基本不等式一轮复习导学案含答案

《基本不等式》一轮复习导学案2107.12【教学目标】I.了解基本不等式的证明过程.II.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.a^bf—【知识梳理】一、基本不等式:W]ab1．基本不等式成立的条件：.2．等号成立的条件：当且仅当时取等号．3.其中字称为正数a,b的算术平均数,寸Ob称为正数a,b的.二、基本不等式的变形a2+b2±2ab（a,b^R）.当且仅当a=b时取等号.abW（a,beR），当且仅当a=b时取等号.a+1^2（a>0）,当且仅当a=1时取等号；a+-W（a<0）,当且仅当a=-1时取等号.a|+b^2（a,b同号），当且仅当a=b时取等号.三、利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,贝U如果积xy（积为定值）是定值p,那么当且仅当时，x+y有最值是2\/p.（简记：积定和最小）如果和x+y（和为定值）是定值s,那么当且仅当时，积xy有最值是#•（简记：和定积最大）一．基础练习1•函数y=x+X（x>0）的值域为（）xA.(-^,-2]U[2,+^)B.(0,+^)C.[2,+^)D.(2,+^)

下列不等式：①a2+l>2a:②W2；③x2"-三1,abx2十1其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3若a>0,b>0,且a+2b~2=0,则ab的最大值为().A.1B.1C.2D.4(2011•重庆)若函数f(x)=x+」2x>2)在x=a处取最小值，则a=().x－2A.1+V2B.1+V3C.3D.4t2－4t+1TOC\o"1-5"\h\z已知t>0,则函数y=——t—的最小值为.考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,贝心+：的最小值为;xy2x⑵当x>0时，则f(x)=x2十1的最大值为.【训练1】(1)已知x>1,则fx)=x+」y的最小值为x－12(2)已知OVXV5,则y=2x—5x2的最大值为⑶若x,ye(0,+-)且2x+8y—xy=0,则x+y的最小值为.若x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y最小值为设x>0,y>0,z>0,且x-2y+3z=0,则—的最小值为xz若x,y满足4x2+y2+xy=1，则2x+y最小值为已知：a>b>c>0,则2a2+丄+--10ac+25c2最小值为aba(a-b)考向二利用基本不等式证明不等式例2】已知例2】已知a>0,b>0,c>0,求证：bc十a罟+色纹+方+。.bc【训练2】已知a>°,b>°,c>°,且a+b+cF.求证：出+^邛.考向三利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】>(2010.山东)若对任意x>0,x2+3x+]Wa恒成立，则a的取值范围是【训练3】(1)已知x>0，y>0，xy=x+2y，若xy三m—2恒成立，则实数m的最大值是．若正数x,y满足x+y=1,且-+—>4恒成立，则正数a的最小值为xy若正数x,y满足x+y=a,且—+—>4恒成立，则正数a的最大值为xy考向四利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时，总造价最低？课后巩固练习TOC\o"1-5"\h\z（2016・四川资阳诊断）已知a>0,b>0,且2a+b=ab，则a+2b的最小值为（）A.5+2<2B.8；/2C.5D.9（2016・辽宁师大附中模拟）函数y=loga（x+3）-1（a>0，且aM1）的图象恒过定点A,若点A12在直线mx+ny+1=0上，其中m,n均大于0,则一+-的最小值为（）mnA.2B.4C.8D.16（2015・北京海淀二模）已知f（x）=32x-（k+1）3x+2,当x£R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）Ad-1）B.（-g,2运1）C.（-1,2迈-1）D.（-2迈-1,2迈-1）（2016・山东泰安模拟）若直线1：十+扌=1（a>0，b>0）经过点（1,2）,则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是.参考答案参考答案I.D.(2,+兀)答案C解析①②不正确，③正确,x2+x2+i=(x2+l)+x2+]—1三2—1=1.答案B解析Va>0,b>0,a+2b=2,.・.a+2b=2±2.J丽，即ab<|.答案A解析当x>2时，x-2>0,fx)=(x—2)+x^+2±2\；：(x—2)Xx^+2=4,当且仅当x-2=-—2(x>2)，即x=3时取等号，即当fx)取得最小值时，xx—2=3,即a=3.答案CTOC\o"1-5"\h\zt2—4t+11解析•.•t>O,.・.y=-——=t+t—422—4=—2,当且仅当t=1时取等号．答案－2【例1】解析(1)Vx>0,y>0,且2x+y=1,取等号．・.丄+1=4+仝=3+》+空三3+2辺.当且仅当》=空时,-y-y-y-y取等号．⑵Tx>0,・\f(—)=—2+1=W》=1,当且仅当――-，即――1时取等号X-一-答案(1)3+2©(2)1【训练1】.解析(1)T->1,.・.f-)=(-—1)+-—7+122+1=3当且仅当--—112=2时取等号.(2)y=2-—5-2=-(2—5-)=壬5-・(2—5-),丁0<-<5，二5-<2,2—5-—5->0,5-(2—5-)W[5-+2_祚=1,/.y<5,当且仅当5-=2—5-,1128即-=5时，ymax=§.(3)由2-+8y—-y=0,得2-+8y=-y,^y+-=1，.•.-+歹=(-+歹)[|+弓=10+¥+2-=10+2岸+2210+2乂2乂\[丰・：=18,4y-当且仅当一=-，即-=2y时取等号，又2-+8y—-y=0,A-=12,y=6,-y二当-=12,y=6时，-+y取最小值18.

答案(1)3(3)18例2】证明...be、ca、becabe,ab、•a>°，答案(1)3(3)18例2】证明...be、ca、becabe,ab、•a>°，b>°，c>°，•盲+万±2a•-=2c；万+7三2年+告2\俘ab=2a.以上三式相加得：2仔+芳+乎>2(。bc+b+c)，即佟a号+弊a+b+c.训练2】证明Ta〉。,111a＋b＋ca＋b＋cb>0,c>0,且a+b+c=l,・：一+〒+-=+4a+b十芦」a+b+cb=3+一ca岸+a+b+a+「3+(@+令+$+片+(b+babbcc\ab)\ac)\bc23+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=3时，取等号.解析若对任意x>0,x2+3x+]Wa恒成立，只需求得y=x2+3x+i的最大值即可，因为x>0，所以y=2+3+]=1W=5，当且仅当x=1时取

XXx+x+32\応等号，所以a的取值范围是|，+^5，+*【训练3】解析由x>0,y>0,xy=x+2y±2羽仓，得xy±8,于是由m—2<xy恒成立，得m—2<8,mW10，故m的最大值为10.答案10例3.解由题意可得，造价y=3(2xX150+^X400)+5800=900[x+1-6|+5x\x)800(0VxW5)，则y=900\x+1x6)+58002900X2\：xX1X6+5800=13000(元),当且仅当x=x，即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.x试一试】尝试解答a2+ab+a^=a2—ab+ab+Ob+a^=a(a—b)+试一试】尝试解答詁寸此+詁\]a(a_»以七+2\；加缶=2+2=4.当且仅当a(a—b)=a(a—b)且ab=Ob，即a=2b时，等号成立.答案D课后巩固练习bD[Va>0,b>0,且2a+b=ab,・・・a='>0,解得b>2.b－2b2f2则a+2b=b_?+2b=1+方_?+2(b—2)+4彳5+2飞；'方_2*2("—2)=9,当且仅当b=3,a=3时取等号，其最小值为9.]C[Vx=-2时，y=loga1-1=-1,・函数y=loga(x+3)—1(a>0,a^l)的图象恒过定点(-2,-1)，即A(-2,-1),点A在直线mx+ny+/r