高考总复习走向清北课件38数学两直线的位置关系

第三十八讲

两直线的位置关系回归课本1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有

l1∥l2⇔k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1

与l2的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在,分别设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.一般地:若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0,l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).特别地,原点(0,0)与任一点P(x,y)的距离2

12.三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式

|

PP

|

(x1

x2)2

(y1

y2)2.|OP|

x2

y2.|

Ax0

By0

C|A

BA

B(2)点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离2

2.d

.|C1

C2

|

2

2d

考点陪练(1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于

)A.2C.0B.1D.-1解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D当sinθ

≠0时,

=2sinθ

,∴sinθ

=2.已知两直线l1:x+ysinθ

-1=0,l2:2xsinθ

+y+1=0,若

l1∥l2,则θ

=________.解析:当sinθ

=0时,不合题意.∴θ

=kπ

±

,k∈Z.答案:kπ

±.

22

1

sin4

,k∈Z

43.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A.x+2y-5=0C.x+3y-7=0B.3x+y-4=0D.3x+y-5=0解析:所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,此时kOA=2,故所

1

1

2

即x+2y-5=0.

2答案:A4.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直

线l外一点,由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是()B.互相平行D.互相斜交A.互相重合C.互相垂直答案:B5.将直线l:x+2y-1=0向左平移3个单位,再向上平移2个单位后得到直线l′,则直线l与l′的距离为()答案:B75

5

551575A.B.C.D.类型一两条直线位置关系的判定和应用解题准备:判断两条直线平行或垂直时,往往从两条直线斜率

间的关系入手加以判断,当直线方程中含有字母系数时,要

考虑斜率不存在的特殊情况.判断两直线垂直时,若用

l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可不用分类讨论,但在两直线平行的判

断中,既要看斜率,又要看截距.【典例1】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.[分析]可以把直线化成斜截式,运用斜率或截距的数量关系

来判断求解,但由于直线的斜率可能不存在,就必须进行分

类讨论;也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解,这

样可以避免讨论.l1

2

l

：y

：y

x3,x(a1),a

12

1a[解]1解法一:当a

1时,l1：x

2y6

0,

l2：x

0,l1不平行于l2;当a

0时,l1：y

3,l2：x

y1

0,

不平行于当a

1且a

0时,两直线可化为

a

1

,

//l

3(a1),综上可知,当a

1时,l1//l2,否则l1与l2不平行.1

2

l

2

(

1)

1

2

0

2

0

a

a

a

a

2

(

1)

1

6

0

(

1)

6

a

a

a

a

2//l

a

1,解法二:由A1B2

A2B1

0,得aa

112

0,由A1C2

A2C1

0,得aa2

116

0,故当a

1时,l1//l2,否则l1与l2不平行.当a

1时,l1：y

x3,l2：y

1

a

.由

a2(a1)

0

a

.x(a1),2解法一:当a

1时,l1

:x

2y6

0,l2

:x

0,

l1与l2不垂直,故a

1不成立.

a

1

2

1a

a

1

2

2

1a

3解法二:由A1A2

B1B2

0,得

2

3[反思感悟](1)直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,“l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2”的前提条件是l1,l2的斜率都存在,若不能确定斜率的存在性,应对其进行分类讨论:当l1,l2中有一条存在斜率,而另一条不存在斜率时,l1与l2不平行;当l1,l2的斜率都不存在(l1与l2不重合)时,l1∥l2;当l1,l2均有斜率且k1=k2,b1≠b2时,有l1∥l2.为避免分类的讨论,可采用直线方程的一般式,利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行,如本例解法二.(2)当l1⊥l2时,可分斜率不存在与斜率存在,且k1·k2=-1解决问题,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分类讨论.A

B..Ax0

By0

C

2

2C1

C2

A2

B2类型二

距离问题

解题准备:1.点到直线的距离:已知点P0x0,y0,那么点P0到直线AxByC

0的距离d

2.两条平行线间的距离:一般地,两平行线AxByC1

0、AxByC2

0间的距离d

3.点到几种特殊直线的距离:(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|.(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|.(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|.(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.【典例2】两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),

并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时,两条直线的方程.[解](1)解法一:①当两条直线的斜率都不存在时,即两直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.k

1k

1∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ

=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤综合①②可知,所求的d的变化范围为,|3k

16k

2|

23|3k

1|

2d

3

10

且d≠9.(0,3

10].解法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|.而|

AB|

(63)2

(21)2

3

10.故所求的d的变化范围为(0,3

10].0,

,

而

2d(0,3

10].解法三:

l1//l2且l1与l2不重合,设l2与AB夹角为,则l1与AB夹角也为,则l1､l2的距离d

AB

sin,sin

0,1,又|

AB|

(63)2

(21)2

3

10,

,(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB.则∴所求的直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.kAB2(1)16(3)

3类型三交点及直线系问题解题准备:符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的

直线系方程有如下几种:(1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(这个直线

系方程中未包括直线x=x0).(2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为

Ax+By+C′=0(C≠C′).(3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C′=0.(4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直

线系方程为A1x+B1y+C1+λ

(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程

中不包括直线A2x+B2y+C2=0).【典例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.[分析]本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得.5

2

1

0

x

y

3

,

l

l

再由

的斜率

求出

的斜率为2

(

1),

5

3

1

0.

y

x

x

y

即,得

3x2y1

0[解]解法一:先解方程组

l1、l2的交点1,2,

35

5

3于是由直线的点斜式方程求出l

:

5

3解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1、l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程为5x+3y-1=0.35

522代

,

入直线系方程即得l的解法三:∵l过l1、l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ

(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得(3+5λ

)x+(2+2λ

)y+(-1+λ

)=0.其斜率

,解得λ

=

3

方程为5x+3y-1=0.15[反思感悟]对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程,是出错的原因之一.运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系

方程为A1x+B1y+C1+λ

(A2x+B2y+C2)=0(λ

∈R),但不包括l2.y

2b

y;类型四对称问题解题准备:(1)对称问题主要包括中心对称和轴对称.中心对称:①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足x

2ax,1,

0;

a

m

b

n

A

B

C

②直线关于直线的对称可

关于直线的对称问题来解

2

2②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.轴对称:①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点转化为点决.A′(m,n),则有

nb

A

ma

B

(2)在对称问题中,点关于点的对称是中心对称中最基本的,处理这类问题主要抓住:已知点与对称点连成线段的中点为对称中心;点关于直线对称是轴对称中最基本的,处理这类问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.【典例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.[分析]本题的思路较多,可以根据点斜式或两点式写出直线b的方程,也可以利用轨迹或对称观点求出直线b的方程.3x4y1

0,k

(2)

4

.解得k

2

.1

(2)

1k

211

3

3

4

3

3

11

4

4y(2)

2x

y4

0,[解]由解得a与l的交点E3,2,E点也在b上.解法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为2,直线

3

4则(x3),即2x11y16

0.代入点斜式得直线b的方程为

y0

0

4

x0

2

33

2

x0

4

0

y0

1

0,解得B

.y(2)

x3

(2)32x,

,

48

5

5

845

5解法二：在直线a：

y4

0上找一点A2,0,设点A关于直线l的对称点B的坐标为x0,y0.由

2

2由两点式得直线b的方程为

即2x

11y16

0.解得x0

,

y0

2

.7x24y6

2524x7y8

254

0,解法三:设直线b上的动点Px,y关于l:3x

4y1

0的对称点为Qx0,y0.

,则有

2

2

7x24y6

24x7y8

25

25Qx0,y0在直线a:2x

y4

0上,则化简得2x

11y16

0是所求直线b的方程.0

(4

2

)

4

y

x

0

3

x

x

0

0

|3

4(4

2

)

1|

|3

4

1|

.

x

x

x

y

,

5

5解法四:设直线b上的动点Px,y,直线a上的Qx0,42x0,且P、Q两点关于直线l:3x4y1

0对称,则有消去x0,得2x11y16

0或2x

y4

0(舍去).1(

)

垂直关系0(

)

a

x

b

y

A

B

C

重点在直线上

yb

A

xa

B

2

2[反思感悟]求点Ma,b关于直线Ax

ByC

0AB

0的对称点N的方法:设Nx,y,由求出x,y,即得点N的坐标.错源一

缺乏分类意识【典例1】求过直线4x-2y-1=0与直线x-2y+5=0的交点且与两点A(0,8),B(4,0)距离相等的直线l的方程.72

2

(x2),[错解]由已知可求得两直线4x

2y1

0与x

2y5

0的

7

2,

2因为直线l到A0,8,B4,0的距离相等,所以l//AB,而AB的斜率k

2.所以直线l的方程为y即4x2y15

0.[正解]由已知可求得两直线的交点为

(1)若点A,B

.

为

即4x+2y-15=0.(2)若点A,B在直线l的

2

(

2),

y

x

[剖析]错解缺乏分类讨论的意识,对直线的位置关系考虑不全,事实上当直线l经过AB的中点时也满足条件.在直线l的同侧,则l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直线l的方程两侧,则直线l经过线段AB的中点(2,4),可求出直线方程为x=2.综上可得,直线l的方程为4x+2y-15=0或x=2.2,

7

272错源二忽视隐含条件【典例2】如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,求m

的值.[错解]因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以

m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以当m=-1或m=-2时直线与y轴平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直线,其中隐含着A·B≠0这一条件.当m=-2时,直线方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2为0·x+0·y=0,它不表示直线,所以出现错误.[正解]因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得m=-1,所以当m=-1时直线与y轴平行.技法一数形结合【典例1】已知△ABC中,A点坐标为(1,3),AB、AC边上的中线

所在直线方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在

直线的方程.[解题切入点]画出草图帮助思考,欲求各边所在直线的方程,

只需求出三角形顶点B、C的坐标.B点应满足的两个条件是

:①B在直线y-1=0上;②BA的中点D在直线x-2y+1=0上.由①可设点B的坐标为(xB,1),进而再由②确定xB,依照同样的方法可以确定顶点C的坐标,故△ABC各边所在的直线方程可求.∴D的坐标为

.

1

B

x

[解]设AB、AC边上的中线分别为CD､BE,其中D､E为中点.∵B在中线y-1=0上,∴设B点的坐标为(xB,1).又∵D为AB的中点,A(1,3),,2

2

1

B

x

AC

E

.

的中点

的坐标为E

y

1

0

,

点在直线

上t

1,

1,

即3

t

22t,

221

0

xB

5,

t

3

2

注意到D点在中线CD：x

2y1

0上,即B点的坐标是5,1.同样地,点C在直线x

2y1

0上,设C点的坐标是2t

1,t,又点C的坐标是3,1,故可求得ABC三边所在直线的方程为AB：x

2y7

0；BC：x4y1

0；AC：x

y2

0.[方法与技巧]依据已知条件求平面图形中某些直线的方程,必须“数形结合”.通过数形结合,特别是借助平面图形分析出隐含条件,这样可以达到化难为易､化繁为简的目的,以形助数也是平面解析几何中常用的方法.技法二对称问题的解法(1)点关于直线对称【典例2】已知直线l:3x-y+3=0,求点P(4,5)关于直线l的对

称点.[解题切入点]利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而

求解.4

5

x

y

3

2,

x

解得5

1

7.

y

y

.

2

2

3

0,

x4

3[解]解法一:设点P4,5关于直线l的对称点为P(x,y),则PP

l且PP的中点在直线l上.故P2,7为所求的点.

Q

1,6

.

得交点

由x3y19

0,

3x

y3

0解法二:设点P4,5关于直线l的对称点为Px,y,则PP

l.故可设直线PP:x

3yC

0.又点P4,5在直线PP上,435C

0.解得C

19.而Q为PP的中点,P2,7.[方法与技巧]解法一的应用最为广泛,其关键是利用“垂直”､“平分”.点P(a,b)关于特殊直线的对称点列表如下:(2)直线关于点对称【典例3】求直线l1:2x-y+1=0关于点P(2,1)的对称直线l2的方程.[解题切入点]利用好中心对称的性质是解对称问题的关键.|2211|

|2

21C

|[解]解法一:因为l1与l2关于点(2,1)对称,所以l1∥l2.设l2:2x-y+C=0.由点P(2,1)到两直线的距离相等,有:解得C=-7或C=1(舍去).故所求的方程为2x-y-7=0..

5

5解法二:设直线l2上任意一点Q(x,y),则它关于P(2,1)的对称点为Q′(4-x,2-y).由Q′在直线2x-y+1=0上可得2(4-x)-(2-y)+1=0.化简可得:2x-y-7=0.[方法与技巧]解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等

来解;解法二是设动点,运用“代入法”求解,这也是求曲

线方程的一般方法.一般地,直线Ax+By+C=0关于点(a,b)对称的直线方程为A(2a-x)+B(2b-y)+C=0.(3)直线关于直线对称【典例4】求直线a:x-y-2=0关于直线l:x+2y+1=0对称的直线b的方程.[解题切入点]直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称.

.,

412

5

5

[解]解法一:在直线a上取一点P2,0,运用典例2的方法,可求得点P2,0关于l的对称点P

x

y2

0,由方程组

可解得直线a与l的交点Q1,1.

直线b过点P与Q,由两点式并化简可得直线b的方程为

7x

y8

0.

(3