培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)教学提纲

精品文档精品文档培优专题5平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在AABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．练习1如图，梯形ABCD中，AD〃BC，已知AD+BC=3,AC二'込，BD=J6，求此梯形的面积.如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积.如图，AABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF〈BC.例2如图，AABC中，ZACB=90°,M是AB例2如图，AABC中，ZACB=90°,M是AB的中点，ZPMQ=90°,请说明PQ2=AP2+BQ2.分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，使PQ、BQ分别转化为PD、AD,将三线段转化在同一三角形中,巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解.练习2如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，ZBEG与ZCFH都是锐角，已知EG=3,FH=4,四边形EFGH的面积为5,求正方形ABCD的面积.2.BC=AM，如图，AABC中，ZB=90°,M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM交于点P,BM=CN，求ZAPM的度数.3.请问，六边形ABCDEF3.请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等.如图，六边形ABCDEF中，AB〃DE,BC〃EF,CD〃AF，且AB—ED=CD—AF=EF—BC〉O,例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K,并且ZBAM=ZMAK.求证：BM+KD=KA.分析把RtABAM绕点A顺时针旋转90°到厶ADMZ,使BM与DN拼成一条线段的KM'，只要证明KM'=KA即可.练习3如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的

AM点，且ZNMB=ZMBC,求的值.AB如图，P是等边AABC内一点，ZAPB、ZBPC、ZCPA的大小之比为5：6：7,求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）.例4如图，在等腰三角形ABC中，ZCAB=90°,P是厶ABC内一点，且PA=1，PB=3,PC=f7，求ZAPC的度数.分析例4如图，在等腰三角形ABC中，ZCAB=90°,P是厶ABC内一点，且PA=1，PB=3,PC=f7，求ZAPC的度数.分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解练习4等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为.如图，P是正方形内的点，若PA=1,PB=2,PC=3，求ZAPB的度数.如图，正方形ABCD的边长为1,AB、AD各有一点P、0，若4APQ的周长为2,求ZPCQ.精品文档精品文档例5如图，在△ABC中，AB=3,AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值.分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把AABP绕B点顺时针旋转60°得厶DBC，则△ABP9ADBC..•・DC=AP,BD=BA，ZDBA=60°..•.△ABD是等边三角形，AD=AB=3.在AACD中，有DC〈AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DCW5,即APW5.……①在AACD中，有DC〉AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC21,即AP三1.……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习5如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若ZEAF=45°,AB=8，EF=7,求AEFC的面积.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13,过BC上的中线AD=6,如图，已知△ABC中，AB=AC,D为三角形内一点，ZADB>ZADC.试证明：CD>BD精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形.•・DE=BC,CE=BD,S=S"匸△BCD△CDE•.•△ABC与厶DBC同底等高，.S△ABC=S△BCD=S△CDE•S=S+S=S+S=S梯形ABCD△ABC△ACD△CDE△ACD△ACE又AE=AD+DE=3=\3+6=\'AC2+CE2,.△ACE为直角三角形，ZACE=90°..S13梯形abcd=Lace=2•AC^CE=2解：把长方形和平行四边形道路平移,在移动过程中道路面积不变,如图,则四块空白可组成长(b—c),宽(a—c)的空白长方形，其面积为(b_c)(a—c)二ab-bc-ac+c2.解：将EF平移为BG,BF平移为FG,作ZCFG的角平分线交BC于D,连结DG,则由平移知四边形BEFG是平行四边形..EF=BG,BE=FG.BE=CF,.FG=CF.VZ1=Z2,FD=FD..•.△FGD^AFCD(SAS)..•・DG=CD.在△BGD中,BG<BD+DG,.EF<BC．练习2解：过E、F、G、H分别平移AD、AB,交点分别为P、Q、R、T,则四边形PQRT为矩形.设正方形边长为a,PQ=b,PT=c,由勾股定理得b=v'32一a2,c=\：'42—a2,•S=S,△AEH△TEH

S=S，S=S，S=S△BEF△PEF△CFG△QFG△DGH△RGH则S+S=2S正方形ABCD矩形PQRT四边形EFGH•°.a2+b・c=10.即a2+32—a2•42—a2=10..•・.•・5a2=44.4444正方形ABCD_5°解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC44正方形ABCD_5°解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线,两线交于点D,则MC=AD.ZAPM=ZNPC=ZNAD……①•.•BM=NC,CD=AM=BC,ZDCN=ZCBM=90°,•••△DCN9ACBM.从而DN=MC,.DN=DA……②.\ZCMB=ZDNC.VZBCM+ZDMB=90°,

••・ZBCM+ZDNC=90°.即卩MC〃AD.・.ND丄AD.……③由①，②，③得ZAPM=45°.解：六个角都相等且都等于120°.将AB沿着BC平移到QC,CD沿着DE平移到ER,EF沿着FA平移到AP,•.•AB〃ED,BC〃EF,CD〃AF,・AB=QC,BC=AQ,CD=ER,DE=CR,EF=AP,FA=PE.•.•AB-ED=CD-AF=EF-BC,・QC-CR=ER-PE=AP-AQ.即PQ=PR=QR.AZ1=Z2=Z3=60°.由平行线性质知：ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120°.练习3解：将厶BAM绕B点旋转90°,A点变为C点，M点变为P点，连结MP,则厶BAM9ABCP..\ZBPC=ZBMA=ZCBM=ZNMB.VBM=BP,AZNMP=ZNPM.・MN=NP=NC+CP=NC+AM.设AB=1,AM=x,在Rt^MND中,则有2+x=\：（2）2+（1一x）2-.*.x=AM即繭解：将厶ABP绕B点顺时针旋转60°得厶BCP',连结PP',则厶ABP9ACBP'..•・AP=P‘C,BP=BP‘，ZAPB=ZCPZB.VZPBPZ=60°,.•.△BPP'是等边三角形..•・PP‘=BP,ZBPPZ=60°=ZBPZP.VZAPB：ZBPC：ZCAP=5：6：7,又ZAPB+ZBPC+ZCPA=360°,.•・ZAPB=100°,ZBPC=120°,ZCPA=140°,.•・Z1=12O°-60°=60°,Z2=100°-60°=40°,ZPCPZ=180°-60°-40°=80°.由PA=PZC,PPZ=PB,C是由PA、PB、PC组成的三角形..三内角之比为2：3：4.3•解：将厶ABH绕A点旋转90°得厶ADP,则厶ABH9AADP./.ZAPD=ZAHB=90°,AH=AP.VZBAD=ZBCD=90°,ZHAP=90°..四边形AHCP是正方形.•.•AH=1,.S=1=S+S正方形AHCP四边形AHCD△ADPS=S+S.四边形ABCD四边形AHCD△ABH*又7S^aop=S^abh-.S=S=1.四边形ABCD正方形AHCP练习41•解：如图，以A为中心将厶ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P'重合，连结AP‘，BP',PPZ则AP'=AP,BP'=CP,ZPAPZ=60°..•.△APP'是等边三角形，PP'=3.△BPP'中，BP=4,PP'=3,BP'=CP=5.精品文档精品文档精品文档由32+42=52．.•.△BPP'为直角三角形，ZBPP‘=90°••・ZBPA=150°.过B作BE丄AP，交AP延长线于E.•.•ZEPB=180°-150°=30°,在RtABEP中，BP=4,BE=2,EP=2J3,RtAABE中，BE=2,AE=2J3+3,AB2=22+(2$3+3)2=25+12*3.2.解：将厶ABP绕B点旋转90°，得△CBP，,连结PPZ,则厶ABP^^CBPZ..•・PB=BP‘=2,AP=PZC=1,ZAPB=ZCPZB.在RtAPBPZ中，BP=BPZ=2,.•・PP‘=2^2,ZBPzP=45°.在厶PPZC中，PC=3,PzC=1,PPZ=2^2.有PC2=PZC2+PzP2,C是直角三角形，ZPPZC=90°.AZAPB=ZCPZB=ZBPZP+ZPPZC=135°.解：将ACDQ绕C点旋转90°，得ACBM,则厶CDO9^CBM,ZQCM=90°.VZD=90°,ZCBA=90°,.P、B、M在一条直线上.•.•QA+AP+QP=2,DQ+AQ+AP+BP=2,.QP=DQ+BP.VBM=DQ,PM=PB+BM,.QP=PM.又CP=CP，CQ=CM..•.△CQP9ACMP.?.ZQCP=ZPCM.又ZQCP+ZPCM=ZQCM=900••・ZPCQ=45°.练习51.解：把厶ADF绕A点旋转到厶ABD'的位置.VZD和ZABC均为直角，.D'、B、E三点在一