数值分析 解线性方程组的直接方法市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

Ch5解线性方程组直接方法求解高斯消元法：思绪首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*augmentedmatrix*/第i行mi1

第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n

1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk

?Nouniquesolutionexists.定理

若A全部次序主子式

/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/

均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：实际上，只要A

非奇异，即A1

存在，则可经过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§1GaussianElimination–TheMethod选主元消去法例：单精度解方程组/*准确解为和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个小主元/*Smallpivotelement*/

可能造成计算失败。

全主元消去法/*CompletePivoting*/每一步选绝对值最大元素为主元素，确保。Stepk:①选取②Ifik

k

then交换第k行与第ik

行;Ifjk

k

then交换第k列与第jk

列;③消元注：列交换改变了xi

次序，须统计交换次序，解完后再换回来。列主元消去法/*PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting*/省去换列步骤，每次仅选一列中最大元。例：注：列主元法没有全主元法稳定。例：注意：这两个方程组在数学上严格等价。标度化列主元消去法/*ScaledPartialPivoting*/对每一行计算。为省时间，si

只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列中最大aik

为主元。注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。§1GaussianElimination–PivotingStrategies§2三角分解法/*MatrixFactorization*/高斯消元法矩阵形式/*MatrixFormofG.E.*/：Step1:记L1=，则Stepn

1:其中

Lk=§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.记为L单位下三角阵/*unitarylower-triangularmatrix*/记

U=A

LU

分解/*LUfactorization*/Heyhasn’tGEgivenmeenoughheadache?WhydoIhavetoknowitsmatrixform??!WhenyouhavetosolvethesystemfordifferentwithafixedA.Couldyoubemorespecific,please?FactorizeAfirst,thenforeveryyouonlyhavetosolvetwosimpletriangularsystemsand.§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.定理

若A全部次序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/

均不为0，则A

LU

分解唯一（其中L

为单位下三角阵）。证实：由§1中定理可知，LU分解存在。下面证实唯一性。若不唯一，则可设A=L1U1=L2U2

，推出Upper-triangularLower-triangularWithdiagonalentries1注：L

为普通下三角阵而U

为单位上三角阵分解称为Crout分解。实际上只要考虑A*

LU

分解，即

，则即是A

Crout分解。§2MatrixFactorization–Doolittle道立特分解法/*DoolittleFactorization*/：

——

LU

分解紧凑格式/*compactform*/重复计算,很浪费哦……经过比较法直接导出L和

U计算公式。思绪§2MatrixFactorization–Choleski平方根法/*Choleski’sMethod*/：

——对称

/*symmetric*/

正定

/*positivedefinite*/

矩阵分解法定义一个矩阵A=(aij)nn

称为对称阵，假如aij=aji

。定义一个矩阵A

称为正定阵，假如对任意非零向量都成立。回顾：对称正定阵几个主要性质

A1

亦对称正定，且aii>0若不然，则存在非零解，即存在非零解。对任意,存在,使得,即。

其中第i

位

A

次序主子阵/*leadingprincipalsubmatrices*/Ak

亦对称正定对称性显然。对任意有

,其中。

A

特征值/*eigenvalue*/i

>0

设对应特征值非零特征向量为，则。

A

全部次序主子式

det(Ak

)>0因为§2MatrixFactorization–Choleski将对称

正定阵

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为

A对称即记D1/2=Whyisuii>0?Sincedet(Ak)>0则仍是下三角阵定理

设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵使得。若限定L对角元为正，则分解唯一。注：对于对称正定阵A，从可知对任意ki

有。即L

元素不会增大，误差可控，不需选主元。§2MatrixFactorization–CholeskiAlgorithm:Choleski’sMethodTofactorthesymmetricpositivedefinitennmatrixAintoLLT,whereL

islowertriangular.Input:thedimensionn;entriesaijfor1

i,j

nofA.Output:theentrieslijfor1

j

iand1

i

nofL.

Step1Set

;Step2Forj=2,…,n,

set;Step3Fori=2,…,n1,

dosteps4and5

Step4Set

;

Step5

Forj=i+1,…,n,

set

;Step6Set

;Step7Output(lijforj=1,…,iandi=1,…,n

);STOP.因为A对称，所以只需存半个A，即其中运算量为O(n3/6)，比普通LU分解少二分之一，但有n次开方。用A=LDLT

分解，可省开方时间(p.50-51)。HW:p.54#2,#5,#6§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem追赶法解三对角方程组

/*CroutReductionforTridiagonalLinearSystem*/Step1:对A作Crout分解直接比较等式两边元素，可得到计算公式（p.52）。Step2:追——即解：Step3:赶——即解：与G.E.类似，一旦i=0

则算法中止，故并非任何三对角阵都能够用此方法分解。§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem定理

若A

为对角占优

/*diagonallydominant*/三对角阵，且满足，则追赶法可解以A

为系数矩阵方程组。Hey,whatdoesdiagonallydominantmean???

ItmeansthatthediagonalentriesofthematrixareveryLARGE.Well,howlargeisLARGE?

Theysatisfythefo