK——下一个非零元素在VA中的位置，对每行最后一个非零元素，该值置为0。IA——每一行在VA中的起始位置。当新增加一个非零元素时，可把它排在最后，并根据该非零元素在该行中的位置的不同来修改其相邻元素的LINK值。例如，新增a13把a13排在第11个位置，把a12的LINK值由3改为11，a13本身的LINK值置为3。五、潮流计算相关问题节点编号优化（1）高斯消元的解释20节点网络图五、潮流计算相关问题五、潮流计算相关问题节点编号优化（2）静态节点编号优化这种方法也称静态节点优化编号方法。这种方法统计每一个节点的出线度，即该节点和其它节点相连结的对于出线度相同的节点，哪个排在前边是任意的。这种编号方法的出发点是认为在图上因子分解的过程中出线度小的节点消去时产生新边的可能性也小。五、潮流计算相关问题节点编号优化（3）半动态节点编号优化的子图上重复上述编号过程。这种编号方法可使注入元大大减少，而程序复杂性和但是，由于每步编号仍按最小出线度作为编号准则，而出线度最少不等于消去该节点时产生的新边最少，因此，也可以按产生新边最少作为准则来编号。五、潮流计算相关问题节点编号优化（4）动态节点编号优化五、潮流计算相关问题网络的连通性的判断图的遍历判断PQ分解法中的B'是否奇异平衡节点x

处于B岛的节点对应行相加，结果为一个0向量，奇异。五、潮流计算相关问题多平衡节点对于N个节点的电力系统，如果有S个平衡节P-θ修正方程数目为N-S阶，Q-V修正方程为N-S-r阶五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（1）对于非线性方程组，解的可能性有：有实际意义的解有解，但在实际中无意义无解，或无实数解问题很复杂，至今尚未很好解决五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（2）例如：如下两母线系统，节点2是平衡节点，电压为U+j0，节点1为PQ节点，节点注入功率为-P-jQ，线路阻抗r+jx（导纳g-jb），求节点1的电压(U1=e+jf)U+j02

r+jx1

P+jQ五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（3）则潮流方程为：Pg(UeQb(Ue

e2e2

f2f2)

bUfbUf， 其中，e，f分别为节点1电压的实部和虚部。

r/x

1/

，上式改造为：e Ue

U

U22 2

U2 P2 2 2

2 2

2 ge Ue

U

U2

U2 Q 2

2 2

2 b五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（3）这是两个圆的方程，两圆的圆心分别为：O :U,UP 2 2U22 U22 2 gU2PQ 2 2

RP UU22 2 bU2Q对于高压网，xr, , 1 RP

R所以一般大于RQ，OP离横轴的距离也比OQ远。五、潮流计算相关问题五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（4）对圆l和e轴的交点A1，有P=0，Q=0。此时线路上没有B1，对应于短路的情况。圆2对应正常负荷情况，此时P＞0，Q＞0，有两个交点分别是A2和B2。交点A2的电压在l点B2的电压在0附近。两个交点都是潮流方程的解。但对交点B2的低电压解，运行上是不能实现的。这种潮流较少可能收敛到低电压点B2上。五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（5）圆3对应重负荷情况。此时P，Q都很大，两个交点A3和B3靠得很近，因解点A3离平启动点A1太远，从平启动开始潮流计算不易收敛。有时还会收敛到和A3相距很近的另一交点B3点上。这种情况叫邻近多根，这时容易出问题的情况。当P，Q继续增大，B点和A点逐渐靠拢，P圆和Q切。再继续增加负荷，当RP+RQ<D时，两个圆相互分离，没有交点，潮流无解。因为节点1作为负荷节点(PQ节点)、规定P≥0，Q≥0，图阴影区内取值。五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（6）当节点1有足够大的无功支援时，可以作PV节点，这时潮流方程变为：e Ue

U

U22 2

U2 P 2

2 2

2 gU1e2U1

f2 2五、潮流计算相关问题五、潮流计算相关问题潮流解的存在性、多值性（7）分析如下：这两个方程对应的图形如图所示。第二个方程是以坐标O点为圆心以U1为半径的圆。功率圆的圆心仍是OP，半径随负荷不同而变化。有功功率圆1对应轻负荷，交点A1是潮流方程的解。另一个交点B1限，这里末画出。重负荷时，对应