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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B.(1,2), C. D.2.函数的图象大致为()A. B.C. D.3.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.4.设复数,则=()A.1 B. C. D.5.已知,是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是()A.若,,则或B.若,,,则C.若,,,则D.若,,则6.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()A. B. C. D.7.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2339.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()A. B. C. D.10.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.11.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.12.已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则()A.2 B.2 C.4 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.根据如图所示的伪代码,输出的值为______.14.在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.15.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.16.如图,的外接圆半径为,为边上一点,且,,则的面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).18.(12分)已知圆:和抛物线:,为坐标原点.(1)已知直线和圆相切,与抛物线交于两点,且满足,求直线的方程;(2)过抛物线上一点作两直线和圆相切,且分别交抛物线于两点,若直线的斜率为,求点的坐标.19.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上且不在轴上的一个动点,为坐标原点,过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点,求的值.20.(12分)已知数列满足:对任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比数列,求的通项公式;(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.21.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份56789101112研发费用(百万元)2361021131518产品销量(万台)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根据数据可知与之间存在线性相关关系,求出与的线性回归方程(系数精确到0.01);(Ⅱ)该公司制定了如下奖励制度:以(单位:万台)表示日销售,当时,不设奖;当时,每位员工每日奖励200元;当时,每位员工每日奖励300元;当时,每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售(万台)服从正态分布(其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一),请你估计每位员工该月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:,,,,参考公式:相关系数,其回归直线中的,若随机变量服从正态分布,则,.22.(10分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.(1)已知_______________,计算的面积;请①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(1)补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的解答计分.(2)求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.【详解】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故选:.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.2、A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.3、C【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.4、A【解析】
根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.5、D【解析】
根据线面平行和面面平行的性质,可判定A;由线面平行的判定定理,可判断B;C中可判断,所成的二面角为;D中有可能,即得解.【详解】选项A:若,,根据线面平行和面面平行的性质,有或,故A正确;选项B:若,,,由线面平行的判定定理,有,故B正确;选项C:若,,,故,所成的二面角为,则,故C正确;选项D,若,,有可能,故D不正确.故选:D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断,考查了学生逻辑推理,空间想象能力,属于中档题.6、C【解析】
如图所示,在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,计算长度,设球半径为,则,解得,得到答案.【详解】如图所示:在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,,故,,设球半径为,则,解得,故.故选:.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7、B【解析】
由题中垂直关系,可得渐近线的方程,结合,构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直.∴双曲线的渐近线方程为.,得.则离心率.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.8、C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9、C【解析】
利用证得数列为常数列,并由此求得的通项公式.【详解】由,得,可得().相减得,则(),又由,,得,所以,所以为常数列,所以,故.故选:C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.10、A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.11、D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】
根据列方程,由此求得的值,进而求得.【详解】由于,所以,即,解得.所以所以.故选:C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,考查向量模的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.【详解】S=1,i=1第一次循环:S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循环:S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循环:S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循环结束,输出:i=7.故答案为:7【点睛】本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题,属于基础题.14、【解析】
对求导,再根据点的坐标可得切线方程,令,可得点横坐标,由的面积为3,求解即得.【详解】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线,难度不大.15、【解析】
求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.16、【解析】
先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C,最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得,由正弦定理得,即,由图可知是钝角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面积为.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式,本题属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2);(3).【解析】
(1)利用导数的几何意义计算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.【详解】(1)因为,所以,当时,,所以切线方程为,即.(2),.因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以实数的取值范围是.(3).因为函数在区间上有两个极值点,所以方程在上有两不等实根,即.令,则,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,解得且.又由,所以,且当和时,单调递增,当时,单调递减,是极值点,此时令,则,所以在上单调递减,所以.因为恒成立,所以.若,取,则,所以.令,则,.当时,;当时,.所以,所以在上单调递增,所以,即存在使得,不合题意.满足条件的的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题.18、(1);(2)或.【解析】试题分析:直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与曲线相交于两点,且满足,只需数量积为0,要联立方程组设而不求,利用坐标关系及根与系数关系解题,这是解析几何常用解题方法,第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求,再利用两直线与圆相切,求出点的坐标.试题解析:(1)解:设,,,由和圆相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).当时,,故直线的方程为.(2)设,,,则.∴.设,由直线和圆相切,得,即.设,同理可得:.故是方程的两根,故.由得,故.同理,则,即.∴,解或.当时,;当时,.故或.19、(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)由题,得,,解方程组,即可得到本题答案;(Ⅱ)设直线,则直线,联立,得,联立,得,由此即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)由题可得,即,,将点代入方程得,即,解得,所以椭圆的方程为:;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,设直线,则直线,联立,整理得,所以,联立,整理得,设,则,所以,所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题,考查学生的运算求解能力.20、(1)3;(2);(3)见解析.【解析】
(1)依据下标的关系,有,,两式相加,即可求出;(2)依据等比数列的通项公式知,求出首项和公比即可。利用关系式,列出方程,可以解出首项和公比;(3)利用等差数列的定义,即可证出。【详解】(1)因为对任意,都有,所以,,两式相加,,解得;(2)设等比数列的首项为,公比为
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