函数的定义域教学设计

函数的定义域教学设计教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。教学重点：函数性质的运用．教学难点：函数性质的理解。［学习过程］一、知识归纳：求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：换元法（注意新元的取值范围）待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）整体代换（配凑法）构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（X）为奇函数且g（X）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。求函数的定义域求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f(X)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f(X)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.求函数值域(最值)的一般方法：利用基本初等函数的值域；配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数)；不等式法(利用基本不等式，尤其注意形如型的函数)函数的单调性：特别关注的图象及性质部分分式法、判别式法(分式函数)换元法(无理函数)导数法(高次函数)反函数法数形结合法求函数的单调性定义法：导数法：利用复合函数的单调性：关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增(减)函数的和;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是；奇函数在对称的两个区间上有的单调性；偶函数在对称的两个区间上有的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有的单调性；求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等应用：比较大小，证明不等式，解不等式。函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(X)与f(—X)的关系。f(x)—f(—x)=0f(x)=f(-X)f(x)为偶函数；f(x)+f(—x)=0f(x)=—f(—x)f(x)为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6•周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意X满足：f(x+T)=f(x)，则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(X)对定义域内的任意X满足：f(x+a)=f(x—a)，则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1.若集合A={al,a2,a3},B={bl,b2}求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f,若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A={a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有bl或b2这两种情形，由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N=222=8个。例2.线段|BC|=4,BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x，求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x2=22+y2—4ycosAMB①(6—x)2=22+y2—4ycos(180—AMB［②①+②x2+(6—x)2=2y2+8y2=x2—6x+14又x2—6x+14=(x—3)2+5恒正，又三点A、B、C能构成三角形1VxV52若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4=6—x,x=l或4+6—x=xx=5综上所述：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3.设f(x)为定义在R上的偶函数，当x—l时，y=f(x)的图象是经过点(一2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(一1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象。解：(1)当x—l时，设f(x)=x+b•・•射线过点(一2，0)0=—2+b即b=2，f(x)=x+2当一11时，设f(x)=ax2+2；•抛物线过点(一1，1)，1=a(一1)2+2，即a=—1f(x)=一x2+2当x1时，f(x)=—x+2综上可知：f(x)=作图由读者来完成。例4.求下列函数的定义域(1)(2)解：(1)x4或x—l且x—3,即函数的定义域为(一，一3)(—3,—1)[4，+](2)，则0x2一3x一108，即一3xV—2或5Vx6即定义域为]一3,一2](5,6)说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。变、已知函数f(x)的定义域为[一1,4],求的定义域。解：,则又,或则或即为所求函数的定义域。说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把看成是由y=f(u)、两个函数复合而成的，因为一1uV4,贝lj,从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变,这里也是学习时常常容易发生错误的地方,应加以重视。例5.若对于任何实数x,不等式：恒成立，求实数a的取值范围。解：令f(x)=|x—1|+2|x—2|，去绝对值把f(x)表示成分段函数后为5—3xxV1f(x)=3—xx23x—5x〉2作出y=f(x)的图象如图，由此可知f(x)的最小值为1,f(x)〉a对一切实数x恒成立，则aV1。说明：该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f(x)=|x—1|+2|x—2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。例6.求函数的值域。解：令，则13—4x=t2该二次函数的对称轴为t=1,又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，原函数的值域为(一，4)。说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间［0，+)上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如：已知f(x)的值域为，试求函数的值域。该题我们只需要把f(x)看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数的值域，若令，贝收无法用t来表示。这里我们如果注意到X的取值范围：一22，则一11的话，我们就可以用三角换元：令［0，］，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时，恰好可以取遍一1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。例7.求下列函数的最值。(2)解：(1)先求出函数的定义域：一27，又在区间［一2，7］上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增。当x=-2时，；当x=7时，・・・0y2=x2(1-x2)由基本不等式可知：y2=x2(1-x2)，又y，。说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。例8.设a>0，x［-1，1］时函数y=—x2—ax+b有最小值一1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。解：・・・a〉0,V0，又定义域为［一1,1］x=1时，即一1—a+b=—1a—b=0下面分a的情形来讨论：1当0〉一1即0Va2时，当时，即，则a2+4a—4=0,又a(0,2),贝U2当V—1,即a〉2时，当x=—1时—l+a+b=l,a+b=2又a=ba=1与a〉2矛盾，舍去综上所述：x=1时，，时。例9.已知函数y=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2,其中bN且f(1)试求函数f(x)的解析式；问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由解：(1)Tf(x)是奇函数，f(—x)=—f(x)，即c=0,Va0,b0,x0,f(x)=2,当且仅当乂=时等号成立，于是2=2,a=b2,由f(1)V得V即V,2b2—5b+2V0,解得VbV2,又bN,b=1,a=1,f(x)=x+(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1,0)的对称点(2—x0,—y0)也在y=f(x)的图象上，则消去y0得x02—2x0—1=0,x0=1y=f(x)的图象上存在两点(1+,2),(1—,—2)关于(1,0)对称例10.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在［0,+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2—3)+f(4m—2mcos)f(0)对所有［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由解：Tf(x)是R上的奇函数，且在［0,+)上是增函数，f(x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f(cos2—3)f(2mcos—4m),艮卩cos2——32mcos——4m,即卩cos2——mcos+2m——2设七=cos,则问题等价地转化为函数g(t)?=t2—mt+2m—2=(t—)2—2m—2在［0,1］上的值恒为正，又转化为函数g(七)在［0,1］上的最小值为正当0,即m0时，g(0)=2m—21与m0不符；当01时，即02时，g(m)=—+2m—204—24+2,?4—22当1,即m2时，g(1)=m—11m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m4—2另法(仅限当m能够解出的情况)cos2—mcos+2m—20对于［0,］恒成立,等价于m(2—cos2)/(2—cos)对于］0,］恒成立T•当］0,］时，(2—cos2)/(2—cos)4—2,m4－2例11.设a为实数，记函数f(x)=a的最大值为g(a)。设七=，求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数m(t)；求g(a)；求满足g(a)=g()的所有实数a.解：(1)・・・t=要使t有意义，必须有1+x0且1—X0，即一11.・・壮2=2+2[2,4],t……①t的取值范围是[,2]由①得=x2—1m(t)=a(t2—1)+t=at2+t—a,t[,2](2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t—a,t[,2]/r