6.4　数系的扩充与复数的引入

6.4

数系的扩充与复数的引入第六章课标要求1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.4.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.备考指导复数是数学高考的重要考点,每年必考.题目难度较小,一般为选择题或填空题的前1~2个小题,主要考查复数的代数运算、复数的相关概念、几何意义等.熟练并准确地进行代数运算是关键.同时要认真审题,看清楚题目的最终要求,避免低级失误.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.复数的有关概念(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(3)复数相等a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等当且仅当a=c且b=d.即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.特别地,a,b∈R,a+bi=0⇒a=0,b=0.2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0,且b≠0时,它叫做纯虚数.可以通过下图表示:(2)集合表示

3.复数的几何意义(1)复平面点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义复数集C中的数与复平面内的点是一一对应的,复数集C中的数与复平面内以原点O为起点的向量也是一一对应的,即提示:互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x轴对称.4.复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)I,z1-z2=(a-c)+(b-d)I.(2)加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).温馨提示1.|z-z0|表示复数z和z0所对应的点的距离,当|z-z0|=r(r>0)时,复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,半径为r的圆.2.若|z-z1|=|z-z2|,则复数z对应的点在以Z1(a,b)和Z2(c,d)为端点的线段的垂直平分线上.6.复数的乘、除运算(1)复数乘法的运算法则和运算律①复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.②复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有(2)复数除法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),温馨提示对复数除法的两点说明(1)实数化:分子、分母同时乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.7.复数的三角表示式(选学)(1)定义:r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量

所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.(2)非零复数z辐角θ的多值性以x轴非负半轴为始边,向量

所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角,因此复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).(3)辐角的主值①定义及表示:在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz<2π.②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.特别注意:当z=0时,其辐角是任意的.(4)复数的代数形式与三角形式的互化复数z=a+bi=r(cosθ+isinθ)的两种表示形式之间的关系为8.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(选学)(1)复数三角形式的乘法①定义:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.记忆:模数相乘,辐角相加.1.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.2.复数模的两个重要性质(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.3.in(n∈N*)的性质当n∈N*时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.(

)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(

)(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(

)(4)方程x2+x+1=0没有解.(

)(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.(

)×××××2.(2021全国Ⅰ,文2)设iz=4+3i,则z=(

)

A.-3-4i B.-3+4i

C.3-4i

D.3+4iC3.设z=-3+2i,则在复平面内

对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限CC5.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是

.3∵复数z=(1+i)(2-i),∴z=2-i+2i-i2=3+i,∴复数的实部为3.第二环节关键能力形成能力形成点1复数的代数运算例1

(1)(2021全国Ⅱ,理3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(

)B2解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.解题心得复数代数形式运算问题的解题策略

复数的加减法在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式对点训练1(1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=(

)A.3-4i B.3+4i

C.4-3i

D.4+3iA∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)已知

(i为虚数单位),则复数z=(

)A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i(3)(2021新高考Ⅰ,2)已知z=2-i,则

=(

)A.6-2i B.4-2i

C.6+2i

D.4+2iDC能力形成点2复数的有关概念例2

(1)若z=1+i,则|z2-2z|=(

)A.0 B.1

C. D.2D由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.(2)下面是关于复数

的四个说法:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中正确的是(

)A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4CC解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.对点训练2(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(

)(2)复数

的共轭复数是(

)A.2+i B.2-I

C.-1+i D.-1-iDD能力形成点3复数的几何意义例3

(1)(2021新高考Ⅱ,1)复数

在复平面内对应的点所在的象限为(

)(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(

)A.-5 B.5

C.-4+i D.-4-iA由题意知z2=-2+i.因为z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.A2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.对点训练3(1)(2021广东珠海二模)已知i是虚数单位,复数z满足z(1+i)=1-i,z对应复平面内的点Z,O为原点,则