多元函数微积分复习试题

word完美格式word完美格式精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手多元函数微积分复习题一、单项选择题.函数f■,y1在点■,y■处连续是函数在该点可微分的00充分而不必要条件必要而不充分条件必(而且充分条件既不必分也不充分条件,设函数f■,y■在点■,y■处连续是函数在该点可偏导的(00充分分而而不不必要条件;必要而不充分分条充件不;必要而且充分条件既不必要也不充分条件.函数f■,y■在点.,y■处偏导数存在是函数在该点可微分的00充分分而而不不必要条件;必要而不充分分充条件不;必要而且充分条件既不必要也不充分条件.对于二元函数z■f(x,y)下列结论正确的是若lim■A则必有limf(x,y)■A且有limf(x,y)■Ax■xox■xoy■y0y■y0■z■z若在(x,y)处—和—都存在则在点(x,y)处z■f(x,y)可微TOC\o"1-5"\h\z00■x■y00■z■z若在(x,y)处—和—存在且连续则在点(x,y)处z■f(x,y)可微00■x■y00若三和士都存在则±.三■x2■y2■x2■y2.二元函数z■f(x,y)在点(x,y)处满足关系00可微指全微分存在■可导指偏导数存在■连续可微・可导・连续可微・可导或可微■连续但可导不一定连续可导■连续但可导不一定可微向量”■■,■!,■2・8・・,2,B1■则a_b■

.已知三点(i2),(2，1，1)，B(2，1，2).已知三点(oi),

■<(；22(22),(2.已知三点(i2),(2，1，1)，B(2，1，2).已知三点(oi),

■<(；22(22),(2132(X.设D为园域x2■y2■2ax(a■0)化积分HU(x,y)d■为二次积分的正确方法D1adx・f(x,y)dy0■a2・dx・a■x2f(x,y)dyUdldlaco・f(■Cos■■Sin■)Id10■aHd・・cos"f(■cos・■sin■)Id■■■02.设Ialldx・xf(x,y)dy10改变积分次序则1■ln3dyAl.ef(x,y)dx00ln3dyCl.3f(x,y)dx00ln3dylx3.f(x,y)dx0eyl3dyllnDxf.(x,y)dx10二次积分・d・HS・f(■cos・■sin■)Id■可以写成■y・.2f(x,y)dx■"f(x,y)dx000011dx■f(x,y)dy!dx・i2D(.,y)dy0000设■是由曲面x2■y2■2z及z■2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I■■H・y,z)dxdydz表示为三次积分，I■.l■dBlUdf(■cos■,■sinHz)dz000

■didf(■cos■■sinHz)・dzTOC\o"1-5"\h\z000,dlUd1^12f(■cosl1■sinHz)Idz00-2■FdtK2d-!f(IcosHIkin■z)・dz000i设L为x0y面内直线段，其方程为L:x■a,c■y■d,则IPIx,yIdxI（C）L（A）a（B）c（C）0（D）d2设L为x0y面内直线段，其方程为L:y■a,c■x■d,则It■,y整I（B）（D）（B）（D）（C）3设有级数■nI3设有级数■nI1u则limu■0是级数收敛的nnIIn充分条件；既不充分也不必要条件;充分必要条件；必要条件4幂级数।nxn的收径半径nI1）A.幂级数■1x”的收敛半径R■n）AnI1．6若幂级数axn的收敛半径为R．6若幂级数axn的收敛半径为RnnI0)RR贝I।a

nI0xnI2的收敛半径为R2无法求得若lim若limu■0nIIn则级数■unnI1收敛且和为发散收敛且和为发散收敛但和不一定为

可能收敛也可能发散word完美格式word完美格式word完美格式word完美格式精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手若■u为正项级数则n

n■若■u为正项级数则n

n■若limunn■■0贝I・u收敛n

n■若・u收敛nn■则・u2收敛n

n■若・u发散nn■则limu■0

n■■n则该级数在点X■■处发散敛散性不定设赛级数■Cx则该级数在点X■■处发散敛散性不定nn■绝对收敛条件收敛级数.吧竺(X■0)则该级数n!n■是发散级数是绝对收敛级数是条件收敛级数可能收敛也可能发散二、填空题.设f(x,y)■sinx■(yBl)ln(x2■y2)，贝》f■(0,1)■X.设f■,y■fccosx■1.145I■y2,则f'(0,1)x.二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是■fix,,y■dxdfy■■f^BcosH■sin■Hd喊■.三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是Sin.柱面坐标下的体积元素—dv■■d■d■dz.设积分区域D:x2■y2■a2且■・xdy■9・则a■D3设D由曲线■■asin■■■a所围成则■・xdy■4■a2

,设积分区域D为1■x2■y2■4BUdXdy■6・D.设了■,y■在,上连续，如果■f■x^dx■3,0则UdxHf■x^f1■dy_00o设o设L为连接与两1点)的直线段，则两1点)的直线段，.设L两1点)的直线段，则■■y■ds■L.等比级数■aqn(a■0)当qH1时，等比级数・aqn收敛n■n■.当■■1时，p■级数■—是收敛的npn■,当时级数■■1・—是绝对收敛的■■1npn■TOC\o"1-5"\h\z.若f(x,y)■:xy■x则f(2,1)■.-Vyx23y2.若f(x,y)■xy3■(x・l)arccos"贝f(1,3y22xy.设u■zxy贝Idu■.设u■zxy贝Idu■zxylnxdx■xInzdy■dz・zIny(InyHl)8设z■ylnx则I■.ylnx■x2x21积分Udx・e■y2dy的值等于.-(1Be■)0x2设D为园域x2■y2■a2若■y2■dxdyy■8・则a■.D设I■■IdUydz其中■:x2■y2■z2■a2,z■0则I■.4■a3

三、计算题求过点・b,0,1■且与平面2X■5y■我■8■0平行的平面方程TOC\o"1-5"\h\z解已知平面的法向量(，，)，所求平面的方程为()()()即.求经过两点(■,■,)和(，0)的直线方程。解MM■12所求直线方程为卫■m■至42■•求过点且以为法线向量的平面方程解所求的平面方程为3・H0・2,HS，!！■2・0即3x■2y■!■8■0.设!■f■Xy,y1其中f具有二阶连续偏导数111112、：1f•f■■y■Xf・f・

111112求dy求dy

dx.设ln丫x2■y2■arctan—Xword完美格式word完美格式word完美格式word完美格式精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手精心整理学习帮手解方程两边对％求导得「■「鼻■2yy.1一■丁朋2■y22\X22■y21.|yIx2■x■由此得y.匹求工■2求工■22・设z■f，y,y・其中f具有二阶连续偏阶导数，解■z.yf2受■;金、少,y3,y2f22■x■fX■■xU■u、几2、几2z■z.设——ln—求一.■2解方程2■lnz■Iny两边同时对x求导得z.zIxx■11z2zI2TOC\o"1-5"\h\zzzI2x■z・设z■f叭,by・其中f具有连续的二阶偏导数，求生■xiy解■z.af■■2i金V1fIf.设siny■■x■xy2■0,求—y.dx解方程两边对％同时求导得coy・■x■2■yn^yy0由此得y・ex・y22xy■Cosy・计算二重积分■2ydfdxdy其中D是由直线x■0,y■0,x■y・计算二重积分D所围成的闭区域。解IM■2y■dx^dy■HLx11fx嗔■2y息■IiHy■y2,dxTOC\o"1-5"\h\z0000■fix■2=2.4黑.事■2x3■4xI■200■3■30.改变二次积分I・Bdy・f■,y■dx的积分次序。0y2解积分区域为D:0■y■2,y2■x■2yD也可表示为D:0■x■4,2■y・.或■i■Ax・f■,y■dy0工2・计算二重积分■■■2y■dx^cdy其中D是由直线x■0,y■0,y■x■1D所围成的闭区域。解Ml■2y・xdy・・x■嗔■2y，yy■y20dxTOC\o"1-5"\h\z0x■0x.D■E■5x■1嚷■106.改变二次积分ImUdy・f■,yHx的积分次序。00解积分区域为D:0■y■1,0■x■y

D也可表示为D:0■x■1,x■y■1有Hty■了■,y■dx.IKxHf,yUy000x计算二重积分■■■2y/dy其中0■x■1,0■y■1.D解IHB■2y9xdy■■xHBx■2y同■I^Bxy■y2号x0000D|3L，iix=Fx2■x]■5.0EI20.改变二次积分I■■dy■f■,yIdx的积分次序。・y2解积分区域为D:H1■y■1,y2■x■1D也可表示为D:0■x■1,■vx■y■Ax■I・・dxe_f・,yd0■-x•利用格林公式计算曲线积分■(2x■y■4)dx■(5y■3x■6)dy,L其中为三顶点分别为的三角形正向边界解由格林公式■丁■丁(51■3x■6)D(2x■y■4)]dxdy4ldxiy4/113H22

D.利用格林公式计算曲线积分■(By)dx■xdy

下其中为正向的圆周x2■y2■a2(a.■0)解：由格林公式

:xI^(By)]dxdyD21MdyD21a2.利用格林公式计算曲线积分.利用格林公式计算曲线积分■(2X■y■4)dx■(5y■3x■6)dy,L其中为三顶点分别为的三角形正向边界其中为三顶点分别为的三角形正向边界解由格林公式I(5yB3x■6)■-(2x■y■4)]dxdyixiyD41MdyD4/1131132判别级数।n2sin的收敛性。3n

n■uIuI■lim-nn■limn■■un■■n■1-sin—4■1■1.I3n2sin——3n■由比值判别法知级数■n2sin-收敛3n.求赛级数・xn的收敛区间。n・nn■解■■limn■■a——ntlan收敛区间为112,2・.求赛级数*-L-Xn的收敛区间。n・nn■1_南殍an■1/■_1解■■lim一■lim■—n■■an■■13nn3n1R■—■3■收敛区间为四、解下列各题题利用柱面坐标计算三重积分■^XHydz，其中■是由曲面z■x2■y2■与平面z■4所围成的闭区域。解■:0■■■2B,0■■■2,一■z■4■i■idxdy利用柱面坐标计算三重积分■ddydz,,其中闭区域■为半球体X2■y2■z2■1,z■0解■在xoy平面内的投影区域为D:x2■y2■1,用柱面坐标可表示为:0■■■2・0■■■1,0■z■、：1BH2I^Mlydz■■diHdidl1a2z■dz■■Ib^L0000■一・■■1■■■■

■1m-H2■—114।I—24I40利用柱面坐标计算三重积分■WKy2dxdydz，其中■是由曲面z■9■x2■y2■与平面z■0所围成的闭区域。解■:0■■■2B,0■■■3,0■z■9■■■—KHEy?dxdydz■■dlUdiJU-2

000■d■■9L-H.324■005.计算曲线积分BO2■ydX■Tty2思，其中L是在圆周y■J2x■x2上由L（,）到点（，）的一段弧。Q■■TVy2：P■x2■y里■1P曲线积分与路径无关，■x吵lH■ydx■y2臬■■吗■ydx■y2臬■[(x2■x)■(x■x2)]dx0■(IKx)dx00・x■1.计算曲线积分B0!■y黑■y2某，其中L是在圆周y■[2x■x2上由点（，解：L）到点（，）的一段弧。Q■■x■y2,P■x2■y■Q・!P曲线积分与路径无关，畛lH■y5X■y2臬■■事.y^Xy2臬L丛Hx2dx0Hx0203,计算曲线积分■.■y^eX■■■y,，其中L是在圆周y■\；2x■x2上由L点（，）到点（，）的一段弧。解Q.J!Ly2FP■x2■yQ・史曲线积分与路径无关，・■yK2■yIB■y2臬■■吗.y黑■y2臬■x2dx28■3判别级数■,・—判别级数■,・—lnnn迎是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛?解记u解记u■X则nlnnu■—■

nlnn1・u（n・2,3，…,n，…）ln将■1・n・且lim且limu

n■■■lim—■0

n■■lnn由莱布尼兹定理级数■・1由莱布尼兹定理级数■・1・_X收敛lnn又•.记A■1而级数■1发散由比较判别法可知lnnnnnB2级数■L级数■L发散从而级数■■1・，为条件收敛lnnnH2lnnnH2.判别级数■■1・ln)|■1H是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛?■n■nH2lnH.11解：£己u■lnH■1H，lim■n■■1TOC\o"1-5"\h\zn■n■n■■1n而■1发散，所以・ln|1■1|发散n■n■n■n■又而u■lnH■1lblnH■—lbu(n■1,2,3,……)■n■■n■1■n■limunnII■limln||■1'0,

limunnII由莱布尼兹定理知■■111lnl■1!收敛且为条件收敛In■n■TOC\o"1-5"\h\z判别级数■■1・ln（1■一）是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛?/r