2021年湖南省中考数学一轮复习课件：一元二次方程及其应用

第7课时一元二次方程及其应用第7课时1课标要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.经历估计方程解的过程.3.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.5.(选学)了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.课标要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻2一、一元二次方程及相关概念知▶识▶梳▶理一元二次方程相关概念定义如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程一般形式一、一元二次方程及相关概念知▶识▶梳▶理一元二次3一元二次方程的解法直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①

(其中ac<0);

(2)a(x+n)2=b⇒x=②

(其中ab>0).

【温馨提示】开方后取正负两个值配方法【温馨提示】配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数公式法ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③

(b2-4ac≥0).

【温馨提示】应用公式法的前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0（续表）一元直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中a4一元二次方程的解法因式分解法x2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值.【温馨提示】当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解根与判别式的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④

的实数根;

(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤

的实数根;

(3)b2-4ac<0⇔方程⑥

实数根

根与系数的关系*若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦

,x1x2=⑧

（续表）两个不相等两个相等没有一元二次方因式分解法x2+bx+c=0(a≠0)5二、一元二次方程的实际应用应用类型等量关系变化率问题设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b销售利润问题(1)利润=售价-成本;(2)利润率=利润÷成本×100%二、一元二次方程的实际应用应用类型等量关系变化率问题设a为原6面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨

S阴影=⑩

S阴影=

⑪

循环问题（续表）(a-2x)(b-2x)

(a-x)(b-x)面积问题S阴影=⑨

S阴影=⑩7对▶点▶演▶练题组一必会题1.[九上P35“议一议”改编]方程-2x2+4x-8=0写成(x+n)2=d的形式,正确的是(

)A.(x-1)2=-3 B.(x+2)2=-3 C.(x-2)2=12 D.(x+1)2=32.[九上P45习题2.3第1题]一元二次方程3x2-2x-1=0的根的情况为 (

)A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根

D.没有实数根AB对▶点▶演▶练题组一必会题1.[九上P35“议83.[九上P28习题2.1第2(1)题]某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价率为x,则平均降价率x应满足的方程为 (

)A.55(1+x)2=35 B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35 D.35(1-x)2=554.[九上P31练习第1(3)题改编]方程(x+3)2-36=0的解为

.

Cx1=3,x2=-93.[九上P28习题2.1第2(1)题]某商品经过两次连续降95.[九上P48习题2.4A组第1题](1)设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2=

;

(2)设方程x2+5x+6=0的两个根为x1与x2,则x1+x2=

.

-1-55.[九上P48习题2.4A组第1题]-1-510题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是

.

x=1或x=2题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以117.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是

.

[答案]7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有12考向一一元二次方程的有关概念例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:考向一一元二次方程的有关概念例1用指定方法解方程x2-1213例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.14例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.15【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用16■考向精练A2.[2020·扬州]方程(x+1)2=9的根是

.

x1=2,x2=-4■考向精练A2.[2020·扬州]方程(x+1)2=9的根173.[2020·南京]解方程:x2-2x-3=0.解:移项,得x2-2x=3,配方,得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.两边同时开方,得x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.3.[2020·南京]解方程:x2-2x-3=0.解:移项,18考向二一元二次方程根的判别式角度1

不解方程判断方程的根的情况考向二一元二次方程根的判别式角度1不解方程判断方程的根的19[答案]D[答案]D20角度2

已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围例3[2020·黔西南州]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 (

)A.m<2 B.m≤2C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1角度2已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围例3[21[答案]D[答案]D22■考向精练4.[2020·安徽]下列方程中,有两个相等实数根的是 (

)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0A■考向精练4.[2020·安徽]下列方程中,有两个相等实数23[答案]C5.[2020·南京]关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是(

)A.两个正根B.两个负根C.一个正根,一个负根D.无实数根[答案]C5.[2020·南京]关于x的方程(x-1)246.[2019·邵阳]若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是

.

[答案]0

[解析]∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=4+4m>0,解得m>-1,故答案为0.6.[2019·邵阳]若关于x的一元二次方程x2-2x-m=257.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.7.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=026考向三一元二次方程的应用角度1

增长率问题考向三一元二次方程的应用角度1增长率问题27解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.428(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).29角度2

利润问题例5[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?角度2利润问题例5[2019·东营]为加快新旧动能转换,提30解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180<200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:31角度3

面积问题例6[2020·西藏]某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图7-1所示,茶园一面靠墙,墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.图7-1角度3面积问题例6[2020·西藏]某驻村工作队,为带动群32解:设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为(69+1-2x)m,根据题意,得x(69+1-2x)=600,整理,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;当x=20时,70-2x=30,符合题意.答:这个茶园的长和宽分别为30m,20m.解:设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为(69+33■考向精练8.[2020·通辽]有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了

个人.

12■考向精练8.[2020·通辽]有一个人患了新冠肺炎,经过349.[2019·襄阳]改善小区环境,争创文明家园.如图7-2所示,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?图7-2解:设小路的宽应为xm,由题意可得方程为:(16-2x)(9-x)=112,解得:x1=1,x2=16,x2=16>9,不合题意,舍去,∴x=1.答:小路的宽应为1m.9.[2019·襄阳]改善小区环境,争创文明家园.如图7-23510.[2020·上海]去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8、9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等,求该商店去年8、9月份营业额的月增长率.解:(1)450+450×12%=504(万元).答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x,依题意,得:350(1+x)2=504,解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.10.[2020·上海]去年某商店“十一黄金周”进行促销活动3611.[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天的销售数量为

件;

(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.2611.[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出237第7课时一元二次方程及其应用第7课时38课标要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.经历估计方程解的过程.3.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.5.(选学)了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.课标要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻39一、一元二次方程及相关概念知▶识▶梳▶理一元二次方程相关概念定义如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程一般形式一、一元二次方程及相关概念知▶识▶梳▶理一元二次40一元二次方程的解法直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①

(其中ac<0);

(2)a(x+n)2=b⇒x=②

(其中ab>0).

【温馨提示】开方后取正负两个值配方法【温馨提示】配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数公式法ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③

(b2-4ac≥0).

【温馨提示】应用公式法的前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0（续表）一元直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中a41一元二次方程的解法因式分解法x2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值.【温馨提示】当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解根与判别式的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④

的实数根;

(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤

的实数根;

(3)b2-4ac<0⇔方程⑥

实数根

根与系数的关系*若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦

,x1x2=⑧

（续表）两个不相等两个相等没有一元二次方因式分解法x2+bx+c=0(a≠0)42二、一元二次方程的实际应用应用类型等量关系变化率问题设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b销售利润问题(1)利润=售价-成本;(2)利润率=利润÷成本×100%二、一元二次方程的实际应用应用类型等量关系变化率问题设a为原43面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨

S阴影=⑩

S阴影=

⑪

循环问题（续表）(a-2x)(b-2x)

(a-x)(b-x)面积问题S阴影=⑨

S阴影=⑩44对▶点▶演▶练题组一必会题1.[九上P35“议一议”改编]方程-2x2+4x-8=0写成(x+n)2=d的形式,正确的是(

)A.(x-1)2=-3 B.(x+2)2=-3 C.(x-2)2=12 D.(x+1)2=32.[九上P45习题2.3第1题]一元二次方程3x2-2x-1=0的根的情况为 (

)A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根

D.没有实数根AB对▶点▶演▶练题组一必会题1.[九上P35“议453.[九上P28习题2.1第2(1)题]某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价率为x,则平均降价率x应满足的方程为 (

)A.55(1+x)2=35 B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35 D.35(1-x)2=554.[九上P31练习第1(3)题改编]方程(x+3)2-36=0的解为

.

Cx1=3,x2=-93.[九上P28习题2.1第2(1)题]某商品经过两次连续降465.[九上P48习题2.4A组第1题](1)设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2=

;

(2)设方程x2+5x+6=0的两个根为x1与x2,则x1+x2=

.

-1-55.[九上P48习题2.4A组第1题]-1-547题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是

.

x=1或x=2题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以487.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是

.

[答案]7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有49考向一一元二次方程的有关概念例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:考向一一元二次方程的有关概念例1用指定方法解方程x2-1250例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.51例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.52【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用53■考向精练A2.[2020·扬州]方程(x+1)2=9的根是

.

x1=2,x2=-4■考向精练A2.[2020·扬州]方程(x+1)2=9的根543.[2020·南京]解方程:x2-2x-3=0.解:移项,得x2-2x=3,配方,得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.两边同时开方,得x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.3.[2020·南京]解方程:x2-2x-3=0.解:移项,55考向二一元二次方程根的判别式角度1

不解方程判断方程的根的情况考向二一元二次方程根的判别式角度1不解方程判断方程的根的56[答案]D[答案]D57角度2

已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围例3[2020·黔西南州]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 (

)A.m<2 B.m≤2C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1角度2已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围例3[58[答案]D[答案]D59■考向精练4.[2020·安徽]下列方程中,有两个相等实数根的是 (

)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0A■考向精练4.[2020·安徽]下列方程中,有两个相等实数60[答案]C5.[2020·南京]关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是(

)A.两个正根B.两个负根C.一个正根,一个负根D.无实数根[答案]C5.[2020·南京]关于x的方程(x-1)616.[2019·邵阳]若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是

.

[答案]0

[解析]∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=4+4m>0,解得m>-1,故答案为0.6.[2019·邵阳]若关于x的一元二次方程x2-2x-m=627.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.7.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=063考向三一元二次方程的应用角度1

增长率问题考向三一元二次方程的应用角度1增长率问题64解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.465(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).66角度2

利润问题例5[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?角度2利润问题例5[2019·东营]为加快新旧动能转换,提67解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180<200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:68角度3

面积问题例6[2020·西藏]某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图7-1所示,茶园一面靠墙,墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.图7-1角度3面积问题例6[2020·西藏]某驻村工作队,为带动群69解:设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为(69+1-2x)m,根据题意,得x(69+1-2x)=600,整理,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;当x=20时,70-2x=30,符合题意.答:这个茶园的长和宽分别为30