直线斜率与直线位置关系

关于直线斜率与直线位置关系第1页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.第2页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五第3页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五1.直线的倾斜角第4页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五2.直线的斜率第5页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五[思考探究]过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时直线的倾斜角和斜率怎样？提示：当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，倾斜角α＝90°，其斜率不存在.第6页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五3.两条直线平行与垂直的判定若直线l1和l2的斜截式方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)直线l1∥l2的充要条件是

.(2)直线l1⊥l2的充要条件是

.

若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.

若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.k1＝k2且b1≠b2k1·k2＝－1第7页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五1.过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 (

)A.1

B.4C.1或3 D.1或4解析：由＝1，得m＝1.答案：A第8页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五2.已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于 (

)A.2 B.1C.0 D.－1解析：由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.也可以代入检验.答案：D第9页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五3.斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是(

)A.0°<α<45° B.45°<α<90°C.90°<α<135°D.135°<α<180°解析：∵k＝2>1，即tanα>1，∴45°<α<90°，∴倾斜角的范围是45°<α<90°.答案：B第10页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五答案：－4.直线l1的倾斜角为60°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k2＝

.解析：由斜率定义，直线l1的斜率k1＝tan60°＝.∵l2⊥l1，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－.第11页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五5.已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3).则l1与l2的位置关系为

.解析：∵kl1＝＝－，kl2＝＝－，∴k1＝k2，结合图知l1与l2不重合，∴l1∥l2.答案：l1∥l2第12页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五第13页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

倾斜角和斜率的关系1.斜率k是一个实数，每条直线存在惟一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.第14页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，当α由0增大到(α≠)时，k由0增大到＋∞；当α由(α≠)增大到π(α≠π)时，k由负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断.第15页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(

)A.[)∪(]

B.[0，]∪[，π)C.[0，] D.[][思路点拨]第16页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五[课堂笔记]由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤ .设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.结合正切函数在[0，)∪(，π)上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.[答案]

B第17页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五1.求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k＝tanα来求斜率.2.利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线.第18页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五[特别警示]斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率问题要谨记，存在与否要讨论.

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设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直线上，求证：a＋b＋c＝0.[思路点拨]第20页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五[课堂笔记]

∵a，b，c互不相等，∴过A、B、C任两点的直线的斜率均存在.又kAB＝＝a2＋ab＋b2，kAC＝＝a2＋ac＋c2.∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，即a2＋ab＋b2＝a2＋ac＋c2，(b－c)(a＋b＋c)＝0.而b≠c，∴a＋b＋c＝0.第21页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五1.两条直线平行的判定方法(1)若两条直线斜率都存在时，要使直线平行只需斜率相等，且在y轴上的截距不相等.(2)若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行或重合.(3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0).第22页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五2.两条直线垂直的判定方法(1)若两条直线的斜率都存在，则它们垂直的条件是斜率之积为－1.(2)若一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则这两条直线垂直.(3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第23页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五(2009·上海高考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(

)A.1或3 B.1或5C.3或5 D.1或2[思路点拨]第24页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五[课堂笔记]

k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0显然平行；k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行；k≠3，k≠4时，要使l1∥l2，应有⇒k＝5.综上所述k＝3或5.[答案]

C第25页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五本例中，若l1⊥l2，则k的值又是什么？解：法一：由例题知，若l1⊥l2，则·(k－3)＝－1，解得k＝.法二：∵l1⊥l2，∴2(k－3)(k－3)－2(4－k)＝0.解得k＝.第26页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

本节主要以选择、填空题的形式出现，属于中低档题目.其中直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考的热点.09年高考全国卷Ⅰ将直线的倾斜角和两直线位置关系相结合，考查了数形结合的思想.第27页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

[考题印证](2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)第28页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五【解析】求得两平行线间的距离为，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°.【答案】

①⑤第29页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五

[自主体验]

设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x·sinA＋ay＋c＝0与bx－y·sinB＋sinC＝0的位置关系是

.解析：∵bsinA－asinB＝2RsinBsinA－2RsinAsinB＝0，∴两直线垂直.答案：垂直第30页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五第31页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五1.设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a、b满足 (

)

A.a＋b＝1 B.a－b＝1C.a＋b＝0 D.a－b＝0解析：∵sinα＋cosα＝0，α是倾斜角，∴tanα＝－1，∴k＝－＝tanα＝－1，∴a－b＝0.答案：D第32页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期五2.已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α<120°，则直线l的斜率k的取值范围是 (

)A.－＜k≤0 B.k＞－C.k≥0或k＜－ D.k≥0或k＜－解析：当0°≤α＜90°时，k＝tanα≥0.当90°＜α＜120°，结合正切函数的图象知，tanα<－.答案：C第33页，共37页，2022年，5月20日，13点22分，星期