复合函数零点问题

第12炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设y=fG),t=g(x),且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量％的函数，称y是％的复合函数，记为y=f[g(x)]2、复合函数函数值计算的步骤：求y=g[f(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知f(x)=2x,g(x)=x2-x，计算g[f(2)解：f(2)=22=4g[f(2)]=g(4)=123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知f(x)=2x，g(x)=x2-2x，若g[f(x)]=0，求x解：令t=f(x)，则g(t)=0n12-2t=0解得t=0,t=2当t=0nf(x)=0n2x=0，则xe0当t=2nf(x)=2n2x=2，则x=1综上所述：x=1由上例可得，要想求出g[f(x)]=0的根，则需要先将f(x)视为整体，先求出f(x)的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设f(x)的定义域为D，若存在xgD，使得f(x)=0，则称x=x为000f(x)的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g[f(x)]=0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g[f(x)]=0的根的个数6、求解复合函数y=g[f(x)]零点问题的技巧：

(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(^),gG)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(%)的方程g[f(x)]=0中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值f(x)被几个x所对应，从而确i定f(x)的取值范围，进而决定参数的范围i复合函数：、典型例题设定义域为R的函数f设定义域为R的函数f(x)=x-1|若关于x的方程1,x-1f2(x)+bf(x)+C=0由3个不同的解x1，x2,x3，思路：先作出f(x)的图像如图：观察可发现对于任意的y，满足y-f(x)的x的个数00分别为2个(y>0,y丰1)和3个(y-1),已知有3个解，从而可得f(x)=1必为000f2(x)+bf(x)+c-0的根，而另一根为1或者是负数。所以f(x)=1，可解得：it-t-1或t-2，则只需作出t(x)=x2-1的图像，然后统计与t-1与t-2的交点总数即可，共有5个答案：C”、।1一1.例3：已知函数f(x)-Ix+-I-1x--1，关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0xx(a,beR)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是

思路：所解方程f2(x)+af(x)+b=0可视为f(x)2+a\f(x)+b=0,故考虑作出f(x)的图像：ff(x)的图像：f(x)=<2x,0<x<1-2x,-1<x<0，"-2,x<-1x如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有f(x)=2,0<f(x)<2，所以-a=f(x)+f(x)e(2,4),1212f(x)的图像解得-4<f(x)的图像答案：-4<a<-2[2lx-11-1,0<x<2例4：已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=11/、，则关于x的方-f(x-2),x>212A.6B.7C.8D.9程6[f(x)]2-f(x)A.6B.7C.8D.9完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通34C.5完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通34C.5D.6得f(x)=\f(x)=-1，只需统计1223思路：已知方程6[f(x)]2-f(x)-1=0可解y=；,y=-1与y=f(x)的交点个数即可。由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)=1f(x得f(x)=\f(x)=-1，只需统计1223过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x,x，且f(x)=x，则关于x的方程12113(f(x)》+2af(x)+b=0的不同实根的个数是()

TOC\o"1-5"\h\z思路：f'G)=3x2+2ax+b由极值点可得：x,x为3x2+2ax+b=0①的两根，观察12到方程①与3(/(x))+2af(x)+b=Q结构完全相同，所以可得3(/(x))+24(x)+Z?=0的两根为/G)=x,/G)=x,其中/G)=x,若X<X,112211112可判断出X是极大值点，X是极小值点。且12fG)=x>x=于(x),所以y=/G)与/G)有两22111个交点，而/(X)与/G)有一个交点，共计3个；若2x>x,可判断出x是极小值点，x是极大值点。且1212f(x)=x<x=f(x),所以y=f(x)与f(x)有两个交点，而f(x)与f(x)有一个221112交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：已知函数f(x)=x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是()A.(-2,0)B,(-2,-1)C,(0,1)D,(0,2)思路：考虑通过图像变换作出f(x)的图像(如图)，因为[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2个f(x)，若要出七工/个根，则4(x)=1,f2(x)e(0,1)，所以-b=f(x)+f(x)e(1,2)，解得：b式一2,-1),-“12答案：B例7：已知函数f(x)二，若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0例7：已知函数f的实数根，则实数m的取值范围是(A.(2,e)A.(2,e)B.(1、C.I1』+力X一,x>0思路：/(x)=^eX,分析f(X)的图像以便于作图，X一,x>0思路：/(x)=^eX,分析f(X)的图像以便于作图，--,x<0、exx>0时，f,(x)=(1-x)e-X,从而f(X)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，f(1)=1,且当xf+8,yf0,所以Xe正半轴为水平渐近线；当X<0时，f'(x)=(x-1)e-X，所以则关于f(X)的f(x)在(-8,0)单调递减。由此作图从图像可得，若恰有4个不等实根方程f2(x)-mf(x)+m-1=0中，f1(x)£,f(X)e

2(1一,+8Ie从而将问题转化为根分布问题，设t=f(x)，则12-mt+m-1=0的两根(g(1—,+8Ieg(t)=12-mt+m-1，则有<'g(0)>0m-1>0n|111△，--m•一+m-1=0[e2e(…1、解得mg1,1+-Ie)答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8：已知函数例8：已知函数f(x)=ax+1,x<0

logx,x>0则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数判断正确的是()A.当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点B.当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点C.无论a为何值，均有2个零点D.无论a为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程f[f(x)]=-1的解的个数，先作出f(x)的图像，直线y=ax+1为过定点(0,1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当a>0时，图像如图所示，先拆外层可得f(x)=--<0,f(x)=1，而f(x)有两个对应的X，f(X)也1a2212答案：答案：6个有两个对应的了,共计4个；当a<0时，/G)的图像如图所示，先拆外层可得fG)=1,且f(1)=1只有一个满足的了，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确2答案：A且f(1)=1只有一个满足的了，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确2答案：A已知函数f(了)=x3-3x2+1,g(x)=+1,x>0-(x+3)2+1,x<0g[f(x)]-a=0(a为正实数)的实数根最多有个思路：先通过分析f(x),g(x)的性质以便于作图，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，从而f(x)在(t,0),(2,”)单增，在(0,2)单减，且f(0)=1,f(2)=-3，g(x)为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取f(x)能对应x较多的情况，由f(x)图像可得，当f(x)e(-3,1)时，每个f(%)可对应3个x。只需判断g[f(x)]=a中，f(x)能在(-3,1)取得的值的个数即可，观察g(x)图像可得，(5\当aG1,-V47时，可以有2个f(x)e(-3,1)，而能够找到6而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：答案：B例10：已知函数y=fG)和y=gG)在[-2,2]的图像如下，给出下列四个命题:(1)方程f[gG)]=0有且只有6个根(2)方程g[fG)]=0有且只有3个根(3)方程f[fG)]=0有且只有5个根(4)方程g[g(x)]=0有且只有4个根则正确命题的个数是()则正确命题的个数是()A.1A.1B,/