初一因式分解方法及练习教案

初一数学因式分解教学目的熟练掌握因式分解类题型的解题方法和技巧授课主题因式分解的常用方法因式分解1•因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，把这一过程叫分解因式。注意：(1)因式分解是恒等变形；因式分解的结果是积的形式，每个因式都是整式；必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止。2.因式分解与整式乘法的关系如果把整式乘法看做一个变形的过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程。m(a+b+c)<整式乘法丄ma+mb+me分解因式(a+b)(a-b)<整式乘法空a2—b2分解因式(a+b)2<整式乘法丄a2+2ab+b2分解因式注意：分解因式时，变形的对象是多项式，即把一个多项式化成单项式<多项式或多项式X多项式的形式，所得的结果必须乘积的形式。整式乘法和分解因式的互逆的恒等变形。3•提取公因式法因式分解一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式；如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。注意：(1)T”作为系数时，通常省略不写，但单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉；多项式的第一项系数为负数时，一般要提出“-”号，使括号里的第一项是正的。注意在提出负号时，多项式的各项都要改变符号。添括号法则括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。4•用平方差公式因式分解两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2-b2二(a+b)(a-b)。类似于这样的多项式都可用平方差公式进行因式分解。注意：(1)应用公式时，先将二项式写成a2-b2的形式，再套用公式；(2)公式中的a、b可以是一个单项式，也可以是一个多项式。5•用完全平方公式因式分解完全平方公式是指两数的平方和，加上或者减去这两个数乘积的2倍，等于这两数和或者差的平方，即a2土2ab+b2=(a土b)2。注意：(1)应用公式时，要首先确定哪两个数或式子是公式中的a-b，然后再因式分解；(2)当第二项的符号为“+”时，选用“和”的完全平方公式；当第二项的符号为“-”时，选用差的完全平方公式。知识点梳理提供因式法公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有相同字母；指数：相同字母的最低次幂.提公因式时要一次提尽•公因式可以是单项式，也可以是多项式。ma+mb+mc=m(a+b+c)例1.计算21*3.14+62*3.14+17*3.14解：=3.14*(21+62+17)=3.14*100=314例2.已知有理数a,b满足ab=1,a+b=2,求代数式a2b+ab2的值.点拔：根据条件不易求出a,b的值，先进行因式分解，然后求值.解：a2b+ab2=ab(a+b)因为ab=1,a+b=2所以原式=1*2=2练习(1)2x2y—xy(2)6a2b3—9ab2二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(a+b)(a-b)二a2-b2a2_b2=(a+b)(a_b)；(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a土b)2；(a+b)(a2-ab+b2)二a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知a,b,c是AABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca,则AABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2+b2+c2=ab+bc+ca,2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0所以a=b=c(1)m2—9(2)x2—4y2三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！=(a+b)(m+n)例2例2、分解因式：2ax+10ay+5by+bx解法一：第一、二项为一组;第三、四项为一组。解：原式=(2ax+10ay)+(5by+bx)=2a(x+5y)+b(5y+x)

=(x+5y)(2a+b)练习：分解因式1、a2+ab+ac+bc解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax+bx)+(10ay+5by)=x(2a+b)+5y(2a+b)=(2a+b)(x+5y)2、xy+x+y+1(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2-y2+ax+ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解：原式=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)例4、分解因式：解：原式=a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c2=(a+b+c)(a+b-c)

练习：分解因式3、x2+x-9y2+3y4、x2-y2-z2+2yz四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；常数项是两个数的乘积；一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知OVaW5,且a为整数，若2x2-3x+a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b2-4ac>0而且是一个完全平方数。于是9-8a为完全平方数，a=l例5、分解因式：x2-5x+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6)，从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5。1紳12解：x2-5x+6=x2-(2+3)x+2*313=(x-2)(x-3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2-7x+6-1-611(-1)+(-6)=-7解：原式=x-1