地下工程监测与检测技术第九章测量误差分析及数据处理

地下工程程监测与与检测技技术第九章测测量量误差分分析及数数据处理理人民交通通出版社社测量误差差及分类类单随机变变量的数数据处理理多数据变变量的处处理内容提要要第一节测量误差差及分类类一.测量误差差的定义义测量值与被测测量的真真实量值值之间存存在着差差异，这这个差异异称为测测量误差差。误差差公理认认为，在在测量过过程中各各种各样样的测量量误差的的产生是是不可避避免的，，测量误误差自始始至终存存在于测测量过程程中，一一切测量量结果都都存在误误差。因因此，误误差的存存在具有有必然性性和普遍遍性。二.测量误差差的分类系统误差差是指在相相同条件件下，对对同一被被测量进进行多次次重复测测量时，，所出现现的数值值大小和和符号都都保持不不变的误误差，或或者在条条件改变变时，按按某一确确定规律律变化的的误差；；系统误误差的主主要特性性是规律律性。随机误差差是指在相相同的条条件下，，对同一一被测量量进行多多次重复复测量时时，所出出现的数数值大小小和符号号都以不不可预知知的方式式变化的的误差；；随机误误差的主主要特性性是随机机性。明显地偏离被被测量真真值的测测量值所所对应的的误差，，称为粗粗大误差差。1.系统误差差、随机误误差和粗粗大误差差2.基本误差差和附加加误差任何测量装置置都有一一个正常常的使用用环境要要求，这这就是测测量装置置的规定定使用条条件。根根据测量量装置实实际工作作的条件件，可将将测量所所产生的的误差分分为基本本误差和和附加误误差。测测量装置置在规定定使用条条件下工工作时所所产生的的误差，，称为基基本误差差。而在在实际工工作中，，由于外外界条件件变动，，使测量量装置不不在规定定使用条条件下工工作，这这将产生生额外的的误差，，这个额额外的误误差称为为附加误误差。3.静态误差差和动态态误差根据被测测量随时时间变化化的速度度，可将将误差分分为静态态误差和和动态误误差。在在测量过过程中，，被测量量稳定不不变，所所产生的的误差称称为静态态误差。。在测量量过程中中，被测测量随时时间发生生变化，，所产生生的误差差称为动动态误差差。在实实际的测测量过程程中，被被测量往往往是在在不断地地变化的的。当被被测量随随时间的的变化很很缓慢时时，这时时所产生生的误差差也可认认为是静静态误差差。三.测量的精度测量的精度，包含含准确度、精精密度和精确确度，它们都都是定性的概概念，不能用用数值作定量量表示。测量的准确度表征征了测量值和和被测量真值值的接近程度度。准确度越越高则表征测测量值越接近近真值。准确确度反映了测测量结果中系系统误差的大大小程度，准准确度越高，，则表示系统统误差越小。。测量的精密度表征征了多次重复复对同一被测测量进行测量量时，各个测测量值分布的的密集程度。。精密度越高高则表征各测测量值彼此越越接近，即越越密集。精密密度反映了测测量结果中随随机误差的大大小程度，精精密度越高，，则表示随机机误差越小。测量的精确度是准准确度和精密密度的综合，，精确度高则则表征了准确确度和精密度度都高。精确确度反映了系系统误差和随随机误差对测测量结果的综综合影响，精精确度高，则则反映了测量量结果中系统统误差和随机机误差都小。。对于具体的的测量，精密密度高的准确确度不一定高高；准确度高高的，精密度度也不一定高高；但是精确确度高的，精精密度和准确确度都高。第二节单单随机变量的的数据处理一.误差估计测量值与被测量的的真实量值之之间的差异称称为误差，对对误差的计算算称为误差估计。1.绝对误差绝对误差只能能用来判断对对同一测量的的测量精确度度，但不能表表征精确的程程度，它需要要用相对误差差来判别。测量值和真值值之间的差值值的绝对值。。2.算术平均误差差当n较大时，可用用下式估算为为各次测量误差差绝对值的算算术平均值叫叫算术平均误误差3.相对误差相对误差是一一个没有单位位的量，常用用百分数表示示。测量值得得到的相对误误差相等，则则其测量精确确度也相等。。绝对误差与与算术平均均值的百分分比叫相对对误差，又又叫百分误误差4.标准误差(试验标准差差)标准误差是是测量列中中各次误差差的方均根根，反映了了数据的分分散状况。。5.算术平均值值的标准差差算术平均值值的标准差差与标准误误差(实验标准差差)的关系二.可疑似数据据的舍弃在多次测量中中，有时会会遇到个别别测值和其其它多数测测值相差较较大的情况况，这些个个别数据就就是所谓的的可疑数据据。对可疑疑数据，可可利用正态态分布来决决定取舍。因为在多次测量量中，误差差在-3σ~+3σ之间时，其其出现概率率为99.7％，在此范范围之外的的误差出现现的概率只只有0.3％。常用±3σ法三.单随机变量量的数据处处理1.标准差法例1：同一岩体体的10个岩石试件件的抗压强强度分别为为15.3,14.4,16.2,15.3,15.6,14.8,16.9,18.2,14.7,14.9。①计算平均均值计算标准差差②剔除可疑疑值：第8个数据18.2疑为可疑数数据，故18.2应当剔除。。③再计算其其余9个值的算术术平均值和和标准误差差：在余下的9个数据中再再检查可疑疑数据，取取与平均值值偏差最大大的第7个数据16.9故16.9应当剔除。。④再计算其余余8个值的算术术平均值和和标准误差差：⑤在余下的的8个数据中再再检查可疑疑数据，取取与平均值值偏差最大大的第7个数据16.9故16.2这个数据是是合理的⑥处理结果用用算术平均均值和极限限误差表示示为根据误差的分布布特征，该该种岩石的的抗压强度度在13.46~16.94MPa的概率是99.7%，正常情况况下的测试试结果不会会超出该范范围。2.保证极限法法地基基础规规范中对重重要建筑物物的地基土土指标采用用保证极限限法。这种种方法是根根据数理统统计中的推推断理论提提出来的，，如。如前前述在区区间内数数据出现的的概率与所所取的k有关。例如如k＝2，相当于保保证率为95％，即在区区间内数据出现现的概率为为95％，第三节多多数据变变量的处理理一.数据拟合与与回归分析析1.数据拟合在测量数据据的处理中中，通常需需要根据实实际测量所所得数据，，求得反映映各变量之之间的最佳佳函数关系系表达式。。如果变量量间的函数数形式根据据理论分析析或以往的的经验已经经确定了，，而其中有有一些参数数是未知的的，则需要要通过测量量数据来确确定这些参参数；如果果变量间的的具体函数数形式还没没有确定，，则需要通通过测量数数据来确定定函数形式式和其中的的参数。根根据实测数数据，求得得反映各变变量之间的的最佳函数数关系表达达式称为数数据拟合，，所得函数数关系式为为拟合方程程式。2.回归分析应用最小二乘乘法进行数据据拟合的方法法称为回归分分析，求得的的函数关系式式称为回归方方程。回归分分析实质上就就是应用数理理统计的方法法，对测量数数据进行分析析和处理，从从而求出反映映变量间相互互关系的经验验公式，即回回归方程。将将最小二乘法法应用于等精精度测量的数数据拟合，其其基本原则是是各个实测的的数据点与拟拟合曲线的偏偏差（即残余余误差）的平平方和应为最最小值。二.一元线性回归一元线性回归的的数学模型回归方程的参参数估计正规方程组正规方程的求求解回归效果衡量量三.多元元线性回回归多元线性回归的数学模型正规方程及其其解回归效果衡量量指标四.一元元非线性性回归1.非线性回归在实际问题中中，有时变量量之间的内在在关系并不是是线性，而是是某种曲线关关系，需进行行非线性回归归。对于非线线性回归，一一般分两步进进行：首先确确定非线性回回归的数学模模型；其次求求解回归方程程中的未知参参数。最小二乘法直直接求解非线线性回归方程程是非常复杂杂的，通常采采用下面两种种方法：一是通过相应应的变量代换换，把曲线回回归转换成线线性回归，即即采用线性化化回归，继而而用前面给出出的线性回归归的方法求解解线性化回归归方程，最后后将线性化回回归方程还原原为非线性回回归方程。二是把回归方方程展开成回回归多项式，，直接用回归归多项式来描描述两个变量量之间的关系系，这样就把把求解曲线回回归的问题转转化为解多项项式回归的问问题。2.回归方程函数数类型的选择线性化回归的的关键是数学学模型的判定定，亦即回归归方程的函数数类型的选择择。较常用的的方法有下面面两种方法：：一是直接判断断法，即根据据专业知识，，从理论上推推导或者根据据以往的实践践经验来确定定两个变量之之间的函数类类型。二是观察法，