4.4　三角恒等变换

4.4

三角恒等变换第四章课标要求1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).备考指导三角恒等变换是求解三角函数问题的重要工具,很多问题都需要先对已知函数进行恒等变形,化为适合于解答的形式,变形的方向是关键.复习时要牢记各个公式及公式的变形,理解公式之间的关联,会应用公式转化和解决问题,提升数学运算素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;温馨提示1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情况.3.辅助角公式

【知识巩固】

××√√×Dsin

20°sin

80°-cos

160°cos

80°=sin

20°cos

10°+cos

20°sin

10°=sin(10°+20°)=sin

30°=C4.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为

.

1∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin

φcos(x+φ)=sin

[(x+φ)+φ]-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ+cos(x+φ)sin

φ-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ-cos(x+φ)sin

φ=sin

[(x+φ)-φ]=sin

x,∴f(x)max=1.第二环节关键能力形成能力形成点1三角函数公式的直接应用解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.BB解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan

α+tan

β=tan(α+β)(1-tan

αtan

β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.对点训练2(1)(2021广东汕头二模)若α+β=,则cosα+cosβ的最小值为

.

能力形成点3三角函数公式运用中角的变换C解题心得求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.cos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α)=-2cos2(75°+α)+1能力形成点4三角函数式的化简-cosθ解题心得1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.能力形成点5三角函数的求值命题角度1给角求值问题例5

求值:1命题角度2给值求值问题命题角度3给值求角问题解题心得1.“给角求值”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.2.“给值求值”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将由已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.3.“给值求角”:实质上也可转化为“给值求值”,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角