理论力学(周衍柏第三版)思考题+习题答案

理徐力学思考观司敢参考

琴嗓

周衍柏第三版

肮病毒整理

2007-10-22

目录

第一章质点力学-2-

第一章思考题-2-

第一章思考题解答-3・

第一章习题-6-

第一章习题解答-10-

第二章质点组力学・34-

第二章思考题-34-

第二章思考题解答-35-

第二章:习题.-37-

第二章习题解答-38-

第三章刚体力学-48.

第三章思考题-48-

仅供参考，多思考，勤练习

第三章思考题解答-49-

第三章习题-51-

第三章习题解答-54-

笫四章转动参考系-68-

第四章思考题-68-

第四章思考题解答-68-

第四章习题-70-

第四章习题解答-71-

第五章分析力学-75-

第五章思考题-75・

第五章思考题解答-76-

第五章习题-81-

第五章习题解答-84-

第一章质点力学

第一章思考题

L1平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致?

1.2在极坐标系中，匕=＞，%=而.为什么勺=＞一；•解而非尸？为什么/=)/+2泊而非

用+泊?你能说出对中的_,02和Q〃中另一个户@出现的原因和它们的物理意义吗？

1.3在内禀方程中，〃“是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动

时，副法线方向的加速度％等于零，而作用力在副法线方向的分量《一般不等于零，这是不是违背了

牛顿运动定律呢？

1.4在怎样的运动中只有〃而无a?在怎样的运动中又只有q而无。？在怎样的运动中既有〃而无

广〃nrn

1.5更与如有无不同？虫与也有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论.

dtdtdtdt

1.6人以速度0向篮球网前进，那么当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？

1.7雨点以匀速度I，落下，在一有加速度〃的火车中看，它走什么路经？

1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才

发现，立即饭棹追机追到渔竿之处是在桥的卜.游600米的地方，问河水的流速是•多大？

1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？

1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，那么物体是沿力的方向

还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.

1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，到达任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假

设不是光滑的将如何？

1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否

求出约束力？如不能，应当怎样去求？

1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是？=3，+2/+7a1，式中i、j、上是沿x、y>z轴上

的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。

1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1,2,3）点时，它对原点0及z轴的动量矩各是多少？

1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量

是否也守恒？

1.16如尸=尸（"，那么在三维直角坐标系中，仍有▽、/=（）的关系存在吗？试验之。

1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？

1.18我国发射的第•颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68.5。，比苏义及美国第

一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？

1.19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？

第一章思考题解答

1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔/+A1内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方

向沿位移的方向即沿加对应的轨迹割线方向：瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化

的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在&->0的极限情况，二者一致，在匀速直

线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度V,'和横向速度Ve的大小、方向都改变，而勺中的1：只反映了V,本身大

小的改变，%中的厂在+,电只是V。本身大小的改变。事实上，横向速度V。方向的改变会引起径向速度

V,大小大改变，rd就是反映这种改变的加速度分量;经向速度V,的方向改变也引起Ve的大小改变,

另一个/•。即为反映这种改变的前速度分量，故>一/招2,6=,不+2户女。这表示质点的径向与

横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况

13答：内禀方程中，明是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度

v总是沿轨迹的切线方向，而4垂直于v指向曲线凹陷一方，故。”总是沿助法线方向。质点沿空间曲

线运动时，4-4Oz何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力

R,二者在副法线方向的分量成平衡力与1R〃=O,故牝=0符合牛顿运动率.有人会问：约束反作

用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人

也许还会问：某时刻假设《与此大小不等，即就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向

与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来为所在的方位，乂有了新的副

法线，在新的副法线上仍满足5,十七=0即％=0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了

自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

L4答：质点在直线运动中只有4而无％,质点的匀速曲线运动中只有%而无4；质点作变速运动时

即有。又有%。

1.5答：包即反响位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而立只表

dtdt

示r大小的改变。如在极坐标系中，包=月+厂4而立二＞。在直线运动中，规定了直线的正方向后，

—=—O且如的正负可表示它的指向，二者都可表示质点的运动速度；在曲线运动中包工生

巨丝也表示不了”的指向，二者完全不同。

史表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而也只是质点运动速度大小的改变。在直

dtdt

线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，

1.6答：不管人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮箧，其速度合成如题1.6

图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，〔事实上

要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。

1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度。的匀速水平直线运动的合

成运动如题1.7图所示，

o'x'y是固定于车的坐标系，雨点相对年的加速度a'=-a，其相对运动力程《-2消去/的轨迹

y'=vt

如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧,

才垂直于V'方向的分量a；在改变着V'的方向，该轨迹上凹。

1.8答：设人觉察干落水时，船己上行（，上行时船的绝对速度匕后-V水，那么

船反向追赶竿的速度v船十匕小设从反船到迫上竿共用时间那么

（V明+V水）f=600+s'②

又竿与水同速，那么

K水（2+，）=600③

①十③:②得

1.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外

力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一

致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。

1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中

假设初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，

也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高

点下落过程中沿力的方向运动。

在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿

初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方

向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不•致，重力的方向决定了轨道的形

状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。

1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，到达任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重

力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论

假设曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关,

还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。

1.12答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束

力不做功，动能定理或能量枳分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质

点在某位置的速度，从而得出〃，有牛顿运动方程/+R=ma便可求出R,即为约束力

nnnnn

1.13答：动量

动能

1.14答：

故

L15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守

恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不

为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。

L16答：假设尸=尸卜），在球坐标系中有

由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有

VxF=0的关系。在直角坐标系中

故

事实上据算符的性质，上述证明完全可以简写为

这说明有心力场星无旋场记保守立场

1.17答平方反比力场中系统的势能丫卜）=_起，其势能曲线如题图1.17图所示，

r

由T+y（r）=E知r=E-V（"因7>0,故有E>V（r）«

假设E<0，其势能曲线对应于近日点rmjn和远日点联容之间的一段。近日点处E-V（r）-7即

为进入轨道需要的初动能假设E>0那么质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；假设石=0位于

有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的厂质点的运动

是无界的，当〃很大时v（r）.0,还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛

物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道

正是取决于进入轨道时初动能的大小

由

得

即速度V的大小就决定了轨道的形状，图中（心，4对应于进入轨道时的到达第一二三宇宙速度所需的

能量由于物体总是有限度的，故厂有一极小值既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星

的发射（其为地球半径。7；）=七-1/（r）为地面上发射时所需的初动能，图示41,7；2,7；）3分别为使卫星

进入轨道时到达一二三宇宙速度在地面上的发射动能。（g-1）i=1,2,3.为进入轨道前克服里及空气

阻力做功所需的能量.

1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离•心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，

指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，那么卫星的惯性离心力与轨道平

面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探

测面积越大，其科学使用价值越高。

1.19答：对库仑引力场有_1〃停2一幺=E，其中/=三二若V?）竺，则，E〉0,轨道是双曲线的一点,

27*4在（）r

与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；假设

产三竺,则EWO,轨道椭圆国〈0）或抛物线（£=0）,卢瑟福公式不适用，仿照课本上的推证方法，

r

在入射速度匕〉生的情况卜即可得卢瑟福公式。近代物理学的正，负粒子的对撞试验可验证这一结论

r

的近似正确性。

第一章习题

L1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为而通过下一等距离s的时间为『.试证明枪弹

的减速度〔假定是常数）为

1.2某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30

分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？

1.3曲柄西=几以匀角速/绕定点0转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线。工运动。求连杆上0点

的轨道方程及速度。设从0=而=&，ZAOB=(p,Z,ABO=i//o

第1.3题图

1.4细杆OL绕。点以角速。转动，并推动小环C在固定的钢丝.A8上滑动。图中的d为常数，试求小

球的速度及加速度的量值。

1.5矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用卜.式表示：

式中c及丁为常数，试求运动开始/秒后升降机的速度及其所走过的路程。升降机的初速度为零。

1.6一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为4〃及〃夕，式中4及〃是常数。试证其沿位矢及垂直于位

失的加速度为

1.7试自

出发，计算工及y。并由此推出径向加速度/及横向加速度为。

1.8直线尸M在•给定的椭圆平面内以匀角速切绕其焦点尸转动。求此直线与椭圆的焦点M的速度。

以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为

式中。为椭圆的半长轴，e为偏心率，都是常数。

1.9质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量。正交。

1.10一质点沿着抛物线y2=2px运动其切向加速度的最值为法向加速度显值的_2攵倍。如比质点从正

焦弦(5,p)的一端以速度〃出发，试求其到达正焦弦另一端时的速率。

1.11质点沿着半径为厂的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角a保持不变。求质点的速度随时

间而变化的规律。出速度为％。

1.12在上题中，试证其速度可表为

式中。为速度矢量与X轴间的夹角，且当1=0时，0=0^

1.13假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为/，而空气相

对于地面的速度为%。A与8之间的距离为/。飞机相对于空气的速度/保持不变。

(〃)假定匕,=。，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为

G)假定空气速度为向东(或向西)，试证来回飞行的总时间为

(c)假定空气的速度为向北［或向南)，试证来回飞行的总时间为

1.14一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速

为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，那么飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？

1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，

甲板上干湿两局部的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/杪，求轮船的速率。

1.16宽度为Q的河流，其流速与到河岸的距离成iF比。在河岸外，水流速度为零,在河流中心处,其

值为c。一小船以相对速度〃沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。

1.17小船加被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度C2朝岸上4点划回。假定河流速度G沿河宽

不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。

1.18一质点自倾角为。的斜面上方。点，沿一光滑斜槽QA下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时

间为最短，问斜槽0A与竖直线所成之角°应为何值？

1.19将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即R=〃吠2且一。如上

抛时的速度为咻，试证此质点又落至投掷点时的速度为

1.20一枪弹以仰角a、初速度”自倾角为£的斜面的卜端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的

距离d（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为

V202（兀P\

d=—sec--------|。

m”2g（42）

1.21将一质点以初速％抛出，环与水平线所成之角为Q。此质点所受到的空气阻力为其速度的相攵倍,

〃，为质点的质量，忆为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为a时所需的时间。

1.22如向互相垂直的匀强电磁场E、8中发射一电子，并设电子的初速度V与E及5垂直,试求电子

的运动规律。此电子所受的力为e（E+yxB），式中E为电场强度，e为电子所带的电荷，u为任一瞬

时电子运动的速度。

1.23在上题中，如

（a）3=0,那么电子的轨道为在竖直平面（xy平面）的抛物线；

（历如E=0,那么电子的轨道为半径等于叱的圆。试证明之。

eB

1.24质量为〃?与的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在川的下端又

用固有长度为4、倔强系数女为鳖的弹性绳挂上另外一个质最为加的质点。在开始时，全体保持竖直,

a

原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳那么处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐

的，并求出其振动周期r及任何时刻两段绳中的张力丁及厂。

1.25滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端升一重为卬的物体。当滑轮以匀速转动时，

物体以匀速%下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受W的作用时的

静伸长为4。

1.26■—弹性绳上端固定，下端悬有m及M两质点。设a为绳的固有长度，b为加"?后的伸长，c为加

加后的伸长。今将加任其脱离而下坠，试证质点〃?在任一瞬时离上端O的距离为

1.27一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱

面？假定圆柱体的半径为广。

1.28重为W的不受摩擦而沿半长轴为〃、半短轴为人的椭圆弧滑下,此椭圆的短轴是竖百倍。如小球

白长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。

1.29一质量为加的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为2〃吆COS。，式

中0为水平线和质点运动方向间的夹角。圆滚线方程为

1.30在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，到达圆滚线的最低点时停止运

动，那么摩擦系数〃应满足下式

试证明之。

131假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与8成正比，且可写为R=_2mk而，

式中加是摆锤的质量，/为摆长，左为比例系数。试证当A2V彳时，单摆的振动周期为

1.32光滑楔子以匀加速度劭沿水平面运动。质量为小的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加

速度a'和质点对楔子的压力p。

133光滑钢丝圆圈的半径为一其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其中为卬。如钢丝圈以匀加速度。

沿竖直方向运动，求小环的相对速度V,及圈对小环的反作用力R。

134火车质量为〃?，其功率为常数攵。如果车所受的阻力/为常数，那么时间与速度的关系为：

如果/和速度丫成正比，那么

式中％为初速度，试证明之。

135质量为〃?的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间r的一半时，增

至极大值户，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。

136检验以下的力是否是保守力。如是，那么求出其势能。

32342

(C7)Fx=6abz3y-20bxy，Fy=babxz-10bxy，F:=\Sabxyz

137根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：

V(r)=—,^<0

r

试求

(〃)中子与质子间的引力表之式，并与平方反比定律相比较；

(/?)求质量为〃?的粒子作半径为。的圆运动的动量矩/及能量£>

138作用在质点上的力为

式中系数为(i,)=1,2,3)都是常数。问这些％应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计

算其势能。

139一质点受一与距离3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达。时的速

2

率和白。静止出发到达-时的速率相同。

4

1.40一质点受一与距离成反比的引力作用在一百线卜运动.求其到达°点所需的时间.

1.41试导出下面有心力量值的公式：

式中加为质点的质点，「为质点到力心的距离，〃=〃2往=常数，〃为力心到轨道切线的垂直距离。

1.42试利用上题的结果，证明：

(〃)如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，那么力与距离五次方成反比。

(切如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，那么力与距离立方成反比。

1.43质点所受的有心力如果为

式中〃及1/都是常数，并且yV/?2,那么其轨道方程可写成

试证明之。式中公二之上,〃二”,6=4嬖(A为积分常数)。

1V//-//-

1.45如6“及%为质点在远日点及近日点处的速率，试证明

6P:L=(l+e):(1-e)

1.46质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离厂的函数，而质点的速率那么与距离成反

比，即〃=幺。如果/>a2(/?=，句，求点的轨道方程。设当〃时，

1.47(〃)某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道(假定为圆形)半径的工。那么比彗星运行

n

时，在地球轨道内停留的时间为一年的

倍，试证明之。

(b)试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道(仍假定为圆形)内的最长时间为一年的Z倍,

34

或约为76日。

1.48试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据.求此卫星在近地点和远地点的速率匕及

v2以及它绕地球运行的周期r(参看79页)。

1.49在行星绕太阳的椭圆运动中，如令a-r=aecosE,J巴/，=/，式中r为周期，。为半长轴，e为

偏心率，石为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：

1.50质量为根的质点在有心斥力场me中运动，式中7•为质点到力心O的距离，C为常数。当质点离O

很远时，质点的速度为匕3而其渐进性与O的垂直距离那么为夕(即瞄准距离)。试求质点与。的最

近距离

第一章习题解答

1.1由题可知示意图如题图:

设开始计时的时刻速度为飞，由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a.

那么有：

由以上两式得

再由此式得

证明完毕.

1.2解由题可知，以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题图.

设A船经过2小时向东经过灯塔,那么向北行驶的8船经过小时经过灯塔任意时

刻A船的坐标

%人=一（152一15。，yA=0

B船坐标为=0»

那么船间距离的平方

即

不对时间/求导

AB船相距最近，即如3=o,所以

dt

即午后45分钟时两船相距最近最近距离

'7闯+叵沁联m

1.3解⑴如题图

由题分析可知，点c的坐标为

又由于在AAOB中，有」一=且（正弦定理）所以

sini//sin。

联立以上各式运用

由此可得

得

得

化简整理可得

此即为C点的轨道方程.

（2）要求©点的速度，分别求导

其中

又因为

对两边分别求导

故有

所以

L4解如题图所示，

0L绕0点以匀角速度转动，C在A3上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量

C点速度

又因为8=3所以C点加速度

1.5解由题可知，变加速度表示为

由加速度的微分形式我们可知

代入得

对等式两边同时积分

可得：

v=ct+4-D（£）为常数）

712T

代入初始条件：/=0时，v=o，故

即

又因为

所以

对等式两边同时积分，可得:

1.6解由题可知质点的位矢速度

v„=々①

沿垂直于位矢速度

又因为V//=r=,即

v±=a=〃夕即占二政

r

a=—=—（ri）+—（r^）（取位矢方向i，垂直位矢方向j）

dtdtdtv

所以

故

即沿位矢方向加速度

垂直位矢方向加速度

对③求导

对④求导

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由题可知

』cosO①一②

y=rsin。

对①求导

x=rcosO-rsin6。③

对③求导

x=尸cos。一2『&sin夕一rdsin9一〃82cose④

对②求导

y=rsin0+，Ocos0⑤

对⑤求导

y=产sin0+2>Jcos0+rOcosO-rd1sin0⑥

对于加速度〃，我们有如下关系见题图

即

x=arcos。+a0sin0⑦一⑧

y=arsinO+a®cos£

对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦xcos。，⑧xsin。

即得

宠cos。=arcos。-a0sin6cos。.、彳◎

j；sin。=arsin6+传sin夕cos。

⑨+⑩得

ar=Acos。+/sin。（"）

把④⑥代入（11）得

同理可得

1.8解以焦点产为坐标原点，运动如题图所示］

那么用点坐标

对X,），两式分别求导

故

如下图的椭圆的极坐标表示法为

对厂求导可得（利用8=又因为

即

所以

故有

即

（其中从/为椭圆的半短轴）

L9证质点作平面运动，i殳速度表达式为

令为位矢与轴正向的夹角，所以

所以

又因为速率保持为常数，即

R+*=c,c为常数

对等式两边求导

所以

即速度矢量与加速度矢量正交.

L10解由题可知运动轨迹如题图所示，

弗么质点切向加速度

法向加速度a=—，而且有关系式

n

P

色=-2kE①

dtp

又因为

工」②

P（"y咔

所以

y'E③

y

y〃=_（④

y

联立①©③④

p’

—=-2kv2

dt

（y~J

又

把y2=2px两边对时间求导得

又因为

所以

,2V2

丁二丁⑥

14-2_

P2

把⑥代入⑤

既可化为

对等式两边积分

所以

L11解由题可知速度和加速度有关系如下图

两式相比得

即

对等式两边分别积分

即

此即质点的速度随时间而变化的规律.

1.12证由题1.11可知质点运动有关系式

v2.

—=osina

/①②

civ

——=acosa

、力

所以包=包.也=也。，联立①②，有

dtd0dtd0

又因为

所以包=的1团。，对等式两边分别积分，利用初始条件,=（）时，

v

1.13证3）当？=0，即空气相对地面上静止的，有v圣=丫相+v牵.式中I，绝

质点相对静止参考系的绝对速度，飞指向点运动参考系的速度，y牵指运动参考系相对

静止参考系的速度.

可知飞机相对地面参考系速度：/即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞

行的总时间

2/

(人)假定空气速度向东，那么当飞机向东飞行时速度

飞行时间

当飞机向西飞行时速度

飞行时间

故来回飞行时间

即

同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间

(c)假定空气速度向北.由速度矢量关系如题图

所以来回飞行的总时间

同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为

1.14解正方形如题图。

由题可知i=%=2Skm/h设风速A_3，丫相=100km/h1当匕机

Af8，v]=(100+28)km/h=128km/h

故飞机沿此边长6攵〃〃〃正方形飞行一周所需总时间

L15解船停止时，干湿分界线在蓬前3,由题画出速度示意图如题.15.1图

故

又因为4+/=]，所以

由图可知

所以

v^(sinacosp+sinpcosa)=8/

匕"cosa

L16解以一岸边为无轴，垂直岸的方向为)，轴.建立如题图所示坐标系.

所以水流速度

乂因为河流中心处水流速度为c

所以％=主。当0<y«色时，L=仝），即

d---2水八

dx2c

＜了二下①一②

y=ut

得小现出，两边积分

d

.在③

联立②③，得

x=—y2fo<y<—④

nd'v2,

同理，当d之y24时，y水二空（］_y）即

2'd

X=Z£y_Q+D（。为一常数）⑤

uud

由④知，当y=U时，”=理代入⑤得

2’4”

有

2cC）广cdd,

x=——y~——--'

uud2〃

所以船的轨迹

船在对岸的了；靠拢地点，即）,=d时有”里

'2u

1.17解以A为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.

船沿垂直于r的方向的速度为—Gsin。，船沿径向r方向的速度为C2和C|沿径向的分量的

合成，即

r-=-C]sin。

dt①一②

—=C.cos-C

[dt1

②/①得如=——-----cot（p\d（pf对两积分:

rIC.sin^%）*

设G=Z,四=%C为常数，即

G2

,•I

代入初始条件厂=%时，°=夕0.设”=。0,有C=In"-In$1n一°,得

22cos

1.18解如题图

质点沿QA下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为〃=gcose.设竖直线05=6,

余I•槽O4=s，易知/08/4=巳-0,/0248=工一。十夕,，由正弦定理

22

即

一呼sa①

cos（O-a）

又因为质点沿光滑面OA下滑，即质点做匀速直线运动.

所以

S=；々/=；gCOS夕2②

有①②

欲使质点到达A点时间最短，由产=——2hcosa_可知，只需求出cos°cose-a）的极

geosOcos（。-a）

大值即可，令

把y对6求导

极大值时@=0，故有

dG

由于是斜面的夹角，即0NaN&,0N"出

所以

1.19解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题图，

上升时下降时

题图

那么两个过程的运动方程为：

上升

my=mg-nik1gy2®

下降：

-my=-mg+ink2gy2®

对上升阶段：

即

对两边积分

所以

1

h=]1[（1+攵飞）③

2k2g

即质点到达的高度.

对下降阶段：

即

1

h=In（1-父用④

2k2g

由③二④可得

L20解作子弹运动示意图如题图所示.

题图

水平方向不受外力，作匀速直线运动有

dcos0=%cosat①

竖直方向作上抛运动，有

2

dsin=v0sinat--gt®

由①得

v0cosa

代入化简可得

因为子弹的运动轨迹与发射对仰角a有关，即〃是a的函数，所以要求〃的最大值.把〃对

a求导，求出极值点.

即

所以代入的表达式中可得：

42

此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离”的最大值

1.21解阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切

线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.

轨道的切线方向上有：

in—=-inkv-mgsin。①

凯道的法线方向上有:

2

m-=mgcos。②

r

由于角是在减小的，故

一农③

dO

由于初末状态由速度与水平方向夹角e来确定，故我们要想法使①②变成关于e的等式

由①

即

=一〃Mu—mgsin9@)

把代入可得

m\T—=-mgcos。⑤

ds

用④.⑤可得

即dgcos叽kd。,两边积分得

v2cos20geos*

------!——=—tan+C©

ucos。g

代入初始条件r=0时，。二口小二%即可得

代入⑥式，得

g%cosa

v=⑦

cos0["cos(lana-tant?)+

2

又因为u=①r,m匚=mgcos。

所以

。=幽£££^⑧

—dtv

把⑦代入⑧

积分后可得

1.22各量方向如题图.

电子受力

那么电子的运动微分方程为

trix=evyB=eBy

<my=eE-evxB=eE-eBx②一③一④

mz=0

由②〃,也=(为包，，即［‘忆=~^7

dtdt加J。dy

vv=-y+V®

m

代入③整理可得

nrm

对于齐次方程j；+II"y=0的通解

tn2

非齐次方程的特解

所以北齐次方程的通解

(y-»

代入初始条件：7=0时，＞，=0得4=m

eB\B

1=0时，v、.=0得4=0，故

m(EyeBmVmE今

y=—V——cos—t-------+-

eB\BJineBeB，

同理，把⑦代入⑤可以解出

把⑦代入⑤

代入初条件.=0时，工=0，得C=0.所以

mE

x=一展与加以+与)

eByB)mB

1.23证(a)在1.22题中，3=0时，那么电子运动受力尸=e与电子的运动微分方程

mx=0

my=eE①-②-③

niz=0

对②积分

"吗+G④

m

对④再积分

又

故

z=0

.eEx2（C=G+C?为一常数）

y=----+C

/2mv

此即为抛物线方程.

G）当E=0时

那么电子受力

那么电子的运动微分方程为

〃戊=eBvy

<my=—eBvx①一②-③

inz-0

同1.22题的解法，联立①-②解之，得

于是

及电子轨道为半径的圆叱.

eB

L24解以疑直向下为正方向，建立如题图所示坐标，

题图题1.24.2图

以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为x，%,心，那么3个物体运动

微分方程为：

mg-T'=my1

«T'+mg-T=my2①-②-③

2〃ig-T=2my3

由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有力二_%，即

y=-y®

之间用倔强系数k=巡弹性绳联结.

a

故有

r=/1-%-4）=避（必-乂-。）⑤

a

由①⑤得

凡=-沙f)+2g⑥

由②③④得

T'=3my2+mg⑦

代入①，有

%=-3%⑧

代入⑥，有

=s®

3a

此即为简谐振动的运动方程.

角频率

所以周期

解⑨得

以初始时③为原点，,=0时，y=0,夕］=0.所以

V.=——acoscot4--6Z@

144

代入①得

联立-③④⑧⑩得

L25解，选向下为正方向，滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点.建立如题.25.1图所

示坐标系.

题图

原点的重力势能设为。.设弹簧最大伸长”•整个过程中，只有重力做功，机械能守恒：

2nl

1W21-2W,\1.2

Uf①一②

2-V0+-U(.=-J^-(4ax-4)+2max

W=U(1

联立①②得

弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力，Tmax为最大张力，即

L26解以绳顶端为坐标原点.建立如题图所示坐标系.

题图

设绳的弹性系数为人那么有

mg=kb®

当加脱离下坠前，加与加系统平衡.当T脱离下坠前，团在拉力丁作用下上升，之后作

简运.运动微分方程为

nig—k(y-a)=时

联立①②得

齐次方程通解

非齐次方程③的特解

所以③的通解

代入初始条件：/=0时，y=a+/?+c,得A=C，4=0；故有

即为〃7在任一时刻离上端O的距离.

1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.

运动的轨迹的切线方向上有：

〃吆sin9=m与①

法线方向上有：

mgcos。-N=②

对于①有”抽。=包=包包J为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即

dtds