高考总复习走向清北课件3数学简单的逻辑联结词-全称量词与存在量词

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页1第三讲

简单的逻辑联结词､全称量词与存在量词共

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页2回归课本共

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页31.逻辑联结词命题中的或､且､非叫逻辑联结词.pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真共

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页42.命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断共

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页5注意:p与q全真时,p∧q为真,否则,p∧q为假.p与q全假时,p∨q为假,否则,p∨q为真.p与¬p必定是一真一假.共

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页63.全称量词､存在量词(1)全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,

并用符号∀表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称

命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作∀x∈M,p(x).共

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(2)存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量

词,并用符号∃表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特

称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作

∃x0∈M,p(x0).(3)两种命题的关系全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.注意:同一个全称命题､特称命题,由于自然语言的不同,可能

有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“∀x∈A,p(x)”特称命题“∃x∈A,p(x)”表述方法①对所有的x∈A,p(x)成立①存在x∈A,使p(x)成立②对一切x∈A,p(x)成立②至少有一个x∈A,使p(x)成立③对每一个x∈A,p(x)成立③对有些x∈A,使p(x)成立④任选一个x∈A,p(x)成立④对某个x∈A,使p(x)成立⑤凡x∈A,都有p(x)成立⑤有一个x∈A,使p(x)成立共

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页89考点陪练)1.(2010·威海模拟题)已知命题p:∀x∈R,cosx≤1,则(A.¬p:∃x0∈R,cosx0≥1B.¬p:∀x∈R,cosx≥1C.¬p:∃x0∈R,cosx0>1D.¬p:∀x∈R,cosx>1

共

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页10解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题

p:∀x∈R,cosx≤1的否命题是∃x0∈R,cosx0>1.答案:C112.(2010·广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,)

则“f(x)<g(x),x∈R”成立的充要条件是(A.

∃x0∈R,使得f(x0)<g(x0)B.不存在任何实数x,使得f(x)≥g(x)C.∀x∈R,都有f(x)+<g(x)D.存在无数多个实数x,使得f(x)<g(x)

共

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页共

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页12解析:f(x)<g(x),x∈R的含义即对任意的实数,都有f(x)<g(x)成

立.因此其等价含义即为不存在任何实数使得f(x)≥g(x).答案:B共

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页13)3.(2010·金华模拟题)下列特称命题中,假命题的个数是(①∃x0∈R,使2x20+x0+1=0;②存在两条相交直线垂直于同一个平面;③∃x0∈R,x20≤0.A.0C.2B.1D.3解析:命题①､②是假命题,命题③是真命题.答案:C共

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页144.(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x-1>0C.∃x∈R,lgx<0

B.∀x∈N*,(x-1)2>0D.∃x∈R,tanx=2解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B.答案:B共

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页155.(2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)

D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)共

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页16解析:由题知:x0为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因

此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选C.答案:C

b2a共

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页17类型一含有逻辑联结词的命题真假判定解题准备:解决该类问题基本步骤为:1.弄清构成它的命题p､q的真假;2.弄清它的结构形式;3.根据真值表判断构成新命题的真假.共

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页18【典例1】

已知命题p:∃x∈R,使tanx=1,命题q:x2-3x+2<0

的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题.其中正确的是(A.②③C.①③④

)

B.①②④D.①②③④共

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页19

[解]

先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的

命题进行真假判断.命题p:∃x∈R,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+2<0的解集是

{x|1<x<2}也正确;∴①命题“p∧q”是真命题;②命题

“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题

“¬p∨¬q”是假命题,故应选D.[答案]

D共

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页20[反思感悟]

正确理解逻辑联结词“或”､“且”､“非”的含义

是解题的关键,应根据组成各个复合命题的语句中所出现

的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:①确

定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根

据其真值表判断复合命题的真假.共

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页21类型二全称命题与特称命题真假的判断解题准备:1.要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元

素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得

p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题;2.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能

找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命

题.共

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页22注意:有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进行

改写来找到.共

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页23【典例2】

(特例法)试判断以下命题的真假:(1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)∃x∈Z,x3<1;(4)∃x∈Q

,x2=3.共

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页24

[解]

(1)由于∀x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N,x4≥1”

是假命题.(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.所以命题“∃x∈Z,x3<1”

是真命题.而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.3,(4)由于使x2=3成立的数只有共

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页25[反思感悟]

本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个

存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.共

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页26类型三全(特)称命题的否定解题准备:1.全称命题p:∀x∈M,p(x).它的否定

¬p:∃x0∈M,¬p(x0).2.存在性命题p:∃x0∈M,p(x0).它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).3.全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全

称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存

在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接

否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命

题,特称命题的否定是全称命题.共

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页27【典例3】

写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,

指出命题的否定属全称命题还是特称命题:(1)所有的有理数是实数;(2)有的三角形是直角三角形;(3)每个二次函数的图象都与y轴相交;(4)∀x∈R,x2-2x>0.共

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否定[解]

(1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题.(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命

题.(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命

题.(4)非p:∃x∈R,x2-2x≤0.为真命题,属特称命题.共

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页29[反思感悟]

只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因

否定不全面或否定词不准确而致错.从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否

定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题

的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.共

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页30类型四

与逻辑联结词､全称量词､存在量词有关的命题中参

数范围的确定解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,

由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的

真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取

二者的交集即可.共

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页312.此类题目经常与函数､不等式等知识相联系,要注意分类讨

论思想的应用.【典例4】

已知两个命题

r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对

∀x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x)为真,求实数m的取值范

围.[分析]

由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可

先求出对∀x∈R时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由

要求分情况讨论出所求m的范围.共

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页32又对xR,sx为真命题,即x2

mx

1

0恒成立,

[解]

sinx

cosx

2sinx

≥

2,

4当rx是真命题时,m

2.有

m2

4

0,2

m

2.当rx为真,sx为假时,

m

2,同时m≤2或m≥2,即m≤2,当rx为假,sx为真时,m≥

2且2

m

2,即

2≤m

2.综上,实数m的取值范围是m≤2或

2≤m

2.共

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页33[反思感悟]

解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个

命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命

题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假

情况,求出参数的取值范围.共

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页34错源一错误理解命题的否定【典例1】

已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若¬p为真

命题,求实数m的取值范围.共

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页35[错解]

∵命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,∴¬p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数,,52∴0<5-2m<1,∴2<m

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2共

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页36[剖析]

本题的错误在于由p得到¬p:函数f(x)是增函数.事实

上,命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调”

两种情形.为了避免出错,处理这类问题时,不宜直接得到命

题¬p,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围,再研究

¬p为真或为假时参数的取值范围.共

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页37

[正解]

由f(x)=-(5-2m)x是减函数,知5-2m>1,∴m<2,∴当¬p为真时,m≥2,∴实数m的取值范围是[2,+∞).38错源二对含有量词的命题的否定不当致误)【典例2】

命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x∈R,x3-x2+1≤0C.存在x∈R,x3-x2+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1<0

共

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页39[剖析]

本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量

词“任意”否定,又要对“≤”进行否定,全称量词“任意”

的否定为存在量词“存在”,“≤”的否定为“>”,可能的

错误是“顾此失彼”,忽略了细节.[正解]

题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成

立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x