高考总复习走向清北课件43数学立体几何初步

第九模块立体几何初步(必修2:第一章

空间几何体;第二章

点､直线､平面之间的位置关系)第四十三讲空间几何体的结构及其三视图和直观图回归课本1.多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两

个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体

叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2.旋转体(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个

不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、

侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正;高平齐;宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法.①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画

直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于

O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面

表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.考点陪练1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成

的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是

正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析:A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.B错误.如图所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形

但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.C错误.若

六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形.由几何

图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长

.D正确.答案:D2.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.棱台的上下底面是相似多边形D.有的棱台的侧棱长都相等解析:由棱柱、棱锥、棱台的定义、性质可知,选项B不正确.答案:B3.已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是()B.四棱柱

D.五棱柱A.六棱柱C.圆柱答案:A4.如图(下面左图),桌上放着一个圆锥和一个长方体,则其俯视图是()解析:俯视图依次是一个圆(含圆心)和一个矩形.答案:D5.(2009•南通模拟)如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为________.16

4

2

22

8,则

2

2.解析:由题意知,在

ABO中,边OB上的高AD

在直观图中AD

4.AC

ADsin45

4答案:2

2类型一基本概念和性质解题准备:(1)由棱柱的特征性质可得:棱柱有两个面互相平

行,其余各面都是平行四边形,但反之不一定成立.如图所

示几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形,但不满

足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”,故它不是棱柱,

所以要加深理解棱柱的概念.(2)棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图

形,棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱

锥所得到的图形,要注意的是棱台的各条侧棱延长后交于

一点,即棱台可以还原成棱锥.如图所示的几何体就不是棱

台.(3)一个多面体至少有四个面,三棱锥只有四个面,所以三棱锥也叫四面体.(4)圆台可以认为是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面与底面之间的部分.(5)球与球面是两个不同的概念,用一个平面去截球面,截痕是一个圆,用一个平面去截球,截面为一个圆面.(6)简单组合体的结构有两种基本形式:一种是由简单几何体

拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【典例1】下列命题中,不正确的是()A.棱长都相等的长方体是正方体B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体[分析][解析]根据定义进行判断.由正方体、平行六面体的定义知A、D正确;对于B,相邻两侧面垂直于底面,侧棱垂直于底面,该棱柱为直棱柱,因而B正确;对于C,若两侧面平行且垂直于底面,则不一定是直棱柱.[答案]C[反思感悟]本例中常犯的错误是认为选项C正确,没有注意

到C中的两个侧面没有“相邻的两个侧面”这个条件,如果

没有“相邻”这个条件就无法判断侧棱垂直于底面.类似这种题目一定要仔细审题,掌握好各简单几何体的概念

与性质,根据定义与性质来进行判断.类型二有关柱､锥､台体的计算解题准备:①正确地作出轴截面是解决这类问题的关键,通过

作轴截面找到已知与未知间的关系进而使问题得以解决,

是立体几何中常见的将空间问题向平面几何问题转化的解

题方法;②有关棱台的计算.如图四棱台,上下底均为正方形,O1,O分别为正方形的中心

,O1O垂直上下底面,E1,E分别为对应边中点,在解决有关这类棱台的问题时,可考虑利用几个常见的直角梯形(如图中,直角梯形O1OBB1,直角梯形O1OEE1,直角梯形B1BEE1等);③有关棱锥的计算.如图所示四棱锥,底面ABCD为正方形,PO⊥平面ABCD,O为正方

形ABCD的中心,H为对应边的中点,在解决有关这类棱锥的

问题时,可考虑利用几个常见的直角三角形(如图中

,Rt△POC,Rt△POH,Rt△PHC等).【典例2】如图,正四棱台的高是17

cm,两底面边长分别是4

cm和16

cm,求棱台的侧棱长和斜高.[分析]求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.A1B1

4

cm,AB

16

cm,[解]如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O1、O,B1C1

和BC的中点分别是E1和E,连接O1O、E1E、O1B1、OB、

O1E1、OE,则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.O1E1

2

cm,OE

8

cm,O1B1

2

2cm,OB

8

2cm,B1B

O1O2

(OBO1B1)2

19cm,

E1E

O1O2

(OE

O1E1)2

5

13cm.棱台的侧棱长为19

cm,斜高为5

13cm.[反思感悟]

(1)把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题常用方法.(2)找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.类型三截面问题解题准备:圆柱､圆锥､圆台的有关元素都集中在轴截面上,解

题时要注意用好轴截面中各元素的关系.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题

时,要注意“还台为锥”的解题策略.【典例3】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面

上,若过该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形(正

四面体的截面)的面积.[分析]截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对棱的中点.[解]如图所示,△ABE为题中三角形,BE

AF

AB

BF

4

32,2233

3,2

2

48

3

31218

32

3BE

AFBF

2.ABE的面积为S

[反思感悟]

(1)在解答过程中易出现计算错误,导致错误的原因是认为截面图是一个圆内接三角形.(2)解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发

挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机

结合,找出几何中的数量关系,为了增加图形的直观性,解题

时常常画一个截面圆起衬托作用.类型四几何体的三视图解题准备:①三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物

体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影

围成的平面图形,反映了一个几何体各个侧面的特点.正视

图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯

视图要和正视图对正,画在正视图的正下方;侧视图要画在

正视图的正右方,高度要与正视图平齐;②画几何体的三视图时,能看的轮廓线画成实线,看不到的轮

廓线画成虚线.【典例4】如图所示,甲､乙､丙是三个几何体的三视图,则甲､乙､丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A.④③②C.①②③[解析]

B.①③②

D.④②③甲图中,正视图和侧视图都是矩形,俯视图是一个圆,因此该几何体是一个圆柱;乙图中,正视图和侧视图都是三角形,俯视图是一个三角形以及内部的三条线段,因此该几何体是一个三棱锥;丙图中,正视图和侧视图都是三角形,俯视图是一个圆以及内部的一个点,因此该几何体是一个圆锥.故甲､乙､丙对应的标号应为④③②,选A.[答案]A[反思感悟]

高考对三视图的考查重点是常见简单几何体及其

组合体的三视图的理解及画法,例如:正方体､长方体､圆柱､

圆锥､棱柱､棱锥､球等的三视图分别是什么图形,数量关系

有什么特点等都应该熟练掌握.类型五几何体的直观图解题准备:一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形

相比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变、三不

变”.三变:坐标轴的夹角改变,与y轴平行线段的长度改变

(减半),图形改变.三不变:平行性不变,与x轴平行的线段

长度不变,相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形

的直观图.其面积与原图形的面积有以下关系:

24S直观图

S原图形,S原图形

2

2S直观图.6

26

2

A.C.

3

2

a4

a8

B.D.

3

2

a

8

a16【典例5】已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平

面直观图ABC的面积为（

）由②可知,AB

AB

a,OC

OC

OC

AB

CD

aa

a

.故选D.1

32

4

2

62

811

6

6

22

2

8

16a,a.[解]如下图①②所示的实际图形和直观图.在图②中作CD

AB于D,则CD

SABC

[答案]

D[反思感悟]

求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相

应的直观图的底边和高,也就是在原来实际图形中的高线,

在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半

的线段,以此为依据来求出相应的高线即可.将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其

作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长

度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.错源一对平行投影理解不到位,三视图画错【典例1】已知四棱锥P—ABCD水平放置如图,且底面ABCD是边长为2

cm的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB.试画出该几何体的三视图.[错解][剖析]本题错在忽略了三视图的形成过程.虽然,三个图的形状画对了,但是侧视图的直角顶点画错.[正解]该几何体的三视图如下:错源二有关柱､锥､台､球的概念判断【典例2】下列叙述正确的是()①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台.③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是

棱台.④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥.⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转

轴,其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台.⑥用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分是圆台.⑦通过圆锥侧面上一点,有无数条母线.⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成球体.A.①②③④⑤⑥⑧C.①②⑤⑧B.①③④⑦⑧

D.⑤[错解]由棱柱的定义“有两个面互相平行,其余各面都是

四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这

些面围成的多面体叫棱柱.”可知①正确.因为对于棱台,一定满足两个面互相平行,其余各个面都是梯

形,所以②③正确.因为圆锥､圆台和球分别是由直角三角形､直角梯形和半圆绕

一条边､一条腰和半圆的直径旋转得到的旋转体,所以④⑤

⑧正确.因为圆台是由圆锥截得的,所以⑥正确.因为通过圆锥侧面上

一点和圆锥的顶点只能连在一条射线,所以“通过圆锥侧

面上一点,有无数条母线.”是错误的,即⑦是不正确的.故

选A.[剖析]遇到概念判断问题,一定要在理解透彻相关概念的基础上,仔细分析,如果判断它是正确的,必须能紧扣定义,而不是模棱两可地去作判断;如果判断它是错误的,只需找到一个反例即可.错解在作判断的时候没有严格的根据定义去分多角度分析,而是抓住定义中的某一点就作出判断,导致错误.[正解]如图,由图(1)可知①是错误的;由图(2)可知②③是

错误的;由图(3)可知④是错误的;由图(4)可知是⑥是错误

的.因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线,所

以“通过圆锥侧面上一点,有无数条母线.”是错误的,即

⑦是不正确的.以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的应

该是球面,半圆面旋转一周形成的才是球体,所以⑧是错误

的.所以只有⑤是正确的.故选D.[答案]D技法一【典例1】

化曲为直(展开图与最小值)圆台上底面半径为5

cm,下底面半径为10

cm,母线AB长为20

cm,从AB中点M拉一根绳子绕圆台侧面转到B′,求绳子最短的长度,并求绳子上各点与上底圆周距离的最小值.[解]如图所示,设圆台的上､下底面半径分别为r,R,沿母线AB将侧面展开,连接MB′,则MB′即为绳子的最短长度,(OBOA)

BA

,,,

OB

180

OA

180

180

1802(Rr)

BA180

90.弧长BB为:BB

2R

弧长AA为:AA

2r

则2R

r

所以圆心角

OM

OBMB2,BM

OM

2

OB2

302

402

50cm.因为r：R

1：所以OA