导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版

PAGE板块一.导数的概念板块一.导数的概念与几何意义知识内容知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”．3．可导与导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．典例分析典例分析题型一：极限与导数正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A．B．C．D．对于任意都有（）A．B．C．D．若，则________．若，则_______．设在可导，则等于（）A． B． C． D．若，则等于（）A．B．C．D．设在处可导，为非零常数，则（）．A．B．C．D．设，则（）A． B． C． D．若，则当无限趋近于时，______．已知函数，则的值为．已知，则的值是（）A．B．C．D．若，则_______．已知函数在处可导，则（）A．B．C．D．计算________．_______．将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则．（）A． B． C． D．不存在如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设为前个圆的面积之和，则（）A．B．C．D．______．若，则常数_______．_____．_________________．__________．（）A． B． C． D．．设函数，其中，已知对一切，有和，求证：．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，则；．（用数字作答）下列哪个图象表示的函数在点处是可导的（）函数在闭区间内的平均变化率为（）A．B．C．D．求函数在到之间的平均变化率．若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（）A．1B．C．2D．求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．已知某物体的运动方程是，则当s时的瞬时速度是_______．已知某物体的运动方程是，则时的瞬时速度是_______．已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度____，加速度．物体运动方程为，则时瞬时速度为（）A．2 B．4 C．6 D．8一质点做直线运动，由始点起经过s后的距离为，则速度为零的时刻是（）A．4s末B．8s末C．0s与8s末D．0s，4s，8s末如果某物体做运动方程为的直线运动（的单位为m，的单位为s），那么其在s末的瞬时速度为（）A．m/sB．m/sC．m/sD．m/s求在处的导数．题型二：导数的几何意义已知曲线上一点，用斜率定义求：⑴过点的切线的斜率；⑵过点的切线方程．已知曲线上一点，用斜率定义求：⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．求函数的图象上过点的切线方程．曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．求曲线在点的切线方程，与过点的切线的方程．函数在点处的切线方程为（）A．B．C．D．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_______．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．过点作曲线的切线，则切线方程为__________．曲线在点处的切线方程为__．若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（）A．B．C．D．或设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A． B． C． D．若曲线的一条切线与直线平行，则的方程为______________．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．设为曲线：上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是_______．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为．函数的图象上一点处的切线的斜率为（）A．1 B． C． D．曲线上的点到直线的最短距离是（）A． B． C． D．0在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为．抛物线在点处的切线与其平行线间的距离为________．若是曲线的一条切线，则（）A．B．0C．1D．2函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中，若，则的值是．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B． C． D．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（）A．64 B．32 C．16 D．8函数的图象在点处的切线方程是．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（）A． B． C． D．直线与曲线相切，则（）A．B．C．D．已知直线与曲线相切，则的值为（）A． B． C． D．在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为____．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A．或B．或C．或D．或已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A．B．C．D．已知函数和的图象在处的切线互相平行，则_______．⑴曲线在点处的切线方程是____．⑵曲线过点的切线方程是_________．已知曲线，则过点的切线方程是_______．已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为_____．曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B． C． D．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．求曲线的斜率等于的切线方程．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________．曲线在点处的切线方程是．函数在点处的切线方程是（）A．B．C．D．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．已知曲线：，求曲线上横坐标为的点的切线方程．已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数、、的值．曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限，⑴求的坐标；⑵若直线，且也过切点，求直线的方程．已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．已知函数（）的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．B．C．D．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，⑴求直线的方程；⑵求由直线、和轴所围成的三角形的面积．设函数，曲线在点处的切线方程为．⑴求的解析式；⑵证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．设函数，曲线在点处的切线方程为．⑴求的解析式；⑵证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段