相似三角形预备定理

关于相似三角形预备定理第1页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.两个条件要同时具备第2页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.相似三角形的判定:2、△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为AC′B′A′CB∴△ABC∽△A´B´C´∵符号语言：在△ABC和△A´B´C´中，第3页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五对应角_______,对应边——————的两个三

角形,叫做相似三角形.相等比相等

相似三角形的———————,各对应边—。对应角相等比相等∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FA△ABC∽

△DEFBCDFE相似比:

=kk1

两三角形相似k=1

两三角形全等第4页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五问题二如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3?ABC?EDFBIDICIEIFI32CIFI则=

ACI第5页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4

、l5.分别度量l3、l4

、l5

在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度.

相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5

任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.

相等吗？探究：第6页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五定理的符号语言

L3//L4//L5=ABDEBCEF(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.定理DEFABCL3L4L5L1L2第7页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五ABCDEFl1l3l2........形象记忆第8页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五ABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例定理）6BC=\42BC3即=EFDEBCAB=\//l//ll解：321Q第9页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五ABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：此图与前面图形有何不同？ABCDEF（平行线分线段成比例定理）.nmmDFDE+=\.mnmDEDF即+=，mmnDEDEEF+=+mnDEEF=\nmEFDEBCAB==\,//l//ll321Q：证明ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF第10页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5

如图，l3∥l4∥l5,请指出成比例的线段.练习：第11页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5第12页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5ABCEDABCDE∵DE∥BCADAEACAB=∵∵DE∥BCADAEACAB=∵数学符号语言数学符号语言平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等第13页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？相似比是多少？第14页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五提出问题：如图，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么关系？第15页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五思考:改变点D在AB上的位置，请猜想∆ADE与∆ABC是否相似?说明理由.第16页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五如图,在△ABC中,DE//BC,DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC有什么关系?思考？第17页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

直觉告诉我们,△ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.先证明两个三角形的对应角相等.在△ADE与△ABC中,∠A=∠A,∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.第18页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五再证明两个三角形的对应边的比相等.过E作EF//AB,EF交BC于F点.在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.第19页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五即:△ADE与△ABC中,∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC第20页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。△ADE∽△ABCDE//BC第21页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）在△ABC中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC符号语言：ABCDE（图1）（图2）DEOBC“A”型“X”型第22页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练习：三角形相似具有传递性!1.EF∥AB2.EF∥CDΔOAB∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABΔOEF∽ΔOCD或：ΔOEF∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABABFCDEO3.AB∥CDΔOAB∽ΔOCD第23页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

2、如图,已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。ABCDFE练习：三角形相似具有传递性!1.DE∥BC2.DF∥ACΔADE∽ΔDBFΔADE∽ΔABCΔDBF∽ΔABC3.ΔDBF∽ΔABCΔADE∽ΔABC第24页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五ABDEC这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：“A”型和“X”型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！ABCDE第25页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形判定的预备定理：DABCE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC第26页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五

如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解：与△ABC相似的三角形有3个:

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO第27页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4运用第28页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五观察1如图已知DE∥BC

∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练一练1ABCDFEABCDFEG第29页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结BC交对角线AC于E，交AD于F，则：(1)图中与△AEF相似的三角形有___。(2)图中与△ABC相似的三角形有___。(3)图中与△GFD相似的三角形____。第30页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五5、如图，在ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。ABCDEFABCED3:53:53:5第31页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五7．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．第32页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．第33页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，E,F为中点.求证：（1）△EDM∽△FBM；

(2)BD=9，求BM的长拓展提高：第34页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五10.已知EF∥BC,求证:第35页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五11.已知EF∥BC,FG∥DC,求证:第36页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五12.已知DE∥BC,EF∥CD,求证:第37页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）

A1对 B2对 C3对 D4对第38页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五谈谈你的收获吧……第39页，共43页，2022年，5月20日，13点30分，星期五相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。总结反思第40页，共43页，