湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题原卷

雅礼十六校2023届高三上学期第一次联考数学审定：何方蔚李罗思徐宇珩校对：肖志泽肖永浩总分：150分时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列不属于的展开式的项的是（）A. B. C. D.2.已知非空集合，其中，若满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知复数，与共轭，，且，则的值为（）A.5 B.6 C.7 D.84.已知三边所对角分别为，且，则的值为（）A.-1B.0C.1D.以上选项均不正确5.已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（）A.B.C.D.6.长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛．这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（）A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师7.若，（）试比较的大小关系（）A.B.C.D.8.已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（）A. B. C. D.以上选项均不正确二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是（）A.该游客至多游览一个景点的概率为B.C.D.10.如果一个无限集中元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（）A.B.ZC.QD.R11.已知某四面体的四条棱长度为，另外两条棱长度为，则下列说法正确的是（）A.若且该四面体的侧面存在正三角形，则B.若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积C.若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积D.对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有12.已知函数，下列说法不正确的是（）A.当时，函数仅有一个零点B.对于，函数都存在极值点C.当时，函数不存极值点D.，使函数都存在3个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则的最大值为_______．14.已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是_______．15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足．联结，满足．若该双曲线的离心率为，求的值_______．16.若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.定义（1）证明：（2）解方程：18.已知单调递减正项数列，时满足．为前n项和．（1）求的通项公式；（2）证明：.19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．20.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．21.已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．（1）求曲