高考总复习走向清北课件9数学指数与指数函数

第九讲指数与指数函数回归课本1.整数指数幂(1)整数指数幂概念:①an

(n∈N*);②a

1(a

0);③a

na

0,nN

.①a

a

a③

n

a0m

nm

nnam

a

1

*amnmnnm,nZ;=amnm,nZ;m,nZ,a

0;2整数指数幂的运算性质:②aa

a

(a

0,m,nN

,且n

1).*n1

m

*1

mm

naa

nn

a,a≥0,

a,a

0,2.分数指数幂一般地,如果xn

a,那么x叫做a的n次方根,其中n

1,且nN

.

*当n是奇数时,

n

an

a,当n是偶数时,3.有理指数幂的运算性质设a>0,b>0,则aras=ar+s(r,s∈Q);(ar)s=ars(r,s∈Q);(ab)r=arbr(r∈Q).4.指数函数的定义形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.xy=aa>10<a<1图象定义域(-∞,+∞)值域(0,+∞)5.指数函数的图象与性质性质过定点(0,1)当x>0时,y>1;当x>0时,0<y<1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数[ZB)]考点陪练ex

e

ex

ex1.若fx

,B.2gxD.2fx

gxA.2fxC.2

fxgx

x

,g(x)

2

2则f2x等于(

)e

e

(

)(

)

e

e

e

e

:f

2x

解析(

)(

)

e

e

e

e

2

242x

2x

x

x

x

xx

x

x

x

2

2fx

gx.答案:D2.设y1

4

,y2

8,y3

0.90.48)1.51

2A.y3

y1

y2B.y2

y1

y3C.y1

y2

y3D.y1

y3

y2,则(解析:y1

2

3

4

2

,y

8

2

,y

2

.1.51.50.9

1.8

0.48

1.44

1

2由于指数函数fx

2x在R上是增函数,且1.81.51.44,

所以y1

y3

y2,选D.

答案:D3.函数y

x)

2x2

1

1

2B.(1,)

1

,1

2

1

2x

0的值域为(x

:

x

0,

2

1.

x

y

解析

因为

所以

由于2

1

1.

x

y

2xy

12

11

y

2答案:C1

4.

f

x

,x

R,

f

x

(

设

那么

是)

|x|

2A.奇函数且在0,上是增函数B.偶函数且在0,上是增函数C.奇函数且在0,上是减函数D.偶函数且在0,上是减函数|x|

1x解析:fx

1

,

2x,22x≥0,x

0,其图象如图.由图象可知,fx是偶函数且在0,上单调递减.

答案:D5.(2010·山东青岛二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域为[1,e2],则

点(a,b)的轨迹是图中的(A.线段BC和OCC.线段AB和OA

)B.线段AB和BCD.线段OA和OC解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为

图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其

轨迹为图中线段BC,故选B.答案:B类型一指数幂的化简与求值解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将

根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数

为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化

繁为简.对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形

式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指

数幂的形式表示.①有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性

质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既

有分母又含有负指数.21

7

(

2

1)

;

2a

8a

b4b

2

ab

a

a.

b

312

120133

41

3

3223

3

3(1)(0.027)

121

2

36(3)a7

9【典例1】化简下列各式:

b

.5

1

54

4b

11

3

2

1000

9

105

3

3

11

2

2

3

2

131

a

b

a

b

4a

(a8b)4b

2a

b

aa

2ba

3

3

3

3

3

3

2

a

a

2b

a

2a

b

4b

4b3

2a

b3

a3aa

2ba

a

a

a

a.1313132113

3

323131112113311113

3

3

3131313a

2112

3

13原式

类型二指数函数的图象解题准备:指数函数图象的特点(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大

小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.

2

y

a

y

a

0

a

1)

(

指数函数

与

且x

1x

a

的图象关于y轴对称.

1【典例2】已知函数y

,

|x2|

21作出图象;2指出该函数的单调递增区间;3求值域.[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数

的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和

值域.1[解]1由函数解析式可得y

2一部分是y

y

x

y

,;x2x2

|x2|

21x2

x22

,1

21

向左平移2个单位

1

2

2

x≥2,x

2.其图象分成两部分:x≥2的图象,由下列变换可得到:

另一部分y

2x2x

2的图象.由下列变换可得到:

向左平移2个单位

x21

y

如图为函数

|x2|2的图象.

3

,x

2

,

y

由图象观察知

时

函数1|x2|

22由图象观察知函数在,2上是增函数.有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为0,1.1

1y

y

.

|x|

|x2|

向左平移2个单位

2

2

[反思感悟]1本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换(平移､伸缩､对称)作出,作法如下:

x

1

保留x0部分,将它沿y轴翻折得x0的部分

2

保留y轴右

轴对称图象保留x轴上方图象

将

轴下方图象翻折上去类型三指数函数的性质解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解;(2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中间变量的取值范围及转化的等价性.

2

3

1

3

4

y

x

x

【典例

】

求函数1

2的定义域､值域并求其单调区间;2求函数fx

4x

2x1

5的定义域､值域及单调区间.[分析]求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质,结合

函数自身有意义去求,对复合函数的单调区间通常利用复

合函数的单调性,“同则增,异则减”的原则.

则t

x

3x

4

x,此时x

,0≤

x

3x4≤

.,253

4

2,25

4

22

325

2

4

[解]1要使函数有意义,则只需x2

3x

4≥0,

即x2

3x

4≤0,解得4≤x≤1,函数的定义域为x

|4≤x≤1.令t

x2

3x

4,当4

x

1时,tmax

tmin

0,此时x

4或x

1,0≤t≤

2

5

2由t

x

3x

4

2x1

2

2

,1

2

8

2

3

25

2

4(4≤x≤1)可知,

33

2

2根据复合函数的单调性知:

1

3

2

2

3

2

(2)由函数解析式可知定义域为R,∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函数,∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.故由t=2x≥1得x≥0;由t=2x≤1得x≤0,∴f(x)的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0].[反思感悟]求y

x23x4

1

2的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性区间是其定义域的子集.涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.类型四指数函数的综合问题解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考

考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的

图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方

法.【典例4】已知fx

2ax

a

(a

0,且a

1).

1x

a

a

1判断fx的奇偶性;2讨论fx的单调性;3当x1,1时,fx

b恒成立.求b的取值范围.[分析]先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性

;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成

立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.又因为fx

2

1ax

ax

fx,[解]1函数定义域为R,关于原点对称.

a

a

所以fx为奇函数.(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.fxmin

f1

2

1a1

a

aa

3由2知fx在R上是增函数,在区间1,1上为增函数.

所以f1≤fx≤f1,

a

1a2

a

1

a要使fx

b在1,1上恒成立,

则只需b≤1,故b的取值范围是,1.[反思感悟]判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而

研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的

基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值

有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取

值范围.错源一忽视换元后新元的取值范围1

1[错解]y

1

x

x19

32,xx1x1

x9

3

1

3

3

x

2

2

333

2

4

4

3

4

[剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞).

[正解]函数y

1

2,xx113

x

x

1119

3

3

2

3

3

2

4

x

1

3

2

13

2

4所以函数的值域为1,.[评析]换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元的范围,因为它是换元后的新函数的定义域.错源二忽视对参数的分类讨论造成漏解

x

2

]

a

t,

y

t

2t

1

t

1

2.

x

1,1

,

错解

设

则

由于t

[

.

所以

t

a

y

,

a

1

2

14,

因此当

时

取最大值

有【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a的值.22,a1

a

解得a

3或a

5(舍去),即a

3.[剖析]本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a>1.当

指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行

讨论,确定单调性,进而解决问题.解得a=或a=

(舍).[正解]设t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);当0<a<1时,t∈[a,a-1],ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,故所求a的值为3或

.15技法一快速解题(构造函数)【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y>3-y+5-x,则下列式子成立)

的是(A.x+y>0C.x-y<0B.x+y<0D.x-y>0x

y

y

x

x

y

[

]

3

5

3

5

,

3

5

3

5

,

解析由

得x

3

.

y

3

x

y

x

f

x

3

.

x

设y

3

(

,

)

,

y

x

在

上是增函数

y

3

,

.

x

在