圆形有界磁场中磁聚焦规律有答案

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹A甲半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。A甲规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强卜磁场，MN是一竖直放置的感光板•从圆形磁场最高点P垂直磁场射八X.xXXh2tn1入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑%f粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D•只要速度满足vqBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁感应强度B=0・25T。一群不计重力、质量m=3X10-7kg、电荷量q=+2X10-3C的带正电粒子以速度v=5X102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O]（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿X轴负方向的匀强电场，场强大小为E,—质量为m、电荷量为+q(q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O］点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：磁感应强度B的大小；粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与X轴正方向夹角0=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A(-210，-10)点到C(-210，0)点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m1!IP1IE討z/1oJx=2打的粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度v°沿x轴正方向射入电场。c\A6:/f*bJIJECx从A点射入的粒子恰好从y轴上的A(0,-1。)点沿沿X轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？⑶为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=21°上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=21°与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？5・如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B]=1T,方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（y=-10x2+x-0.025，单位：m）和直线DH（y=x-0.425，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=1x10-6kg（重力不计），电量大小为q=2x10-4C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至18Oo之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；6.如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域I、U和两个直径为L的圆形磁场区域皿、W。电场的场强大小均为E,区域I的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域U的边界相切；区域U的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域W的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为2^2mE，区域皿的圆心坐标为（0，L）、磁场方向垂直于xOy平qL2面向外；区域W的圆心坐标为（0，--）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为2m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（-3L，L）、（--L，222出巨L、的两点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂4直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：7・如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心°】在x轴上，OO］距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B］。虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿X轴负向，磁场磁感应强度大小为BQ。B］，BQ方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m,电荷量为q(粒子重力不计)。求：粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。若撤去磁场B2,贝I」经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。&如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0X10-3T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域，电场强度E=1.5X103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷纟=1.0x109C/kg带负电m的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子m，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：粒子M进入电场时的速度。速度方向与y轴正方向成30°(如图中所示)射入磁场的粒子N,最后打到荧光屏上，画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。9・如图甲所示，质量m=8.OX1O-25kg，电荷量q=1.6x10-i5C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v°=2.OX1O7m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(n=3.14)求:粒子从y轴穿过的范围。荧光屏上光斑的长度。打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)。参考答案1.当v丄B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为R=mv、T=沁的qBqB匀速圆周运动；只要速度满足v=qBR时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上,选项D正确。mv2・由R=--=0.3m知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa入qB射的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项D正确。3.解析:(1)当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；

v2mvmv由qvB=m知：B==-rqrqa从A点进入电场后作类平抛运动;沿水平方向做匀加速直线运动：vEqaX\m沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；二粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：tan0=^-r=v\mv2y0粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，。。占。?构成菱形,故粒子从P点的出射方向与OO］平行，即与y轴平行；轨迹如图所示；•••粒子从o到p所对应的圆心角为q=60。，粒子从o到p用时：t=-=竺。1163v由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=asin0=3a;12粒子在电场中做匀变速运动的时间：t=处;2Eq粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：t=2(a-S)=(2一'；'3)a3vv粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，PO’QO3构成菱形；由几何知识可知Q点13在x轴上，即为(2a，0)点；粒子由P到Q所对应的圆心角02=12Oo,粒子从P到Q用时：t时：t4=|2na•••粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：t=t+1+1+1貝+(2f"+如。1234vvEq4•解析：(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有t=2lov0从A点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知l=-Eq(-)202m2解得E解得E=8mloqt22mv2oql0(2)设距C点为Ay处入射的粒子通过电场后也沿x轴正方向，第一次达x轴用时At，有水平方向Ax=v°At竖直方向Ay=-qE(At)22m欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x轴正方向，有2lo=n-2Ax(n=1,2,3,…)

解得：Ay=—qE(-l^)2=-^0-n22mvn20n2‘0⑴"，2,3,…)即在n2‘0⑴"，2,3,…)当n=1时，粒子射出的坐标为y=110当n=2时，粒子射出的坐标为y=-11240当n>3时，沿X轴正方向射出的粒子分布在丫］到y2之间(如图)丫］到y2之间的距离为L=y-y=：1;1240则磁场的最小半径为R=-=51o28若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等(如图)，TOC\o"1-5"\h\z轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为mv28mv棱形，由qvB=o得：B=o0R5ql05•解析：(1)由qvB=m知：R==iRiB11(2)考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K点离开磁场，O］和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O］AO2K为菱形,离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x轴，得证。设粒子在第四象限进入电场时的坐标为(x，yi)，离开电场时的坐标为(x，y2)，离开电场时速度为v2；在电场中运动过程，动能定理：Eq(y—y)=mv2—mv221222其中y=—10x2+X—0.0025，y=x—0.425解得v°=100x122在日2磁场区域做圆周运动的半径为R有qvB=m孚解得R2=x2222R22因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因v2的方向与DH成45°,且直线HD与y轴的夹角为45。，贝I」所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为(0，-0.425)。6•解析：(1)粒子在区域I中运动，由动能定理得EqL=—mv2解得v=?EqL200Ym(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=m耸，又有B=2.，2mE，解得r=竺0=-0rVq-qB2因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M在磁场皿中运动四分之一个22周期后经过原点进入磁场W,再运动四分之一个周期后平行于X轴正方向离开磁场，进入电场U后做类平抛运动。假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，则M在电场U中运动的的时间t=—（1分）v0沿电场方向的位移2分）TOC\o"1-5"\h\z1EqLLL2分）=—at2=XX()2=<2mv420假设成立，运动轨迹如图所示。沿电场方向的速度v沿电场方向的速度vy速度的偏向角tan0=乙v0L_L设射出电场"后沿x轴方向的位移xi,有曽需=|M击中感光板的横坐标x=-+L+兀广2L，位置坐标为（2L,0）（1分）21（3）N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场皿，从原点O离开磁场皿进入磁场W,然后从d点离开磁场W,沿水平方向进入电场U。轨迹如图。亘L在磁场皿中，由几何关系cos0二二二迢L22则0=300，圆弧对应的圆心角^=1800-300=1500粒子在磁场中运动的周期T=2k粒子在磁场中运动的周期T=2kx2粒子在磁场山中运动的时间［=盖t由对称关系得粒子在磁场皿、W中运动时间相等;故粒子在磁场中运动的时间t=2t1=需7.解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有Eq=qvB02解得v0粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有化叮吟mEqBB12解得R=mEqBB12qB1qBB12由题意知粒子在磁场B］中圆周运动半径与该磁场半径相同，即R=qBB12(2)撤去磁场B2，,在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速R=2牛2竖直方向匀速y=vot竖直方向匀速y=vot=B22mREq从y轴出电场的坐标为y'二y+R)(3)证明：设从O点入射的任一粒子进入B］磁场时，速度方向与x轴成。角，粒子出B］磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO］O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO］平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直,即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界。进入正交电磁场E、B2中都有Eq=qvB故做直2o2线运动。&解析：⑴由沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m。粒子M在磁场中匀速圆周运动有：qvB=m-解得v=qBR=1x106m/sm(2)由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N在磁场中转过120°角后从P点垂Wm:直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。Wm:在电场中运动的加速度大小a=Eq=1.5x1012m/s2m穿出电场的竖直速度v=at=aL=7.5x105m/syv速度的偏转角tana=-^=0.75v在磁场中从P点穿出时距O点的竖直距离Ay1=1.5r=0.75m在电场中运动沿电场方向的距离%=2at2=1弓(v)2=0-1875m射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上Ay=(x-r-L)tana=0.75m3最好达到荧光屏上的竖直坐标y=Ay-(Ay+Ay)=-0.1875m123故发光点的位置坐标(2m，-0.1875m)9.解析：粒子在磁场中匀速圆周