高中数学选修23教案之1高考

高中数学选修2— 教案之编辑整 1.1基本计数原（第一（1）一、：一次共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计问题1春天来了，要从济南到旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客23班。问共有多少种走法？设问1：从济南到按交通工具可 第一类方法 乘汽车， ∴从甲地到乙地共 种方法问题2：春天来了，要从济南到旅游，若想中途参观大学，已知从济南到有3种走法，从到有两种走法；问要从济南到共有多少种不同的方法？从济南到须经 由 到 由济南去有 设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经到达的目的?（1）2n2knK种方法可以完成。n1+n2+……+nK种不同的方法。 它们两两的交集为空集！3每一类方法中的任何法均能将这件事情从头至尾完成2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法标准必须一致、正确。2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,;但也不能重复、交叉。3若完成某件事情需n步,每一步的任何法只能完成这件事的一部分且必须依次n（1）24+3+2=9算机书，有4法；第2步从第2层取1艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224种所以，从书架的第1、2、31242．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从09104号解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是N1010101010000，132N326种，6日 晚 410块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？基本计数原（第二（1）1n12n2k2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法例 ab与取ba是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计45+45=90例3②④①③①③④②①②③④使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A180B②④①③①③④②①②③④图 图 图若变为图二,图三呢?(2405×4×4×4=320575600约数的个数 由于75600的每个约数都可以写成

2l3j5k

的形式,其中0i4,0j3,0k2,0l

于是,要确定75600i,jkl分别在各自的范围内任取一个值,这样i5j4k3l2756003j5k7l排（第一（1）1n12n2kn1×n2×……×nk种不同方法排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的．（1）排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表nnm个元素按n个不同元素中，任取m（mn）n素的所有排列的个数，是一个数所以符号Am只表示排列数，而不表示具体的排n求Am以按依次填m个空位来考虑Amn(n1)(n (nm1) nAmn(n1)(n (nm1)n

(n

（m,nN,mn（1）1，最后一个因数是nm1m个因数；n全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：Ann(n1)(n2) 21n!（叫做n的阶乘）n（1） （2）A6 （3）A4 （1）

＝161514＝3360（2）

＝6!＝720（3）A4＝654366n2（1） 54，则n ，m 66n（2）若nN,则(55n)(56n) (68n)(69n)用排列数符号表示 解（1）n ，m （2）若nN,则(55n)(56

A．A．3（1）（1）（2）（3） 排列（第二一、：1．排列的概念n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的．（1）排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表nn个不同元素中，任取m（mn）n素的所有排列的个数，是一个数所以符号Am只表示排列数，而不表示具体的排nnn排列数公式及其推导：Amn(n1)(n2) (nm1)（m,nN,mn）全排列数：Ann(n1)(n2) 21n!（叫做n的阶乘）nn先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的简单明 相邻排列——法 1（1）62，2；（2）62，22300080002分 2 258348根据乘法原理知共有P1P1P23、5、7P1P1P2258348258348 258348 例 若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须排，乙必须在后排，有多少种 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．244244244为这是分步问题，所以用乘法原理，有P1·P1·P42445P2P5·P2种排法．5 66 ，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P3种排法 5544 444题，应用乘法原理，所以共有P1P1P4 444 (1)P6=720(种)(2)P1·P1·P4=2×4×24=192(种)(3)P5·P2=120 66435444435444654654组合（第一12一、排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的．（1）排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表nnm个元素按n个不同元素中，任取m（mn）n素的所有排列的个数，是一个数所以符号Am只表示排列数，而不表示具体的排nn排列数公式及其推导：Amn(n1)(n (nm1)（m,nN,mnnn全排列数：Ann(n1)(n2) 21n!（叫做n的阶乘）n1n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cm表示 nn（1）nm个元素的组合数Cmm个nn元素全排Am，根据分步计数原理得Am＝CmAmmn(nn(n1)(n (nm

Cmn 或Cn

(n,m

,且mAm Am（1）； （1）C47654＝35（2）1C

109876547

7!1098 2Cm

m1Cm1nCm

n m1

m1m1

n

n

(m1)!(nmm

＝

∴Cm

m1C(m1)!(nm)(nm

m!(n

n 35250件合格品，25（直接法）小组构成有三种情形：3男，21女，12女，分别有C3C2C1 C1C2C3C2C1C1C2＝100（间接法）C3C3

组合（第二 ：1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数的概念：从n个不同元素中取出mmnn个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cm n一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Am，可以分如下两步：①先求nn个不同元素中取出m个元素的组合数Cm；②求每一个组合中m个元素全排列数Am，根 分步计数原理得Am＝CmAm n(nn(n1)(n (nm

Cmn 或Cn

(n,m

,且mAm Am1组合数的性质1：CmCnm 一般地从n个不同元素中取出m个元素后剩下n nmnm个元素的每一个组合．，所以从n个不同元素中m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出mCmCnm 应”的思 证明：∵Cnm

又Cm

，∴ (nm)![n(n

m!(nCmCnm说明：①规定：C01 CxCyxyxyn 2：Cm＝CmCm1．一般地，从a,a,,

这n+1个不同元素中取 m个元素的组合数是Cmaa 的组合是从

,a,, nm1a组成的，共有Cm1 a1的组合是从

,a3,,

n个元素中m个元素组成的，共有Cm个．根据分类nnCmCm1

n!(nm1) m!(n

(m1)![n(m

m!(nm(nm1m)n!

(n

∴Cm＝Cm+Cm1

m!(nm

m!(nm

1（1）（2） ＝Cn+2Cn1+Cn2

（1）原式C4C5C6C5C6C6

证明（2）右边(CnCn1Cn1Cn2

Cn1

（1）（2）

1A3

（1）x12x3x12x313x4x5，1x1又由12x313得2x8xNxN

x4xx4x5（2）原方程可化为Cx21

，即

1

(x

(x3)!

10

5!(x 1011 1110x(x1)(x

x2x120x4x3x4(4)1211451.2.2组合（第三教学目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2一 ：1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成组，叫做从n个不同元素中取出m组合数的概念：从n个不同元素中取出mmnn个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cm n一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Am，可以分如下两步：①先求nn个不同元素中取出m个元素的组合数Cm；②求每一个组合中m个元素全排列数Am，根 分步计数原理得Am＝CmAm n(nn(n1)(n (nm

Cmn 或Cn

(n,m

,且mAm Am1：CmCnm 组合数的性质2：Cm＝CmCm1

例子1．(1)把n+1个不同小球全部放到n个有的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有的小盒中去，如果每小盒从为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的之和解：分为三类：1奇4偶有C1C4 3奇2偶有C3C2 5奇1偶有C56 6 ∴一共有C1C4C3C2C52366 6 有1名青年两项工作都能胜任，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C2C2；②让4项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C3C1；③让两项工作都能担任的青年不从事4何工作，有C3C2，∴一共有C2C2C3C1C3C2＝42种方法4 4 4 4 解法一（排除法）CC C2C1C142．解法二：分为两类：一类为甲不值周一 5 4也不值周六，有C2C2；另一类为甲不值周一，但值周六，有C1C2，∴一共有C1C2C2C4

4 4 45．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方6解：第一步：从6本不同的书中任取2本“”在一起看成一个元素有C2种方法65（书5A5C2 1.3.1二项式定教学目标：122一、：⑴(ab)2a22abb2 2⑵(ab)3a33a2b(ab)4ab)(ab)(ab)(ab的各项都是4次式，a4a3ba2b2ab3b4， 恰有1个取b的情况有C1a3b的系数是C12个取b的情况有C2a2b2 是C2，恰有3个取b的情况有C3种，ab3的系数是C3，有4都取b的情况有C4种，b4 4 数是C4，∴ b4C0a4C1a3b4 1(ab)nC0anC1anb （a+b）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或b，由nakbn-k，它是由k（a+b）a，n-ka+b)选了bn（a+b）kan3、它有n1项，各项的系数Cr(rn

n4、Cranrbr叫二项展开式的通项，用

表示，即通项

Cranrbr r r Crnn5、二项式定理中，设a1bx，则(1x)n1Crnn1．展开(11)4x

(1

C()C()C

41444411 11 解二： (1xxx

14

41 2．展开

1)6x6[(2x)6C1(2x)5x6 192x2240x160 x3．求(xa)12的展开式中的倒数第4解：(xa)12的展开式13项，它的倒数第4项是第10项 C9x129a9C3x3a9220x3a9 （2）（1） （2） C2(3b)4(2a)2

(2a3b)6(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相5（1）3

（2）x3x

3)9x 93 xx解：∵ Cr()9r )rCr32r9x2，∴（1）当9x

r0r6r 9 x（2）(x

第5项、第6

C4389x9

53109

2

1.3.2三 (ab)nC0anC1anb rnrn二项展开式的通项公式：Tr1C b二、讲解新课n(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取12,3 对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CmCnm 增减性与最大值．∵Ckn(n1)(n kCk相对于Ck1nk1nk11kn1 n

当k 2 最大值；当n是偶数时，中间一项C2n是奇数时，中间两项C2C2 Crxrn，n(1x)nCrxrn，nCrnn x1，则2nCrnn 1．在(ab)n

(ab)nC0an

a1,b (11)nC0C1C2 C1C3 ，0(C0C2 )(C1C3C1C3 ， 即在(ab)nC1C3 C1C3 2n1 例2．已知(12x)7aaxax2 ax7，求

a7|a7|（2）a1a3a5a7；（3）|aa7|a7|（1）x1(12x)712)71 a0a1a2 a7∴a0a1a2 a71，当x0时，a01，∴a1a2 a711 （2）令

x1

a0a1a2

令x1aaaaaaa

得2(aa

a)137

aaa

1

（3）a1a3a5a7a0a2a4a8 ∴由（2）2(a

aa)137

a

a

1 ∴|a0||a1|

|a7a0a1a2a3a4a5|a7

(aaaa)(aaaa) 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3

(1x)[1(1x)10=

(x1)11(x，x11∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为11在4.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系在解 2

5

215∴)5展开式中，/