必修一数学培优辅导教材第13讲：对数函数

33对数与对数函数考点：对数函数的基本性质例1:下面结论中，不正确的是若a>l,则y=ax与y=logx在定义域内均为增函数a函数y=3x与y=logx图象关于直线y=x对称3y=logx2与y=2logx表示同一函数TOC\o"1-5"\h\zaa若0<a<1,0<m<n<1，则一定有logm>logn>0aaa为()•例2:图中的曲线是y=logx的图象，已知a的值为込,4,—,1，则相应曲线C,C,C,C的a为()•31051234A.Q，4，13B.v'2，4，33510310C13C.—，■4D.4，、込，3510331515练1:当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logx的图象是().aTOC\o"1-5"\h\z练2:设a>1，函数f(x)=logx在区间［.a,,a］上的最大值与最小值之差为-，则a=().a2A.逅B.2C.2逅D.4练3:若loga<1，则a的取值范围是22A.2A.0<a<—C.-<a<12亠D.0<a<或a>133

例3:比较两个对数值的大小：ln7ln12；log0.7log0.8.0.5a5练1:若log9<log9<0,那么m,n满足的条件是（）.mnA.m>n>1B.n>m>1C.0<n<m<1D.0<m<n<1练2：已知logb<loga<logc，则（）222A.2b>2a>2c练3:下列各式错误的是（）.A.30.8>30.7C.log0.4A.2b>2a>2c练3:下列各式错误的是（）.A.30.8>30.7C.log0.4>log0.60..50..5练4:下列大小关系正确的是（D.2c>2a>2bB.0.75-0」<0.750.1D.lg1.6>lg1.4.）.A.0.43<30.4<log0.34C.log0.3<0.43<30.44

B.0.43<log0.3<30.44D.log0.3<30.4<0.434练5：a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是B.c>b>aC.a>b>cD.b>a>cA.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>cA.c>a>b练6:指数函数y=ax(a>0,a丰1)的图象与对数函数y=logx(a>0,a丰1)的图象有何关系？a例4:如果log2<log2<0，那么a,b的关系及范围.ab

练1:若log2<log2<0q（）abD.b>a>1A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.D.b>a>1练2：若log3<log3，求m和n的关系。mn例5：比较下列各数大小：1.log0.7与log0.30.31.log0.7与log0.30.30.42．log0.8,log0.7和0.63.43．log0.1和log0.10.30.2练1：比较下列各组数的大小：⑴log3.4，log8.5；22⑵log1.8，log2.7；0.30.3⑶log5.1,log5.9（a>0,且a丰1）；aa⑷0.32,log0.3,20・32练2:若a,b为不等于1的正数，且a<b，试比较logb、log-、log-.aabbb2练3：已知log—<1，求a的取值范围.a32222练4：jr练4：设0<a<1,x,y满足：logx+31oga-logy=3，如果y有最大值一，求此时a和x的值.axx4练5:已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q一p=29，求证：3<A<4练6：不等式Jlogx-1+-logx3+2>0的解集为22-2考点：对数型符合型复合函数的定义域值域例1：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数()A.y=alogax(a>0,a丰A.y=alogax(a>0,a丰1)B.y=xC.y=logax(a>0,a丰1)aD.例2:函数y=,'log(x-1)的定义域是(''2A.(1,+x)B.(—8,2)C.).(2,+8)D.(1,2]练1:函数y=ylogsx的定义域为.(用区间表示)求下列函数的定义域：(1)y=3logx(2)y=\：log4x一320.5练2：求下列函数的定义域：⑴y=logx2；(2)log(4一x)；aa⑶y-[log」x-1).练3：求下列函数的定义域：log3log3(3x-2)(2)y=log(3-x).x-1练4：求下列函数的定义域：(1)y练4：求下列函数的定义域：(1)y=logx2；(2)y=log(4-x)；aa3)y=log(9-x2)a练5：求下列函数的定义域：(1)y=logjl-(1)y=logjl-x)1logx2⑶y=log171-3x练6：求下列函数的定义域：练6：求下列函数的定义域：⑴f2=告*log3C*1)；(2)(2)y=<1-log2(4x—5).例3:函数y=log(x2-6x+例3:函数y=log(x2-6x+17)的值域是(2A.RB.[8,+8)C.).(-8,-3]D.[3,+8)练1:函数y=lg(20x-x2)的值域是A.y>0B.yWRC.y>0且yMlD.yW2练2:求下列函数的定义域、值域:1-y=2-x2-1-42．y=log(x2+2x+5)3．y=log(-x2+4x+5)14.y=i；log(—x2—x)a练3:已知函数f(x)=lg［mx2+2(m+1)x+9m+4］，(1)若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围;⑵若此函数的值域为R，求实数m的取值范围.练4:对于f(x)=log(x2-2ax+3)，2⑴函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；⑵结合"实数a取何值时，f(x)在［-1,+Q上有意义”与“实数a取何值时，函数的定义域为(—8,1)(3,+8)说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.U⑶结合⑴⑵两问，说明实数a的取何值时f(x)的值域为(-8，-1］.⑷实数a取何值时，f(x)在(-8,1］内是增函数.⑸是否存在实数a，使得f(x)的单调递增区间是(-8,1］，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2222例4:已知函数f（x）=logmX+8x+n的定义域为R,值域为［o,2］，求m,n的值.3X2+1练1:x+1练1:求函数f(x)=log+log(x-1)+log(p-x)的定义域和值域.2x-122考点:对数型符合型复合函数的单调性例1:下列函数中，在（0,2）上为增函数的是（）.A.y=log(x+1)+2B.y=logx2-12C.y=log-2xD.y=log0.2(4-x2)练1:证明函数y二log（x2+1）在（0,+8）上是减函数;+2练2:判断函数y二log+x2+1）在（-8,0）上是增减性.2222练3:讨论函数y=log033-2x)的单调性练4:求y=logC2-2x)的单调递减区间-0.3练5:求函数y=log(x2-4x)的单调递增区间.练6：求函数y=log(x2-3x-18)的单调区间，并用单调定义给予证明。2练7：求函数y=log(x2-2x-3)的单调区间，并用单调定义给予证明+1练8:已知f(x)=log(ax一1)(a>0,且a丰1),a⑴求f(x)的定义域；⑵讨论函数f(x)的单调性；zr练9:已知f(x)=log,(a>0,a丰1)，讨论f(x)的单调性.ax-b练10：已知y=log(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，求a的取值范围.a练11:已知f(x)=lg(ax-bx),a,b为常数当a,b>0且a丰b时，求f(x)的定义域；当a>1>b>0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明练12:设xe［2,8］，函数f(x)=-log(ax)-log(a2x)的最大值是1,最小值是一-，求a的值。2aa8练13：已知函数f(x)=log-_-的定义域为［a,卩］，值域为boga(卩—1),loga(a-1)］，且f(x)在［a,卩］上ax+2aa为减函数.求证a>2；求a的取值范围.练14:在函数y=logx(0<a<1,x>1)的图象上有A,B,C三点，它们的横坐标分别是t,t+2,t+4,a(1)若厶ABC的面积为S,求S=f(t)；判断S=f(t)的单调性;求S=f(t)的最大值.考点:对数函数的综合与应用例1:函数y=lg土的图象关于()•1－xA.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称练1：函数f(x)=ig(JX2；7-x)是函数.(填“奇"、“偶”或“非奇非偶”练2:函数y=logx在xg[2,+8)上恒有丨y卜1，求a的范围.a练3:已知a>0,aM1,0<x<1，比较Ilog(1+x)l和Ilog(1—x)l的大小.aaaa例2若关于旨=2至少有一个实数根’则求a的取值范围.练1:设a,b为正数，若lg(ax)lg(bx)+1=0有解，则求—的取值范围.b练2:如果log(a2+1)<log2a，求a的取值范围.2a+12a+吐22练3：已知A={xIlog(5x2-8x+3)>2}，B={xIx2-2x+1-k4>0}，要使A^B,求实数k的取值范围.x例3：已知logx+logy=2(a>0，a丰1)，求丄+丄的最小值.aaxy练1:已知2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值.练2:已知x2+4y2=4，求xy的最大值.练3：设x>1,y>1，且2logy-2logx+3=0，求T=x2-4y2的最小值。xy例4:已知函数f(x)=3+log2x,xe[1,4]，g(x)=f(x2)-[f(x)]2，求:(1)f(x)的值域；(2)g(x)的最大值及相应x的值.练1：当a为何值时，不等式log(tx2+ax+5+1)-log(x2+ax+6)+log3>0有且只有一解15a练2：设函数f(x)=1lgxI，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明:ab<1练3:设f(x)=min(3+logx,logx)，其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值+24练4：2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和•在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y=k[ln(m+x)-ln(/2m)]+4ln2(其中k丰0)•当燃料重量为(<7-1)m吨(e为自然对数的底数，e〜2.72)时，该火箭的最大速度为4(km/s).求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f(x)；已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？练5:我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度I用瓦/平方米(W/m2)表示•但在实际测量中，常用声音的强度水平L表示，它们满足以下公式：L=101g-(单位为分贝)，11I0L>0，其中I=1x10-12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端.回答以下问题：10树叶沙沙声的强度是1x10-12W/m2，耳语的强度是1x10-10W/m2，恬静的无限电广播的强度为1x10-8W/m2.试分别求出它们的强度水平.在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？例5:已知函数f(x)=1+log3，g(x)=2log2，xx(1)试比较函数值f(x)与g(x)的大小；⑵求方程If(x)-g(x)I+f(x)+g(x)=4的解集.练1：已知函数f(x)=log(ax—*x)(a>0,a丰1为常数)a求函数f(x)的定义域；若a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。练2：对于在区间U,n］上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的xgIm,n\,均有f(x)-g(x)|<1,给定区间・+2,a+求a的取值范围；3］。则称f(x)