九年级数学上册29.1.2 垂直于弦的直径市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

1．填空：（1）依据圆定义，“圆”指是_______，而不是“圆面”．（2）圆心和半径是确定一个圆两个必需条件，圆心决定圆_______，半径决定圆_______，二者缺一不可．Zx````x`k圆周位置大小旧知复习（4）图中有_______条直径，_______条非直径弦，圆中以A为一个端点优弧有_______条，劣弧有_______条．（3）______是圆中最长弦，它是______2倍．直径半径一二四四2．判断以下说法正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心线段是直径；(7)圆心相同，半径相等两个圆是同心圆;(8)半径相等两个圆是等圆．(4)过圆心直线是直径；(5)半圆是最长弧；(6)直径是最长弦；√××××√×√3．选择：（1）以下说法中，正确是（）①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心弦是直径；④经过圆上一点有没有数条直径．A．①②B．②③C．②④D．③④B（2）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦条数为（）A．2B．3C．4D．5B由此你能得到圆什么特征？结论：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它对称轴．

不借助任何工具，你能找到圆形纸片圆心吗?新课导入O29.1.2垂直于弦的直径OABCDE是轴对称图形．大胆猜测已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．下列图是轴对称图形吗？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒叠正当DOABEC

垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧．知识关键点垂径定理·OABCDECD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言图形语言以下图形是否具备垂径定理条件？Zx```x`k是不是是不是OEDCAB深化：垂径定理几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1、如图，AB是⊙O直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则以下结论中不成立是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD随堂练习2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE3、如图，在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB距离为3cm，求⊙O半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OAzx```x`k∴∴即⊙O半径为5cm.4、如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD长为26.垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，能够求出其它两个量．你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧结晶．它主桥是圆弧形，它跨度（弧所正确弦长）为37.，拱高（弧中点到弦距离）为7.2m．赵州桥主桥拱半径是多少？实际问题垂径定理应用37.4m7.2mABOCD关于弦问题，经常需要过圆心作弦垂线段，这是一条非常主要辅助线。圆心到弦距离、半径、弦组成直角三角形，便将问题转化为直角三角形问题。跨度（弧所正确弦长）为37.4，拱高（弧中点到弦距离）为7.2AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？这五条进行排列组合，会出现多少个命题？①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧．垂径定理推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒垂径定理推论

平分弦（不是直径）直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE（1）怎样证实？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O直径，AB为弦，且AE=BE.证实：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？假如不能，请举出反例。

平分弦（不是直径）直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧。·OABCD1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，假如⊙O半径是3cm,那么过P点最短弦等于

.EDCBAPO2.过⊙O内一点M最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM长是多少？OMA3、如图，点P是半径为5cm⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点弦中，（1）最长弦=

cm（2）最短弦=

cm（3）弦长度为整数共有（）A、2条B、3条C、4条D、5条巩固：AOCD54P3B4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=

。4回顾与思索这节课你有什么收获？还有哪些疑问？1.过⊙o内一点M最长弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o半径是2.已知⊙o弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB距离等于3.已知⊙O弦AB=4㎝,圆心O到AB中点C距离为1㎝,那么⊙O半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm5．弓形弦长为6cm，弓形高为2cm，则这弓形所在圆半径为________．cm7．一条公路转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路半径．解:连接OC．●OCDEF┗8．已知在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB距离为3cm，求⊙O半径．解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE＝4cm

在Rt△AOE中，依据勾股定理有OA＝5cm

∴⊙O半径为5cm．．AEBO9．在以O为圆心两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．证实：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO10．已知：⊙O中弦AB∥CD．求证：AC＝BD⌒⌒证实：作直径MN⊥AB．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．则AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。MFEABDCO一个圆任意两条直径总是相互平分，但它们不一定相互垂直．所以这里弦假如是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为何强调这里弦不是直径？∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂径定理推论2圆两条平行弦所夹弧相等．MOABNCD证实：作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直径MN也垂直于弦CD∴AM－CM＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BDABCD两条弦在圆心同侧两条弦在圆心两侧垂径定理推论2有这两种情况：OOABCD课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它对称轴．O

垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧．2．垂径定理DOABEC条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)直径垂直于弦而且平分弦所正确两条弧．平分弦所正确一条弧直径，垂直平分弦，而且平分弦所正确另一条弧．弦垂直平分线经过圆心，而且平分这条弦所正确两条弧．垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心，而且平分弦和所正确另一条弧．平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心，垂直于弦，而且平分弦所正确另一条弧．平分弦所正确两条弧直线经过圆心，而且垂直平分弦．3．垂径定理推论

经常是过圆心作弦垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4．处理相关弦问题①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.假如具备上面五个条件中任何两个，那么一定能够得到其它三个结论吗？一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对劣弧.●OABCD└M推广：课堂讨论依据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦垂直平分线经过圆心，而且平分弦所正确两条弧。（2）平分弦所正确一条弧直径，垂直平分弦，而且平分弦所正确另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就能够推出其余三个.(4)若，CD是直径,则

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.(1)若CD⊥AB,CD是直径,则

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.(2)若AM=MB,CD是直径,则

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.(3)若CD⊥AB,AM=MB,则

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.1.如图所表示:练习●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直径⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BD试一试2.判断：()(1)垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.()(2)平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另一条弧.()(3)经过弦中点直径一定垂直于弦.()(4)圆两条弦所夹弧相等,则这两条弦平行.()(5)弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.√√①直径过圆心④平分弦所对优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对劣弧垂径定理推论1（2）平分弦所正确一条弧直径，垂直平分弦，而且平分弦所正确另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，而且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心⑤平分弦所对劣弧③平分弦④平分弦所对优弧②垂直于弦垂径定理推论1（2）平分弦所正确一条弧直径，垂直平分弦，而且平分弦所正确另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，而且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直径过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（3）弦垂直平分线经过圆心，而且平分弦所正确两条弧．垂径定理推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所对优弧①直径过圆心③平分弦⑤平分弦所对劣弧推论1的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对劣弧①直径过圆心③平分弦④平分弦所对优弧（4）垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直径过圆心，而且平分弦和所正确另一条弧．③平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心②垂直于弦⑤平分弦所对劣弧（5）平分弦而且平分弦所正确一条弧直径过圆心，垂直于弦，而且平分弦所正确另一条弧．③平分弦⑤平分弦所对劣弧①直径过圆心②垂直于弦④平分弦所对优弧④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧①直径过圆心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所正确两条弧直径过圆心，而且垂直平分弦．船能过拱桥吗?