传热学：第二章 稳态热传导

第二章稳态热传导2.1导热基本定律——傅里叶定律

2.2导热问题的数学描写2.3典型一维稳态导热问题的分析解法2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的一维稳态导热1.重点内容：

①傅立叶定律及其应用；②导热系数及其影响因素；

③导热问题的数学模型。

2.掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法

3.了解内容：多维导热问题

导热换热应用背景介绍

物体的各部分之间不发生相对位移时，依靠内部微观粒子的热运动而产生的热量传递称为导热（热传导）。工程上利用这种换热方式来实现许多装置的热交换问题。冰箱的保温层的导热问题核反应堆等内热源的导热一、导热机理（1）气体：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，温度升高，动能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。

§2.1导热基本定律——傅里叶定律

（2）导电固体：

其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。

（3）非导电固体：导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。

（4）液体的导热机理：存在两种不同的观点：第一种观点类似于气体，只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用。

说明：只研究导热现象的宏观规律。

导热特点

1)物体之间不发生宏观相对位移。

2)依靠微观粒子（分子、原子、电子等）的无规则热运动。

3)是物质的固有本质。

概念：温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间的函数：其中为空间坐标，为时间坐标。

二、温度场

（Temperaturefield）温度场分类

1）稳态温度场（定常温度场）

是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场，其表达式：设备或装置稳定运行过程中,温度仅为空间坐标的函数，不随时间而变。2）非稳态温度场（非定常温度场）

是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式：

若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。

设备或装置等启动、停机等过程中，温度随空间和时间变化。等温面与等温线等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面等温面与等温线的特点：(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。物体的温度场通常用等温面或等温线表示。等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。三、导热基本定律

1、导热基本定律（傅立叶定律）

1）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即

2）数学表达式：

（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）

3）傅里叶定律用热流密度表示：其中——热流密度(单位时间内通过单位面积的热流量)

——物体温度沿x轴方向的变化率当物体的温度是三个坐标的函数时，其形式为:是空间某点的温度梯度；

是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；是该处的热流密度矢量。

式中：当等温线图上每两条相邻等温线间的温度间隔相等时,等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大。

1）热流线

一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。2）在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。2、温度梯度与热流密度的关系1、导热系数的含义

导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：

数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。

2、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等三、导热系数（导热率、比例系数）实用计算中，大多数材料的导热系数都可以用线性近似关系，即λ=λ0（a+bt），式中，t为温度，a,b为常量，

λ0是直线段的延长线在纵坐标轴上的截距。3、保温材料（隔热、绝热材料）

把导热系数小的材料称保温材料。我国规定：≤350℃时，≤0.12w/mk保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高。4、保温材料热量转移机理(高效保温材料)

高温时：（1）蜂窝固体结构的导热（2）穿过微小气孔的导热更高温度时：（1）蜂窝固体结构的导热（2）穿过微小气孔的导热和辐射5、超级保温材料

采取的方法：（1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失）（2）采用多层间隔结构（1cm达十几层）

特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数低达：10-4w/m.k6、各向异性材料

指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的λ也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料必须注明方向。§2-2导热问题的数学描写

（1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。（2）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。

一、导热微分方程

1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。

2、导热微分方程的数学表达式

导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。

1）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体

微元体的导热热平衡分析空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为x、y、z坐标方向的分热流量。

①通过x=x、y=y、z=z，三个微元表面而导入微元体的热流量：фx

、фy

、фz

的计算。根据傅立叶定律得(a)②通过x=x+dx

、y=y+dy

、z=z+dz

三个微元表面而导出微元体的热流量фx+dx

、фy+dy

、фz+dz

的计算。根据傅立叶定律得：

(b)③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：

导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量(c)微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热=其中——

微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量

将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：

这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。

1）对上式化简：

①导热系数为常数

式中，，称为热扩散率。②导热系数为常数、无内热源

③导热系数为常数、稳态

④导热系数为常数、稳态、无内热源

综上说明：

（1）导热问题服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。通过r=r,Φ=Φ,z=z三个微元面而导入微元体的热量可以根据傅立叶定律写出来。2）圆柱坐标系中的导热微分方程：通过r+dr,,Φ=Φ+dΦ,z=z+dz三个表面而导出微元体的热流量也可以按傅立叶定律写出如下：导入导出微元体的热量微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热=其中——

微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：

导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量热平衡关系：

导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量3）球坐标系中的导热微分方程：

1、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。

二、定解条件2、分类

1）初始条件：初始时间温度分布的初始条件；

2）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。说明：

①非稳态导热定解条件有两个；②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。（1）第一类边界条件：规定了边界上的温度值。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：3、导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类（2）第二类边界条件。规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：（3）第三类边界条件。规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为复杂情况下遇到的另外两种边界条件（1）辐射边界条件如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射换热，则应有：（2）界面边界条件接触良好的两种材料的分界面上：1、热扩散率的物理意义

1）λ是物体的导热系数，越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。

2）ρc是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。三、有关说明ɑ物理意义：

①ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大，因此有热扩散率的名称。②ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。2、导热微分方程的适用范围

1）不适用于时间极短，而且热流密度极大的导热。2）不适用于接近低温度（-273℃）时的导热。3）不适用于空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程接近时的导热。

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：

1.单层平壁的导热a几何条件：单层平板，b物理条件：、c、

已知；无内热源c时间条件：d边界条件：第一类通过平壁的导热一、通过平壁的导热根据上面的条件可得：第一类边条：控制方程边界条件通过平壁的导热直接积分，得：带入边界条件：带入Fourier定律线性分布实验条件下求材料的导热系数2、热阻的含义

热量传递是自然界的一种转换过程,与自然界的其他转换过程类同,如:电量的转换,动量、质量等的转换。其共同规律可表示为:过程中的转换量=过程中的动力/过程中的阻力。在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为式中：热流量为导热过程的转移量；温压为转移过程的动力；分母为转移过程的阻力。由此引出热阻的概念：1）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。

2）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分：面积热阻RA

：单位面积的导热热阻称面积热阻。

热阻R：整个平板导热热阻称热阻。3）热阻的特点：

串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。

3.多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁—

白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热

边界条件：

热阻：由热阻分析法：问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：第i层：例如图所示的双层平壁中，导热系数为定值，假定过程为稳态，试分析图中三条温度曲线所反映的和

的相对大小所以对情形1有解由于过程是稳态的，因此在三种情况下，热流量分别为常数

对情形3同理，对情形2有二、单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：单管长度为l，圆筒内外壁面均维持均匀恒定的温度。一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：(a)对上述方程(a)积分两次:第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果显然，温度呈对数曲线分布圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况虽然是稳态情况，但热流密度q与半径r成反比！求导根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：5多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量6、通过球壳的导热对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：温度分布：热流量：热阻：7其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；此时，一维Fourier定律：当＝(t)时，分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关(稳态)，得当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。例电熨斗底面散热示意图一个电熨斗，电功率为l200w，底面竖直置于环境温度为25℃的房间中，金属底板厚为5mm，导热系数λ＝15w／(m·K)，面积A＝300cm2。考虑辐射作用在内的表面传热系数h＝80w／(m.K)，试确定稳态条件下底板两表面的温度。假设：电钮斗绝热层的性能良好，因而加热器的功率全部通过底板散到环境中去；近似处理为一维平板导热。底板右侧处理成为对流边界条件，左侧为给定热流密度边界条件，其值为：温度场的数学描写为上述方程的通解为t＝c1x十c2例2-11外直径50mm的蒸汽管道外表面温度温度为400℃,其外包裹有厚度为40mm，导热系数为0.11的矿渣棉，矿渣棉外又包有厚为45mm的煤灰泡沫砖，气导热系数于砖层平均温度的关系如下：。煤灰泡沫砖外表面温度为50℃。已知煤灰泡沫砖最高耐温为300℃。试检查煤灰泡沫砖的温度有无超出最高温度？并求通过每米长该保温层的热损失。解:本题的关键在于确定矿渣棉与煤灰泡沫砖交界处的温度，由题意，煤灰泡沫砖的导热系数又取决于该未知的界面温度，因此计算过程具有迭代（试凑）性质。先假定界面温度为，则由题意

§2-4通过肋片的导热一基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面

2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋大套片3、肋片导热的作用及特点

1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面,以强化换热2）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const

。

4、分析肋片导热解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

二、通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0>t肋片与环境的表面传热系数为h.，h和Ac均保持不变求：温度场t和热流量分析：假设

1）肋片在垂直于纸面方向(即深度方向)很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积Ac不变；

3）表面上的换热热阻1/h，远大于肋片的导热热阻δ/λ

，即肋片上任意截面上的温度均匀不变；

4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0；

在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图（b）所示并将沿程散热量视为负的内热源，则导热微分方程式简化为导热微分方程：引入过余温度。令则有：混合边界条件：方程的通解为：应用边界条件可得：最后可得等截面内的温度分布：双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦函数稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量肋端过余温度：即x

＝H例题

压气机设备的储气简里的空气温度用一支插入装油的铁套管中的玻璃水银温度计来测量，如图所示。已知温度计的读数为100℃，储气简与温度计套管连接处的温度为tf＝50℃，套管高H＝140mm、壁厚δ=1mm、管材导热系数λ＝58.2w／(m·K)，套管外表面的表面传热系数h＝29.1w／(m2．K)。试分折：(1)温度计的读数能否准确地代表被测地点处的空气温度?(2)如果不能，分析其误差有多大?温度计套管分析：由于温度计的感温泡与套管顶部直接接触．可以认为温度计的读数就是套管顶端的壁面温度tH。温度计套管与其四周环境之间发生着三种方式的热量传递，即：从套管顶端向根部的导热；从压缩空气向套管外表面的对流传热；从套管外表面向储气简简身的辐射传热。稳态时，套管从压缩空气获得的热流量正好等于套筒向筒身的导热及辐射传热之和。因而，套管的壁面温度必然低于压缩空气的温度，即存在测温误差。温度计套管套管中每一截面上的温度可认为是相等得，因而温度计套管可看成是截面积为πdδ的一等截面直肋，(d为套管直径)。测温误差就是套管顶端的过余温度θH=tH-tf,此处tf是简内空气的温度。温度计套管假设：通过上述分折，可以将所研究的问题看成是一维稳态等截面直助的导热问题、采用肋片分折中的各项假定。计篡：据式换热周长πd

，套管截面积Ac=πdδ

。于是,mH的值可根据定义求出，即由数学手册查出此ch3.13=11.5,代人tf计算式得讨论：测量误差为4.7℃。可从两个角度来分析减小测温误差。首先，从温度计套管的一维导热的物理过程来看，可以得出热阻定性分析图。因中t∞为储气筒外的环境温度，R3代表储气简外侧与环境间的换热热阻，RI、R2分别代表套管顶端与环境间的换热热阻以及顶端与根部之间的热阻。显然，要减小测温误差，应使tH尽量接近tf，即应尽量减小R1，而增大R2及R3。另一方面，从顶端温度计算公式看，要减少θH

，应增加ch(mH)(即增加mH)，以及减小θo

。于是可采用以下方法：(1)选用导热系数更小的材料作套管(增加热阻R2)；(2)尽量增加套管高度、并减小壁厚(增加热阻R2)；(3)强化套管与流体间的换热(减小RI)；(4)在储气简外包保温材料(增加R3)，最后一条措施对于储气简虽不十分可取,然而对于测量管道中气流温度的情形是可以操作的。温度计套管温度计套管测温误差热阻分析图串联热阻叠加的原则在这里不适用，但是作为定性分析，这样的图示还是很有用的。三、肋效率与肋面总效率

为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率肋片的纵剖面积对于直肋，如果取单位长度研究，参与换热的周界P=2影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）可见，与参量有关，其关系曲线如图2-19所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出，散热量

等截面直肋和三角形肋片的效率曲线3通过环肋及三角形截面直肋的导热

为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。环肋片的效率曲线肋面总效率：肋化表面示意图实际上肋片总是成组地被采用的，如图所示。设流体的温度为tf，流体与整个表面的表面传热系数为h，肋片的表面积为Af，两个肋片之间的根部表面积为Ar，根部温度为t。，则所有肋片与根部面积之和为A。，则A。＝Af+Ar，若以t。-tf为温差，则有：称为肋面总效率，显然，肋片总效率高于肋片效率，在换热器设计中有所应用。四、接触热阻(contactresistance)两固体互相接触时，由于表面粗糙度的影响，不可能是理想的组合，会成为如图所示的情况。这种情况与两固体壁面完全接触相比,增加了附加的传递阻力,称为接触热阻。接触热阻示意固§2-5具有内热源的一维导热问题在工程技术领域中常常遇到有内热源的导热问题，例如:电器及线圈小有电流通过时的发热；化工中的放热、吸热反应；核能装置中燃料元件的放射反应等。本节以核反应堆的燃料元件的导热问题为背景，介绍具有内热源的平壁以及圆柱体导热问题的分析解。物理问题,如右图:平壁具有均匀的内热源，两侧同时与温度为tf的流体发生对流传热，表面传热系数f,要求确定平板中任意一x处的温度及通过该截面出的热流密度。2.数学描述:具有均匀内热源的平壁一次积分得:§2-5具有内热源的一维导热问题具有均匀内热源的平壁一、具有内热源的平板导热平壁具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为tf的流体发生对流传热，表面传热系数为h．现在要确定平板中任一x处的温度及通过该截面处的热流密度。由于对称性，只要研究板厚的一半即可。这一问题的数学描写为二次积分得:得:任一位置x处的热流密度仍然可以由温度分布按傅里叶定律得出：由此可见，与无内热源的平壁解相比，热流密度不再是常数，温度分布也不再是直线而是抛物线，这些都是由于内热源引起的变化。由于给定壁而温度的情形可以看成是当表面传热系数趋于无穷大，从而流体温度等于壁面温度时的一个特例，当平壁两例均为给定壁温tw时平壁中的温度分布为例题

图给出了核反应堆中燃料元件散热的一个放大的简化模型。该模型是