2022年全国初中数学联赛决赛试卷

中国教育学会中学数学教学专业委员会2022年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1．如果实数a，b，ca2|ab| ca)2|bc|可以化简为（ ．（A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a （1题图）b2．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数yx（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（，2，那么另一个交点的坐标为（ ．（A2，） （（，－）（C（－，）（D（32）3．如果为给定的实数，且1ab，那么2ab1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ．（A）1

2a14

1 1（C） （D）2 44．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说“你若给我2钱数将是你的nn元，我的钱数将是你的2n为正整数，则n的可能值的个数是（．（A）1（B）2（C）35．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6设其朝上的面上的两个数字之和除以4p，p，p，p，p，p，p

中最大的是（ ．

0 1 2 30 1 2 3（A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是>487？”一次操.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .AF（第7题图7如图正方形ABCD的边长为2F分别是ABC的中点， 分别交于AFN，则△DMN的面积是 .3 9

20118．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为那么1 的值4 2 x2为 ．

20129．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼301分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.如图，四边形ABCDDC.分别延长，交点为E.作BF⊥EC，并与ECF.AE==，则CF的长为.三、解答题（42080）

（第10题图）已知二次函数yx2m21x3时，恒有；关于x的方程9x2m20的两个实数根的倒数和小于

．求的取值范围．过点，且与⊙交于点，1 1且ODCDDCDE

1．（第12题图）a，ba－baba≥2022a求所有正整数n，使得存在正整数x，x，，x

，满足xx

x ，且1 2

2012

n.

1 2 2012

1 2 2012x x x1 2 2012一、选择题1．C

中国教育学会中学数学教学专业委员会2022年全国初中数学竞赛试题参考答案解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知ba0c，且bc，所以 a2|ab| (ca)2|bca(ab)(ca)c)．2．D2a(3)(3)(2)b，所以a2，b6.3y2x， 3 xx解方程组 得 y

6，yx

y2.所以另一个交点的坐标为（3，2）.此另一个交点的坐标为3．D解：由题设知，1a1ab12ab，所以这四个数据的平均数为1(a1)(ab1)(2ab)34a，4 4中位数为

(a1)(ab1)44a，2 4于是 44a34a

1.4 4 44．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得x2n(yyn2(x消去x得 =y+4，(2y7)152n=

1 15 .2y7 2y7152y

为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有364余数分别是0123的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以9 8 9 10p ，p

，p ，因此最大．0 36 1 36

2 36 3 36二、填空题6．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.7＜x≤193x2≤4879x8≤487，故x7．8解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2.由题设易知△∽△，所以ADAN

DN ，22BF NF BN 122由此得AN2NF，所以AN AF.3Rt△ABFABa，所以AF AB2BF2 5a，

（第7题）于是 cosBAFAB 2 5.AF 5由题设可知△ADE≌△BAF，所以AEDAFB，2 AME1800BAFAED1800BAFAFB902 于是 AMAEcosBAF a，2 4 2 4 MNANAM AFAM a，3 15SMND

MN4.SAFD

AF 151 4 8又SAFD

(2a(2a2a2，所以2

MND

S15

a2.15因为a 15，所以S 8.MND8．23解：根据题意，关于x的方程有3 9=k2－4( k2 )≥0，4 2由此得 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+

9=0，解得x=x3.x2011故1

1=2．

4 1 2 2x2012 x 32 29．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知2a130，由此得0≤b≤43.又ab(m2)，所以2a(m2)2b130(m2)≤43，87≤(m1)(m2)≤130，由此得，或.当时，b40，a5；当时，b20，a35，aa

55，不合题设.2 2故．3 210．2

（第10题）解：如图，连接AC，BD，OD.ABOBCA=∠BDA=依题设∠BFC=90°，四边形ABCD⊙O的内接四边形，所以∠BCF=∠BAD,BC BA所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此

CF

AD.因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，DE OE

OB

2.因此DE2AD，CE3AD.DEECAEBEAE

BA，BE

3BA，所以2AD3AD

2 2BA3BA，BA=AD2 2CFADBCBA

BC3 2.2 2 2三、解答题解：因为当x3时，恒有，所以（m24m0，（m20，所以m1． ………5分当x时，≤；当时，≤，即(1)2(m3)(1)m2≤，且 323(m3)m2≤，解得≤． ………（10分）x23x20x，x

，由一元二次方程根与系数的关系得

xx

m

1 2m2．11因为xx111 2

1910

2 12，所以xx1 2

m39，xx m2 1012解得m12，或m2．因此m12． 分）证明：连接BD，因为为的直径，所以ODB90．又因为DCDE，所以△CBE是等腰三角形．…………（5分）设与交于点，连接OM，则OMB90．又因为OCOB，所以BOC2DOM2DBC2DBFDOF．1…………（15分）又因为BOC，DOF分别是等腰△BOC ，等腰△DOF的顶角，所

（第12题）1 1△BOCDOF． ）1解：设ab=m是素数，ab=2n是正整数因为 =(a－b)2，所以 =m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n)=）2a－m+2n2a－m－2n2a－m+2n＞2a－m－2n(m2，2a－m－2n1.(m1)2 m21解得 a ， .4 4（m2于是 =分）4(m1)2又a≥2022，即 ≥2022.4(891)2又因为m是素数，解得m≥89.此时=2025.4a2025m89b1936n1980.因此，a的最小值为2025. 分）解：由于x，x，，x 都是