土木工程制图讲义换面法篇

王雷第四章章换换面面法§4.1换面法法一、换换面法法的概概念★如何求求一般般位置置直线线的实实长？？★如何求求一般般位置置平面面的真真实大大小？？解决方方法：：更换投投影面面。物体本本身在在空间间的位位置不不动，，而用用某一一新投投影面面（辅辅助投投影面面）代代替原原有投投影面面，使使物体相相对新新的投投影面面处于于解题题所需需要的的有利利位置置，然后后将物物体向向新投投影面面进行行投射射。VHABababV1a1b

1二、新新投影影面的的选择择原则则1．有利利于解解题如：新新投影影面∥或几何元元素(应熟练练掌握握特殊殊位置置几何何元素素的特特性)2．新投投影面面须垂垂直某某一原原投影影面以构成成一个个相互互垂直直的两两投影影面的的新体体系VHABababV1a1b

1VHAaaaxX⒈更换一一次投投影面面

旧投影体系X—VH

新投影体系V1HX1—A点的两两个投投影：：a，aA点的两两个投投影：：a，a1'VHXV1HX1aaa'1axax1.三、点点的投投影变变换规规律新投影影体系系的建建立V1HX1V1a'1ax1VHAaaaxXVHXV1HX1aaa'1axax1.投影规规律①点的新新投影影和与与保留留投影影的连连线，，必垂垂直于新投投影轴轴。aa1X1②点的新新投影影到新新投影影轴的的距离离等于于被代代换投影到到旧投投影轴轴的距距离。。a1ax1=aaxV1HX1V1a'1ax1XVHaaaxVHXV1HX1aaX1H1Va1axax1ax1●a'1..作图步步骤更换V面①由点的的不变变投影影向新新投影影轴作作垂线线，②在垂线线上量量取一一段距距离，，使这这段距距离等等于被代替替的投投影到到原投投影轴轴的距距离。。更换H面⒉更换两两次投投影面面先把V→V1，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—V1再把H→H1，H1V1，得到新投影体系:X2—H1按次序序更换换AaVHaaxXX1V1a'1ax1H1X2ax2a1新投影体体系的建建立Oax2aaXVHa1X1HV1X2V1H1a'1axax1..作图方法法作图规律律a1a'1X2轴a1ax2=aax1VHABabab四、换面面法的四四个基本本作图问问题1.把一般位位置直线线变换成成投影面面平行线线用V1面代替V面，在V1/H投影体系系中，AB//V1。X1HV1V1a'1b'1空间分析析：

换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴轴的位置置？b'1●与ab平行。.a'1●X1a'1●b'1●VHaaXBbbA2.把一般位位置直线线变换成成投影面面垂直线线空间分析析：ababXVHX1HV1V1H1X2作图：X1V1a'1b'1X2H1二次换面面把投影影面平行行线变成成投影面面垂直线线。X2轴的位置置？a1b1.与a'1b'1垂直一次换面面把直线线变成投投影面平平行线；；a1b1一般位置置直线变变换成投投影面垂垂直线，，需经几几次变换换？3.把一般位位置平面面变换成成投影面面垂直面面空间分析析：在平面内内取一条投影影面平行行线，经一次次换面后后变换成成新投影影面的垂垂直线，，则该平平面变成成新投影影面的垂垂直面。。作图方法法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进进行一次次变换？？若变换H面，需在面面内取什什么位置置直线？？正平线！！如果把平平面内的的一条直直线变换换成新投投影面的垂直线线，那么么该平面面则变换换成新投投影面的垂直面面。VH

a

b

cabcABCXdD

d

V1X1c1b1

a1d1acbabcXVH例：把三角形ABC变换成投影面面垂直面面。HV1X1作图：：1.在平面内内取一条条水平线线AD。dd2.将AD变换成新新投影面面的垂直线。。c'1●a'1d'1●b'1●反映平面面对哪个个投影面面的夹角角？.αV1X1H1一次换面面,把一般位位置平面面变换成成投影面面垂直面面；二次换面面，把投投影面垂垂直面变变换成投投影面平平行面。。空间分析析：一次变换能否实现？为什么？作图方法法：经一次变变换把△ABC变换成辅辅助投影影面的垂垂直面后后，再选取一个个新投影影面，使使其既垂垂直于辅助平面，又又平行于于△ABC，这样，△ABC在新投影影面体系系中就成成为辅助助投影面面P2的平行面面了。4.把一般位位置平面面变换成成投影面面平行面面a'1b'1●X2V1H1abacbXVHc作图：：AB是水平线线a1●c1●b1●c'1●X2轴的位置？？平面的实实形.X1HV1.与其平行行例：把△ABC变换成投影面面平行面面。b'1X1V1H五、换面面法的应应用作图:c'1a'1例1：试过点点A作直线与已已知直线线BC垂直相交交。HccbabXVHccbabXVd'1dd空间及投投影分析析：当直线BC平行于某某投影面面时，由由直角投投影定理理可知,与BC垂直的直直线在该该投影面面上的投投影反映映其垂直直关系。。1.将直线BC转换成V1面的平行行线;2.求出点A在V1面的投影影a1′;3.过a1′作BC投影垂线线，AD即为所求求。讨论：有否其它变换方法？将点A及直线BC看成同一一平面，将平面面ABC换成新投投影面平平行面，，则在该该面上作作出点A到BC距离。例1：试过点点A作直线与已已知直线线BC垂直相交交。求点A到已知直线线BC距离。b'1X1V1Hc'1a'1HcbabXVHccbabXVd'1ddHccbabXVHccbabXV此方法可可解决同同一平面面内的定定位、度度量问题题，如平平行两直直线距离离、夹角角，作角角平分线线等。空间及投投影分析析只有AB与CD都平行于于投影面面即AB与C点构成的的平面平平行于投投影面时时，其投投影的夹夹角才反反映真实实大小（（60°）因此,需将AB与C点所确定定的平面面变换成成投影面面平行面面。例2:过C点作直线线CD与AB相交成60º角。abacbXVHc●●60°ABDCabdc例2:过C点作直线线CD与AB相交成60º角。

dX1HV1X2V1H1abacbXVHc作图：c1●●●c'1●a'1b'1●a1●b1●几个解？？两个解！！60°D点的投影影如何返返回？..1.将面ABC变换成V1面的垂面面;2.将面ABC变换成H1面的平行行面;d'●如何选择择X2轴？3.过c1作c1d1与a1b成60°角,得d1;4.将d1投影返回回。d●d1dd1d1●60°ABDCabdc空间及投投影分析析若平面P是投影面面垂直面面，则垂垂线KL就是该投投影面的的平行线线，距离离可直接接求出。。a'VXHk'kpbacdb'c'd'V1Kk1'PLl1'例3：求点K到平面P（΢ABCD）的距离。。例3：求点K到平面P（΢ABCD）的距离。。V1X1HVXHp'1k1'l1'll'k'k作图：a'bacdb'c'd'1.将P面换成V1面的垂直直面P1′;与X1轴平行2.作出K点在V1面上的投投影K1′;3.过K1′点向P1面作垂线线KL即为所求求距离。。4.作出垂线线KL的投影。。请注意L点的投影影如何返返回？pV1Kk1'PLl1'水平线cdbadacbVHXθ例4：求平面ABC和ABD的两面角角。由几何定定理知：：两面角角为两平平面同时时与第三三平面垂垂直相交交时所得得两交线线之间的的夹角。。空间及投投影分析析：在投影图图中,两平面的的交线垂垂直于投投影面时时，则两两平面垂垂直于该该投影面面，它们们的投影影积聚成成直线，，直线间间的夹角角为所求求。H1V1X2HV1X1cdbadacb●d'1●c'1●a'1●b'1θVHXθ作图：..1.将交线AB换成V1面的平行行线;2.将交线AB换成H1面的垂直直线;d1●3.角∠c1a1(b1)d1即为所求求。例4：求平面ABC和ABD的两面角角。●a1≡

b1c1●空间及投投影分析析交叉二直直线间的的距离即即是它们们之间公公垂线的的实长。。若两交交叉直线线之一变变换成新新投影面面垂直线线时，公公垂线必必为该投投影面的的平行线线，反映映实长，，且与另另一直线线投影垂垂直，据据此可确确定公垂垂线位置置。例5:求交叉二二直线AB、CD之间的距距离及公公垂线的的投影。。abacbXVHddcAMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1例5:求交叉二二直线AB、CD之间的距距离及公公垂线的的投影。。X1HV1abacbXVH作图：c'1n1c1d1a1db1m1X2H1

V1dca'1b'1d'1m'1n'1mnmn1.将直线CD经过两次次换面变变成H1面的垂直直线，得得n1;2.作另一直直线AB在H1面上的投影a1b1;3.过n1作a1b1垂线m1n1，即为公垂线实实长；4.逆变换返返回，求求出公垂垂线的投影；；讨论：如何求出出点到直直线的距距离，如何求出出两平行行直线间间距离？？AMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1baabcd例6：已知两交交叉直线线AB和CD的公垂线线的长度度为MN，且AB为水平线线，求CD及MN的投影。。MN●m●d●nVHXHV1X1m1n1⊥c1d1●n●m空间及投投影分析析当直线AB垂直于投投影面时时MN平行于投投影面，，这时它它的投影影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。作图：请注意各各点的投投影如何何返回？？求m点是难点点。.MN●cV1ACDNMc1d1a1m1b1n1B●●d1●c1●n1.●a1≡b1≡m1一、换换面法就就是改变投影影面的位位置，使它与与所给物物体或其几几何元素素处于解题所需需的特殊殊位置。二、换换面法的的关键是是要注意意新投影面面的选择择条件，即必须使使新投影面