计算流体力学CFD课件5

第13章计算流体力学CFD(5)第13章计算流体力学CFD(5)16计算流体力学的基本方法6计算流体力学的基本方法26.1Lax-Wendroff方法6.1Lax-Wendroff方法3Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一种显式有限差分方法，适合于推进求解。二维时间推进网格Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一4Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在时间和空间上都具有二阶精度。二维时间推进网格Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在时5Lax-Wendroff方法非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒形式）：Lax-Wendroff方法非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒6Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进求解(沿时间方向进行泰勒级数展开)：Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进7Lax-Wendroff方法空间导数采用中心差分：Lax-Wendroff方法空间导数采用中心差分：8Lax-Wendroff方法()求对时间t的二阶导数：Lax-Wendroff方法()求对时间t的二阶导数：9Lax-Wendroff方法[]Lax-Wendroff方法[]10Lax-Wendroff方法[]Lax-Wendroff方法[]11Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进求解：Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进126.2MacCormack方法6.2MacCormack方法13MacCormack方法MacCormack方法在时间和空间上都具有二阶精度。MacCormack方法是一种显式有限差分方法，适合于推进求解。MacCormack方法比Lax-Wendroff方法应用起来更简单。MacCormack方法MacCormack方法在时间和空间14MacCormack方法校正步预估步MacCormack方法校正步预估步15MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。16MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。预估值：MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。预估17MacCormack方法校正步：空间导数用向后差分计算。MacCormack方法校正步：空间导数用向后差分计算。18MacCormack方法MacCormack方法19MacCormack方法在MacCormack方法中，预估步用向前差分，校正步用向后差分；也可以预估步用向后差分，校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相继两个时间步中轮流使用这两种办法。MacCormack方法在MacCormack方法中，预估步206.3粘性流动、守恒形式和空间推进6.3粘性流动、守恒形式和空间推进216.3.1粘性流动6.3.1粘性流动22粘性流动粘性流动的控制方程是N-S方程。对定常流动，N-S方程的数学性质更多地表现为椭圆型的，不能采用Lax-Wendroff方法和MacCormack方法求解。对非定常流动，可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解N-S方程。粘性流动粘性流动的控制方程是N-S方程。对定常流动，N-S方236.3.2守恒形式6.3.2守恒形式24守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解U的分量在各时间步的值。非定常守恒形式欧拉方程（二维）：守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCorm256.3.3空间推进6.3.3空间推进26空间推进定常守恒型二维欧拉方程：对于亚声速流动，上述方程是椭圆型的，所有空间推进方法都不适用，MacCormack方法也不适用。空间推进定常守恒型二维欧拉方程：对于亚声速流动，上述方程是椭27空间推进对于超声速流动，上述方程是双曲型的，空间推进方法适用，MacCormack方法也适用。定常守恒型二维欧拉方程：空间推进对于超声速流动，上述方程是双曲型的，空间推进方法适用28空间推进MacCormack方法：定常守恒型二维欧拉方程：空间推进MacCormack方法：定常守恒型二维欧拉方程：29空间推进预测步：（向前差分）预估值：空间推进预测步：（向前差分）预估值：30空间推进预估值：空间推进预估值：31空间推进校正步：（向后差分）空间推进校正步：（向后差分）326.4松弛法及其在低速无粘流动中的应用6.4松弛法及其在低速无粘流动中的应用33松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程，常被用来求解无粘亚声速的低速流动。松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法特别适合于求解椭圆型偏34松弛法及其在低速无粘流动中的应用考虑无粘不可压流体的二维无旋流动，控制方程为Laplace方程：松弛法及其在低速无粘流动中的应用考虑无粘不可压流体的二维无旋35松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法上标n和n+1表示迭代次数松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法上标n和n36松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法37松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法38松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法从左至右扫描松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法从左至右扫39松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法当所有网格点处的都小于一个预定的值时，迭代收敛。松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法当所有网格40松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。从左至右扫描从下至上扫描松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过41松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。是松弛因子，如果>1，叫做逐次超松弛法；如果<1，叫做逐次低松弛法。松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过42松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。选取合适的值，可以减少迭代次数，从而减少计算时间。在某些问题中，迭代次数可减少到原来的1/30松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过436.5数值耗散、色散及人工粘性6.5数值耗散、色散及人工粘性44数值耗散、色散及人工粘性一维波动方程：差分方程：截断误差：数值耗散、色散及人工粘性一维波动方程：差分方程：截断误差：45数值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒级数展开：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒级数展开：46数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程47数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程48数值耗散、色散及人工粘性差分方程：等号右边将对t的偏导数转化为对x的偏导数得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：等号右边将对t的偏导数转化49数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一维波动方程（偏微分方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一50数值耗散、色散及人工粘性差分方程：一维波动方程（偏微分方程）：差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解（含误差）数值耗散、色散及人工粘性差分方程：一维波动方程（偏微分方程）51数值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精确解是上述修正方程的精确解（不含误差）偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精确解是上述修正52数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一维波动方程（偏微分方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一53数值耗散、色散及人工粘性修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性修正方程等号右端的项是截断误差，如果54数值耗散、色散及人工粘性等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数项起数值色散的作用。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作55数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数项前的系数被称为人工粘性。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数56数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的影响会将波抹平数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的影响会将波抹平57数值耗散、色散及人工粘性色散导致波的不同相位在传播中产生畸变，表现为波前和波后出现振荡。数值耗散、色散及人工粘性色散导致波的不同相位在传播中产生畸变58数值耗散、色散及人工粘性尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的稳定性。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有596.6交替方向隐式(ADI)方法6.6交替方向隐式(ADI)方法60交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：等号右端有五个未知量，不能得到三对角方程组，不能采用托马斯算法（追赶法）求解。采用Crank-Nicolson方法（隐式）：交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：等号右端有五个61交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第一步：时间步长为，空间导数采用中心差分，只对x的导数采用隐式处理。交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第一步：时间步62交替方向隐式(ADI)方法第一步：简化为三对角形式交替方向隐式(ADI)方法第一步：简化为三对角形式63交替方向隐式(ADI)方法第一步：对每一个固定的j，对所有的i联立形成方程组。对不同的j，重复上述过程。交替方向隐式(ADI)方法第一步：对每一个固定的j，对所有的64交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第二步：时间步长为，空间导数采用中心差分，只对y的导数采用隐式处理。交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第二步：时间步65交替方向隐式(ADI)方法第二步：简化为三对角形式交替方向隐式(ADI)方法第二步：简化为三对角形式66交替方向隐式(ADI)方法第二步：对每一个固定的i，对所有的j联立形成方程组。对不同的i，重复上述过程。交替方向隐式(ADI)方法第二步：对每一个固定的i，对所有的67交替方向隐式(ADI)方法两步结束之后，T在时间方向上推进了一个时间步长t.考虑二维热传导方程：推进过程只涉及三对角方程组。交替方向隐式(ADI)方法两步结束之后，T在时间方向上推进了68交替方向隐式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隐式的。考虑二维热传导方程：所以这种方法叫交替方向隐式方法(AlternatingDirectionImplicit,ADI)第二步，差分方程的y方向是隐式的。交替方向隐式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隐式的。69交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：ADI格式对t,x,y都是二阶精度的截断误差为：交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：ADI格式对t706.7压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用6.7压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用71压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压无粘流动受椭圆型偏微分方程控制（不可压欧拉方程），松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法，本质上是一个迭代过程。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压无粘流动受椭圆型72压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压粘性流动的控制方程是不可压的N－S方程，这个方程具有椭圆型和抛物型的混合特性，松弛法不是特别适用。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压粘性流动的控制方73压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用压力修正法也是一种迭代过程，在不可压N－S方程的数值求解中得到了广泛的应用。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用压力修正法也是一种迭代746.7.1不可压N－S方程6.7.1不可压N－S方程75不可压N－S方程假设=常数，=常数，可压缩N－S方程转化为不可压N－S方程：上述四个方程封闭，含四个未知数。不可压N－S方程假设=常数，=常数，可压缩N－S方程转化766.7.2交错网格的应用6.7.2交错网格的应用77交错网格的应用二维不可压流体的连续性方程为：中心差分格式为：右上角是u的值，左下角是v的值速度会出现右图的棋盘式分布交错网格的应用二维不可压流体的连续性方程为：中心差分格式为：78交错网格的应用右上角是u的值，左下角是v的值可压流动中不会发生右图的问题，因为连续性方程中包含了密度对时间和空间的变化。在可压缩流动中，右图速度的棋盘分布经过一个时间步就会被抹平。交错网格的应用右上角是u的值，左下角是v的值可压流动中不会发79交错网格的应用二维不可压流体压力梯度采用中心差分：棋盘式的离散压力分布压力会出现右图的棋盘式分布交错网格的应用二维不可压流体压力梯度采用中心差分：棋盘式的离80交错网格的应用在交错网格上使用中心差分就不会出现速度和压力的棋盘式分布问题。交错网格交错网格的应用在交错网格上使用中心差分就不会出现速度和压力的81交错网格的应用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i,j-1)等图中的实心原点上计算压力交错网格交错网格的应用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j82交错网格的应用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等图中的空心原点上计算u交错网格在(i,j-1/2),(i,j+1/2)等图中的空心原点上计算v交错网格的应用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等83交错网格的应用连续性方程在网格点(i,j)的中心差分表达式为：交错网格交错网格的应用连续性方程在网格点(i,j)的中心差分表达式为846.7.3压力修正法的基本原理6.7.3压力修正法的基本原理85压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：1）迭代开始时，先给定压力的初始近似p*2）用p*的值从动量方程中求解u,v,w,得到与p*有关的u*,v*,w*压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：86压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：修正后的压力为3）将u*,v*,w*代入连续性方程，它们不一定满足连续性方程。用连续性方程构造压力的修正量,加到p*上，使速度场满足连续性方程。修正后的速度为速度修正量可以从得到。压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：87压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：4）用步骤3)中修正后的压力做为新的p*，回到步骤2)。重复这个过程，直到速度场满足连续性方程为止。这样就得到修正好了的流场。压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：886.7.4压力修正公式6.7.4压力修正公式89压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式压力修正公式为：90压力修正公式压力修正公式为：上述压力修正公式具有椭圆型的性质，可以用松弛法数值求解。在不可压流场中，压力的扰动将会传遍整个流场，这与上述方程的椭圆型性质相吻合。压力修正公式压力修正公式为：上述压力修正公式具有椭圆型的性质91压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式是压力修正的泊松方程的中心差分表达式。上述泊松方程中的二阶偏导数用中心差分替代。式中：压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式是压力修正92压力修正公式压力修正的泊松方程(为椭圆型)：d相当于一个质量源项。压力修正公式压力修正的泊松方程(为椭圆型)：d936.7.5数值方法：SIMPLE方法6.7.5数值方法：SIMPLE方法94数值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-implicitmethodforpressure-linkedequation(压力耦合方程的半隐式算法)的缩写。数值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-impli95数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：1）在右图所示的交错网格上分别给出数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：1）在96数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：2）求出采用动量方程求解。数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：2）求97数值方法：SIMPLE方法2）的求法：X方向的动量方程：数值方法：SIMPLE方法2）98数值方法：SIMPLE方法2）的求法：在a点：在b点：数值方法：SIMPLE方法2）99数值方法：SIMPLE方法X方向的动量方程：差分方程：数值方法：SIMPLE方法X方向的动量方程：差分方程：100数值方法：SIMPLE方法差分方程：X方向的动量方程：数值方法：SIMPLE方法差分方程：X方向的动量方程：101数值方法：SIMPLE方法2）的求法：数值方法：SIMPLE方法2）102数值方法：SIMPLE方法2）的求法：数值方法：SIMPLE方法2）103数值方法：SIMPLE方法2）的求法：Y方向的动量方程：数值方法：SIMPLE方法2）104数值方法：SIMPLE方法2）的求法：在c点：在d点：数值方法：SIMPLE方法2）105数值方法：SIMPLE方法Y方向的动量方程：差分方程：数值方法：SIMPLE方法Y方向的动量方程：差分方程：106数值方法：SIMPLE方法2）的求法：数值方法：SIMPLE方法2）107数值方法：SIMPLE方法3）将和代入压力修正公式，在所有内部网格点上求解数值方法：SIMPLE方法3）将108数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：4）在所有内部网格点上计算数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：4）在109数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：5）将作为新的，重复步骤(2)至步骤(5)，直到收敛。收敛的合理标准是质量源项d趋于零。数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：5）将110数值方法：SIMPLE方法对于某些应用，压力修正公式会发散，而不是收敛，此时，可采用低松弛：为低松弛因子，建议取为0.8数值方法：SIMPLE方法对于某些应用，压力修正公式会发散，1116.7.6压力修正法的边界条件6.7.6压力修正法的边界条件112压力修正法的边界条件对不可压粘性流动，如果给定下列边界条件，则物理问题是唯一确定的：压力修正法的边界条件对不可压粘性流动，如果给定下列边界条件，113压力修正法的边界条件1）在入流边界上，p和v给定，u是变化的。为零给定，并保持不变压力修正法的边界条件1）在入流边界上，p和v给定，u是变化的114压力修正法的边界条件2）在出流边界上，p给定，u和v是变化的。为零压力修正法的边界条件2）在出流边界上，p给定，u和v是变化的115压力修正法的边界条件3）在壁面上，给定粘性无滑移条件，于是壁面速度为零。压力修正法的边界条件3）在壁面上，给定粘性无滑移条件，于是壁116压力修正法的边界条件3）在壁面上：在壁面附近，很小，假设，则有压力修正法的边界条件3）在壁面上：在壁面附近，很小，117压力修正法的边界条件3）在壁面上：压力修正法的边界条件3）在壁面上：118压力修正法的边界条件压力修正方程具有椭圆型性质，在计算区域的整个边界上都给定了关于压力的边界条件。压力修正法的边界条件压力修正方程具有椭圆型性质，在计算区域的1196.8用于CFD的计算机绘图技术6.8用于CFD的计算机绘图技术1206.8.1xy图6.8.1xy图1216.8.2等值线图6.8.2等值线图1226.8.3向量图和流线图6.8.3向量图和流线图123向量图和流线图高超声速飞行器表面上的三维向量图和流线图向量图和流线图高超声速飞行器表面上的三维向量图和流线图1246.8.4网格图机翼绕流计算的三维网格图6.8.4网格图机翼绕流计算的三维网格图1256.8.5组合图6.8.5组合图126第13章计算流体力学CFD(5)第13章计算流体力学CFD(5)1276计算流体力学的基本方法6计算流体力学的基本方法1286.1Lax-Wendroff方法6.1Lax-Wendroff方法129Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一种显式有限差分方法，适合于推进求解。二维时间推进网格Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一130Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在时间和空间上都具有二阶精度。二维时间推进网格Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在时131Lax-Wendroff方法非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒形式）：Lax-Wendroff方法非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒132Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进求解(沿时间方向进行泰勒级数展开)：Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进133Lax-Wendroff方法空间导数采用中心差分：Lax-Wendroff方法空间导数采用中心差分：134Lax-Wendroff方法()求对时间t的二阶导数：Lax-Wendroff方法()求对时间t的二阶导数：135Lax-Wendroff方法[]Lax-Wendroff方法[]136Lax-Wendroff方法[]Lax-Wendroff方法[]137Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进求解：Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff显式推进1386.2MacCormack方法6.2MacCormack方法139MacCormack方法MacCormack方法在时间和空间上都具有二阶精度。MacCormack方法是一种显式有限差分方法，适合于推进求解。MacCormack方法比Lax-Wendroff方法应用起来更简单。MacCormack方法MacCormack方法在时间和空间140MacCormack方法校正步预估步MacCormack方法校正步预估步141MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。142MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。预估值：MacCormack方法预估步：空间导数用向前差分计算。预估143MacCormack方法校正步：空间导数用向后差分计算。MacCormack方法校正步：空间导数用向后差分计算。144MacCormack方法MacCormack方法145MacCormack方法在MacCormack方法中，预估步用向前差分，校正步用向后差分；也可以预估步用向后差分，校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相继两个时间步中轮流使用这两种办法。MacCormack方法在MacCormack方法中，预估步1466.3粘性流动、守恒形式和空间推进6.3粘性流动、守恒形式和空间推进1476.3.1粘性流动6.3.1粘性流动148粘性流动粘性流动的控制方程是N-S方程。对定常流动，N-S方程的数学性质更多地表现为椭圆型的，不能采用Lax-Wendroff方法和MacCormack方法求解。对非定常流动，可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解N-S方程。粘性流动粘性流动的控制方程是N-S方程。对定常流动，N-S方1496.3.2守恒形式6.3.2守恒形式150守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解U的分量在各时间步的值。非定常守恒形式欧拉方程（二维）：守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCorm1516.3.3空间推进6.3.3空间推进152空间推进定常守恒型二维欧拉方程：对于亚声速流动，上述方程是椭圆型的，所有空间推进方法都不适用，MacCormack方法也不适用。空间推进定常守恒型二维欧拉方程：对于亚声速流动，上述方程是椭153空间推进对于超声速流动，上述方程是双曲型的，空间推进方法适用，MacCormack方法也适用。定常守恒型二维欧拉方程：空间推进对于超声速流动，上述方程是双曲型的，空间推进方法适用154空间推进MacCormack方法：定常守恒型二维欧拉方程：空间推进MacCormack方法：定常守恒型二维欧拉方程：155空间推进预测步：（向前差分）预估值：空间推进预测步：（向前差分）预估值：156空间推进预估值：空间推进预估值：157空间推进校正步：（向后差分）空间推进校正步：（向后差分）1586.4松弛法及其在低速无粘流动中的应用6.4松弛法及其在低速无粘流动中的应用159松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程，常被用来求解无粘亚声速的低速流动。松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法特别适合于求解椭圆型偏160松弛法及其在低速无粘流动中的应用考虑无粘不可压流体的二维无旋流动，控制方程为Laplace方程：松弛法及其在低速无粘流动中的应用考虑无粘不可压流体的二维无旋161松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法上标n和n+1表示迭代次数松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法上标n和n162松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法163松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法164松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法从左至右扫描松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法从左至右扫165松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法当所有网格点处的都小于一个预定的值时，迭代收敛。松弛法及其在低速无粘流动中的应用松弛法是一种迭代法当所有网格166松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。从左至右扫描从下至上扫描松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过167松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。是松弛因子，如果>1，叫做逐次超松弛法；如果<1，叫做逐次低松弛法。松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过168松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过程。选取合适的值，可以减少迭代次数，从而减少计算时间。在某些问题中，迭代次数可减少到原来的1/30松弛法及其在低速无粘流动中的应用运用逐次松弛法可加快收敛的过1696.5数值耗散、色散及人工粘性6.5数值耗散、色散及人工粘性170数值耗散、色散及人工粘性一维波动方程：差分方程：截断误差：数值耗散、色散及人工粘性一维波动方程：差分方程：截断误差：171数值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒级数展开：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒级数展开：172数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程173数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：将泰勒级数展开代入差分方程174数值耗散、色散及人工粘性差分方程：等号右边将对t的偏导数转化为对x的偏导数得：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：等号右边将对t的偏导数转化175数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一维波动方程（偏微分方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一176数值耗散、色散及人工粘性差分方程：一维波动方程（偏微分方程）：差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解（含误差）数值耗散、色散及人工粘性差分方程：一维波动方程（偏微分方程）177数值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精确解是上述修正方程的精确解（不含误差）偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精确解是上述修正178数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一维波动方程（偏微分方程）：数值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一179数值耗散、色散及人工粘性修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性修正方程等号右端的项是截断误差，如果180数值耗散、色散及人工粘性等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数项起数值色散的作用。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作181数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数项前的系数被称为人工粘性。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数182数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的影响会将波抹平数值耗散、色散及人工粘性数值耗散的影响会将波抹平183数值耗散、色散及人工粘性色散导致波的不同相位在传播中产生畸变，表现为波前和波后出现振荡。数值耗散、色散及人工粘性色散导致波的不同相位在传播中产生畸变184数值耗散、色散及人工粘性尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的稳定性。偏微分方程（修正方程）：数值耗散、色散及人工粘性尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有1856.6交替方向隐式(ADI)方法6.6交替方向隐式(ADI)方法186交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：等号右端有五个未知量，不能得到三对角方程组，不能采用托马斯算法（追赶法）求解。采用Crank-Nicolson方法（隐式）：交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：等号右端有五个187交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第一步：时间步长为，空间导数采用中心差分，只对x的导数采用隐式处理。交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第一步：时间步188交替方向隐式(ADI)方法第一步：简化为三对角形式交替方向隐式(ADI)方法第一步：简化为三对角形式189交替方向隐式(ADI)方法第一步：对每一个固定的j，对所有的i联立形成方程组。对不同的j，重复上述过程。交替方向隐式(ADI)方法第一步：对每一个固定的j，对所有的190交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第二步：时间步长为，空间导数采用中心差分，只对y的导数采用隐式处理。交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：第二步：时间步191交替方向隐式(ADI)方法第二步：简化为三对角形式交替方向隐式(ADI)方法第二步：简化为三对角形式192交替方向隐式(ADI)方法第二步：对每一个固定的i，对所有的j联立形成方程组。对不同的i，重复上述过程。交替方向隐式(ADI)方法第二步：对每一个固定的i，对所有的193交替方向隐式(ADI)方法两步结束之后，T在时间方向上推进了一个时间步长t.考虑二维热传导方程：推进过程只涉及三对角方程组。交替方向隐式(ADI)方法两步结束之后，T在时间方向上推进了194交替方向隐式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隐式的。考虑二维热传导方程：所以这种方法叫交替方向隐式方法(AlternatingDirectionImplicit,ADI)第二步，差分方程的y方向是隐式的。交替方向隐式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隐式的。195交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：ADI格式对t,x,y都是二阶精度的截断误差为：交替方向隐式(ADI)方法考虑二维热传导方程：ADI格式对t1966.7压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用6.7压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用197压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压无粘流动受椭圆型偏微分方程控制（不可压欧拉方程），松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法，本质上是一个迭代过程。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压无粘流动受椭圆型198压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压粘性流动的控制方程是不可压的N－S方程，这个方程具有椭圆型和抛物型的混合特性，松弛法不是特别适用。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用不可压粘性流动的控制方199压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用压力修正法也是一种迭代过程，在不可压N－S方程的数值求解中得到了广泛的应用。压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用压力修正法也是一种迭代2006.7.1不可压N－S方程6.7.1不可压N－S方程201不可压N－S方程假设=常数，=常数，可压缩N－S方程转化为不可压N－S方程：上述四个方程封闭，含四个未知数。不可压N－S方程假设=常数，=常数，可压缩N－S方程转化2026.7.2交错网格的应用6.7.2交错网格的应用203交错网格的应用二维不可压流体的连续性方程为：中心差分格式为：右上角是u的值，左下角是v的值速度会出现右图的棋盘式分布交错网格的应用二维不可压流体的连续性方程为：中心差分格式为：204交错网格的应用右上角是u的值，左下角是v的值可压流动中不会发生右图的问题，因为连续性方程中包含了密度对时间和空间的变化。在可压缩流动中，右图速度的棋盘分布经过一个时间步就会被抹平。交错网格的应用右上角是u的值，左下角是v的值可压流动中不会发205交错网格的应用二维不可压流体压力梯度采用中心差分：棋盘式的离散压力分布压力会出现右图的棋盘式分布交错网格的应用二维不可压流体压力梯度采用中心差分：棋盘式的离206交错网格的应用在交错网格上使用中心差分就不会出现速度和压力的棋盘式分布问题。交错网格交错网格的应用在交错网格上使用中心差分就不会出现速度和压力的207交错网格的应用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i,j-1)等图中的实心原点上计算压力交错网格交错网格的应用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j208交错网格的应用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等图中的空心原点上计算u交错网格在(i,j-1/2),(i,j+1/2)等图中的空心原点上计算v交错网格的应用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等209交错网格的应用连续性方程在网格点(i,j)的中心差分表达式为：交错网格交错网格的应用连续性方程在网格点(i,j)的中心差分表达式为2106.7.3压力修正法的基本原理6.7.3压力修正法的基本原理211压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：1）迭代开始时，先给定压力的初始近似p*2）用p*的值从动量方程中求解u,v,w,得到与p*有关的u*,v*,w*压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：212压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：修正后的压力为3）将u*,v*,w*代入连续性方程，它们不一定满足连续性方程。用连续性方程构造压力的修正量,加到p*上，使速度场满足连续性方程。修正后的速度为速度修正量可以从得到。压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：213压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：4）用步骤3)中修正后的压力做为新的p*，回到步骤2)。重复这个过程，直到速度场满足连续性方程为止。这样就得到修正好了的流场。压力修正法的基本原理压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：2146.7.4压力修正公式6.7.4压力修正公式215压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式压力修正公式为：216压力修正公式压力修正公式为：上述压力修正公式具有椭圆型的性质，可以用松弛法数值求解。在不可压流场中，压力的扰动将会传遍整个流场，这与上述方程的椭圆型性质相吻合。压力修正公式压力修正公式为：上述压力修正公式具有椭圆型的性质217压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式是压力修正的泊松方程的中心差分表达式。上述泊松方程中的二阶偏导数用中心差分替代。式中：压力修正公式压力修正公式为：压力修正公式是压力修正218压力修正公式压力修正的泊松方程(为椭圆型)：d相当于一个质量源项。压力修正公式压力修正的泊松方程(为椭圆型)：d2196.7.5数值方法：SIMPLE方法6.7.5数值方法：SIMPLE方法220数值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-implicitmethodforpressure-linkedequation(压力耦合方程的半隐式算法)的缩写。数值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-impli221数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：1）在右图所示的交错网格上分别给出数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：1）在222数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：2）求出采用动量方程求解。数值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步骤如下：2）求223数值方法：SIMPLE方法2）的求法：X方向的动量方程：数值方法：SIMPLE方法2）