《高等数学》第04章不定积分习题详解

《高等数学》第04章不定积分习题详解《高等数学》第04章不定积分习题详解《高等数学》第04章不定积分习题详解第四章不定积分习题详解第四章不定积分习题4-1求以下不定积分：1135（1）解：(5xx)dx(x25x2)dx2x2x2Cx（2）解：(2x3x)2dx4x26x9xC2ln2ln62ln3（3）略.(4)解：(1cot2x)dx1dx(csc2x1)dxx21x21=arcsinxcotxxC(5)解：10x23xdx10x8xdx80xdx80xCln80(6)解：sin2xdx=1(1cosx)dx1x1sinxC2222(7)cos2xdxcos2xsin2xdx(cosxsinx)dxsinxcosxCcosxsinxcosxsinx(8)解：cos2xdxcos2xsin2xdx(1x1)dxcos2xsin2xcos2xsin2xsin2cos2xcotxtanxC(9)解：secx(secxtanx)dxsec2xdxsecxtanxdxtanxsecxCx,x1(10)解：设f(x)max{1,x},则f(x)1,1x1.x,x1f(x)在(,)上连续，则必存在原函数F(x)，F(x)lim(xC2)lim(1x2C1)x1x12

1x2C1,x12xC2,1x1又F(x)须各处连续，有1x2C3,x12，即1C21,C121第四章不定积分习题详解lim(1x2C3)lim(xC2)，即1C31C2,x12x12联立并令C1C,可得C21＋C,C31C.21x2C,x12故max{1,x}dxx1C,1x1.21x21C,x122.解：设所求曲线方程为yf(x)，其上任一点(x,y)处切线的斜率为dyx3，从而1x4dxyx3dxC4由y(0)0，得C0，因此所求曲线方程为1x4.4解：因为1sin2xsinxcosx，1cos2xcosxsinx221cos2x1sin2xsinxcosx42因此1sin2x、1cos2x、1cos2x都是sinxcosx的原函数.224习题4-2填空.1dx=d(11(1)x2+C)(2)dx=d(lnx+C)xx(3)exdx=d(ex+C)(4)sec2xdx=d(tanx+C)(5)sinxdx=d(cosx+C)(6)cosxdx=d(sinx+C)(7)1x2dx=d(arcsinx+C)(8)xdx=d(1x2+C)11x2(9)tanxsecxdx=d(secx+C)(10)1dx=d(arctanx+C)x212第四章不定积分习题详解(11)1dx=d(2arctanx+C)(12)xdx=d(x2+C)(x1)x2求以下不定积分：x1d(x2411(1)解：dx4)(x24)2d(x24)x24x2221(x24)2Cx24C(2)解：ln4xdxln4xd(lnx)ln5xCx5111ex1(3)解：xxx2dxed(x)eC(4)解：(e2x2e3x2)exdx(e2x2e3x2)d(ex)1e3x1e4x2exC32dxdx1d(3x)13x(5)解：2C49x23x33x3arcsin21(21)222)(2(6)解：1lnxdx1d(xlnx)1C(xlnx)2(xlnx)2xlnx(7)解：1dx1d(lnx)1d(lnlnx)ln|lnlnx|Cxlnxlnlnxlnlnxlnxlnlnx(8)1dx1d(ex)xC解：exex2x1arctanee（9）解：xdx11d(x2)112x2d(12x2)112x2C12x2212x24123x21233（10）解：xx23x2dx3x2xdx23x2dx11dx2312d(x23)1x23ln(3x2)C223x22（11）解：23x2dx3xdxdx94x294x294x21d2x31d(94x2)12x23894x23arcsin2x394x2C343第四章不定积分习题详解（12）解：11111dxdx3dxx2x2(x2)(x1)x2x11x23lnCx1（13）解：sin2)dt1cos2(t1dt1t)d2(t)(t(1))dtcos2(22411t)Ctsincos2(24（14）解：1dx131dx13darccosx(arccosx)x2(arccosx)(arccosx)31x2115）解：16）解：

12C(arccosx)2lncotxdxlncotx1lncotx2xdx1lncotxsin2x2sinxcosxdxcotxcsc2dcotx2cotx1lncotxdlncotx1(lncotx)2C24arctanxarctanxarctanxx(1x)dx2(1x)dx2(1(x)2)dx2arctanxdarctanx(arctanx)2C(17)解：cos4xdx(1cos2x)2dx12cos2xcos22xdx24(1cos2xcos22x)dxxsin2x1cos4xdx424423xsin2xsin4x44Csinxcosx12(18)解：dxd(sinxcosx)2(sinxcosx)3C3sinxcosx3sinxcosx(19)解：cos3xdxcos2xcosxdx1sin2xd(sinx)sinxsin3xC3(20)解：10arccosxdx1x2(21)解：arcsinxdx1x2(22)解：cosxdxsinx

arccosxarccosx1010d(arccosx)Carcsin2xarcsinxd(arcsinx)C21d(sinx)2sinxCsinx4第四章不定积分习题详解(23)解：sin3xcos5xdxsin2xcos5xdcosx(1cos2x)cos5xdcosx1cos8x1cos6xC86(24)解：tan3xsec5xdxtan2xsec4xdsecx(sec2x1)sec4xdsecx1secx7x1sec5xC75sin9xsinxdx1cos9x1cosx(25)解：cos5xsin4xdxC2182(26)解：tan3xsec4xdxtan3xsec2xdtanxtan3x(tan2x1)dtanx1tanx6x1tan5xC64(27)解：令6xt，则xt6，dx6t5dt，代入原式得1dxt3126t5dt6t2211dt6t6arctantCx(13x)(1t)t1=66x6arctan6xC(28)解：设xtant,dxsec2tdt，则1dx1sec2tdt1dt(x21)3(tan2t1)3sectsintCx1Cx21(29)解：1dx1d(1)x1)x21x2d(x(121x1)2x)(1xx21d((1)21)2(1)2121x2C(1)21xxxx（30）解:设x3sect,dx3secttantdt，则x29dx9sec2t93secttantdt3tan2tdt3(sec2t1)dt2x6sect2231)C3(129arccos32(tant23x)2x（31）解:设x2sint,dx2costdt，则x2dx4sin2t2costdt=4sin2tdt4x244sin2t5第四章不定积分习题详解2(1cos2t)dt=2t2sintcostC2arcsinx1x4x2C22（32）解:1dx11dx3x23x22x32x1311dx11d(x1)22(3x1)C3128322234arctan4(x(x12)9()3)33（33）解:1dx21dx21d(x1)2x2x32x2132(x1)2(23)24x22442ln(x1x21x3)C2422（34）解:1dx1dx1d(x1(x2)1xx21x)(5)2(x1)2222arcsin5(2x1)C5习题4-3求以下不定积分（1）解：xsin2xdx1cos2x)xcos2x1cos2xdxxd(222x1Ccos2xsin2x24（2）解：xexdxxdexxexexdxxexexC（3）解：x2lnxdxlnxd(x3)x3lnxx3d(lnx)x3lnxx2dx33333x3x3Clnx39（4）略.（5）解：x2cosxdxx2dsinxx2sinxsinxdx2x2sinx2xsinxdxx2sinx2xdcosxx2sinx2xcosx2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC（6）解：因为exsin2xdxsin2xdexexsin2xexd(sin2x)6第四章不定积分习题详解exsin2x2cos2xd(ex)exsin2x2excos2x2exd(cos2x)exsin2x2excos2x4exsin2xdx于是exsin2xdxexsin2x2excos2xC5（7）解：x2arctanxdxarctanxdx3x3arctanxx3darctanx333x3arctanx1x3dxx3arctanx1x3xxdx331x2331x2x3arctanx1x2ln(1x2)C33（8）解：xcos2xdxx1cos2xdx1(xxcos2x)dxx21xcos2xdx2242x21xdsin2xx21xsin2x1sin2xdx44444x211cos2xC4xsin2x84（9）解：1arcsinxdx2arcsinxdx2xarcsinx2xdarcsinxx2xarcsinx1dx2xarcsinx21xC1x（10）解：x2e3xdx1x2de3xx2e3x2xe3xdxx2e3x2xde3x33339x2e3x23x23xC3xee927（11）解：因为coslnxdxxcoslnxxdcoslnxxcoslnxsinlnxdxxcoslnxxsinlnxxdsinlnxxcoslnxxsinlnxcoslnxdx7第四章不定积分习题详解于是（12）解：

coslnxdxxcoslnxxsinlnxC2xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)f(x)C习题4-4求以下不定积分（1）解：x3dxx311dx(x2x1)dx1dxx1x1x1x3x2xlnx1C32（2）解：x5x3x4x8dx(x2x1)dxx2x8dxx3x(x2x1)dx(8x413)dxxx1x3x2x8lnx4lnx13lnx1C322x22x131dxx23x4dx（3）解：(x2)(x21)2dxx2x2dx(x21)211d(x21)13d(x21)4xlnx22x212x21dx2(x21)2(x21)2dlnx21ln(x21)2arctanx32x2arctanxC22(x21)x21（上式最后一个积分用积分表公式28）（4）解：6x211x4[421]dxx(x1)2dxxx1(x1)24lnx2lnx111C2lnx2(x1)x11Cx（5）解：x3xdxxdx1dx1x1dxx2x1(x1)(x21)2x12x211lnx11ln(x21)1arctanxC2428第四章不定积分习题详解（6）解：dx2dxutanxdu1dusin24u2(23x7cos2x331u)2312tanxC23arctan3（7）解：1dxt31x3t2dt3(t11)dt3t2tlnt1C31x1t1t2（8）解：1xdxt1x(t24t2dt(11t22)dtx1x1x1)(t21)t1t11lnt12arctantCt1习题4-5利用积分表计算以下不定积分：dx（1）54xx2解：因为dxd(x2)54xx21(x2)2在积分表中查得公式（73）dxln(xx2a2)Cx2a2现在a1，xx2，于是dxln(x54xx22)C54xx2（2）ln3xdx解：在积分表中查得公式（135）lnnxdxx(lnx)nnlnn1xdx现在n3，重复利用此公式三次，得ln3xdxxln3x3xln2x6xlnx6xC.（3）1dxx2)2(19第四章不定积分习题详解解：在积分表中查得公式（28）1dxx1dx(b2)22b(ax2b)2bax2bax于是现在a1，b1，于是12dxx1dxxarctanxC(1x2)2(x21)2x212(x21)（4）dxxx21解：在积分表中查得公式（51）1dx1arccosaCxx2aax于是现在a1，于是dxarccos1Cxx21x（5）x2x22xdx解：令tx1，因为x2x22xdxx2(x1)21dx(t22t1)t21dt由积分表中公式（56）、（55）、（54）x2x2a2dxx(2x2a2)x2a2a2lnxx2a2C88xx2a2dx1(x2a2)3C3x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22于是x2x22xdxx1[2(x1)2a2)(x1)2a285a2lnx1(x1)2a21[(x1)2a2]3C.83（6）dxx22x1解：在积分表中查得公式（16）、（15）10第四章不定积分习题详解dxaxbadxx2axbbx2bxaxbdx2axbCxaxbbarctanb于是现在a2，b1，于是dx2x1dx2x12arctan2x1Cx22x1xx2x1x（7）cos6xdx解：在积分表中查得公式（135）cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdxnn现在n6，重复利用此公式三次，得cos6xdx1cos5xsinx5?cos3xsinx15(1sin2xx)C.6242442（8）e2xxxsin3d解：在积分表中查得公式（128）eaxsinbxdxa212eax(asinbxbcosbx)C现在a2，b3，于是be2xsin3xdx1eax(2sin3x3cos3x)C13eax(2sin3x3cos3x)C.13本章复习题A一、填空.（1）已知F(x)是sinx的一个原函数，则d(F(x2))=2sinx2dx.xx（2）已知函数yf(x)的导数为y2x，且x1时y2，则此函数为yx21.（3）若是f(x)dxxlnxC，则f(x)=lnx1.（4）已知f(x)dxsinxxC，则exf(ex1)dx=sin(ex1)ex1C.11第四章不定积分习题详解（5）若是f(sinx)cosxdxsin2xC，则f(x)=2x.二、求以下不定积分.（1）解：1cos2xdx1cos2xdx11cos2xdx1cos2x12cos2x12cos2xxtanxC（2）解：dxexdxd(ex1)ln(ex1)C1ex1ex1ex3x（3）解：23x52xdx2(3xdx1x2(4)4x)5()dxln3ln442（4）解：(arcsinx)2dxxarcsin2x2arcsinxxdx1x2xarcsin2x2arcsinxd1x2xarcsin2x21x2arcsinx21x2darcsinx

(1sec2x)dx52xCln2xarcsin2x21x2arcsinx2xC（5）解：令tx1，则xt21，于是dx2tdt2dt(11)dtlnt1Cxx1(t21)tt21t1t1t1x32dx[xxx2dxx2dx（6）解：2)22)2]dx2)(1x1x(1x1x(1x1ln(1x2)1C22(1x2)（7）解：dx(arcsinx)2d(arcsinx)1C(arcsinx)21x2arcsinx（8）解：1xdx1dxx94x2dx94x294x212第四章不定积分习题详解1321124x2)d(x)d(931223894x2(x)31arcsin2x194x2C234（9）解：tan5xsec4xdxtan4xsec3xdsecx(sec2x1)2sec3xdsecx(sec7x2sec5xsec3x)dsecxsec8xsec6xsec4xC834（10）解：令xsint，tππ(,)，于是22t)dxcostdt1cost1dtd(dtt211x21cost1cost1ttcost2cos2ttt2sinsin11x2ttanCarcsinx22CC2ttarcsinx2cossinx22（11）解：x3ex2dx（12）解：lnlnxdxx

1x2dex212ex21x2212x21x22xedxxeeC2222lnlnxdlnxlnlnxC1,x0三、设f(x)x1,0x1，求f(x)dx.2x,x1解：f(x)在(,)上连续，则必存在原函数F(x)，使得xC1,x01x2F(x)xC2,0x1，2x1x2C3,又F(x)须各处连续，有lim(xC1)lim(1x2xC2)，即C1C2,x0x0213.第四章不定积分习题详解lim(x2C3)lim(1x2xC2)，即1C33C2x1x121＋C,2联立并令C1C,可得C2C31C.2xC,x01x2故f(x)dxxC,0x1.2x1x21C,2四、若Intannxdx,n2,3,,证明：In1tann1xIn2.n1证明：因为Intannxdxtann2xtan2xdxtann2x(sec2x1)dxtann2xsec2xdxtann2xdxtann2xdtanxtann2xdx1tann1xIn2n1故In1tann1xIn2.