随机信号分析基础作业题

第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3,0.2,0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25,0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：P(A)0.3P(B)0.2P(C)0.1P(D)0.4E—迟到，由已知可得P(E|A)P(E|B)P(E|C)P(E|D)0.250.40.10全概率公式:P(E)P(EA)P(EB)P(EC)P(ED)贝叶斯公式:P(A|E)P(B|E)P(EA)

P(E)P(E|B)P(EIA)P(A)P(B)P(E)0.080.0750.4550.165P(A|E)P(B|E)P(EA)

P(E)P(E|B)P(EIA)P(A)P(B)P(E)0.080.0750.4550.165P(C|E)P(D|E)P(E)

P(E|C)P(C)P(E)

P(E|D)P(D)P(E)0.1650.010.1650.4850.06综上：坐轮船3、设随机变量X3、设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度函数为 fx(x)XeX0,0式中，常X0,求期望E(X)和方差D(X)。考察：已知fx(x),如何求E(X)和D(X)?

E(X)xf(x)dxE(X)xf(x)dx_ _ 2 2-D(X)E[(Xmx)](Xmx)f(x)dxD(X)E(X2)E2(X) E(X2) x2f(x)dx6、已知随机变量X与Y,有EX1,EY3,D(X)4,D(Y)16,xy0.5,令U3XY,VX2Y,试求EU、EV、D(U)、D(V)和Cov(U,V)。考察随机变量函数的数字特征思路:协方差：Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)相关系数：_Cov(X,Y)_XY「D(X)[d(Y)E(aX bY) aE(X)bE(Y)D(aX bY) a2D(X)b2D(Y) 2abCov(X,Y)E(U) 6E(V) 5 D(U)76D(V) 52Cov(U,V) 4011、设随机变量X的均值为3,方差为2。令新的随机变量Y6X22,问：随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？考察正交、不相关的概念0E(XY)° 0正交，非0不正交0XY 0不相关，非0相关0E(XY)0正交Cov(X,Y)0相关

以上四题都是概率论的标准题。第二章1、已知随机信号X(t)Acosot,其中0为常数，随机变量A服从标准高斯分布，求t0,——,~2—三个时刻X(t)的一维概率密度函数。3o30解：mxE[X(t)]E[Acos0t]cos0tE[A]X2(t)D[X(t)]D[Acos0t]cos20tD[A]QA服从标准高斯分布E[A]0,D[A]1mxE[A]cos0t02,、 _.… 2 2X(t)D[A]cos0tcos0t一维高斯概率密度函数fx(x,t)[Xmx(t)]22X(t)一维高斯概率密度函数fx(x,t)[Xmx(t)]22X(t)—X(t)1一2|cos0t|x21 2 ；2cos0t①当t。时，fx(x；0)3、随机变量X与Y相互统计独立，并且服从2、N(0,2)分布。它们构成随机信号X(t)XYt,试问：⑴信号X(t)的一维概率密度函数 fx(x;t)；(2)t时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。解：(1)QX,Y服从N(0,2)分布且X(t)XYtX(t)也服从正态分布E[X]tE[Y]0E[X]tE[Y]0D[X(t)]D[XYt]QX,Y相互统计独立D[X(t)]D[XYt]fx(x；t)D[X(t)]D[XYt]fx(x；t).2(t21)_ 2_ 2D[X]tD[Y](t1)2

X2t21~2e(2)t时刻，随机变量是高斯分布E[X(t)](2)t时刻，随机变量是高斯分布E[X(t)]0_ 2D[X(t)](t1)2其均值为0,2 2方差为(t1)4、假定随机正弦幅度信号X其均值为0,2 2方差为(t1)4、假定随机正弦幅度信号X(t)Acos(0t0和相位为常数，幅度是一个服从 0,1均匀分布的随机变量，试求 t时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。解：t时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为D[X(t)]D[X(t)]D[Acos(0t )]Q频率°和相位为常数2D[Acos(0t )]cos2(0t)D[A]A服从［0,1］均匀分布fAfA(a)1,0a10,other2 2 12 1 1D[A]E[A2]E2[A] 0a2da[0ada]-1D[A]-121 2D[X(t)] cos2(0t )125、已知随机信号X(t)的均值为mx(t),协方差函数为Cx(t1,t2),又知道f(t)是确定的时间函数。试求随机信号Y(t)X(t)f(t)的均值以及协方差。解：E[Y(t)]E[X(t)f(t)]E[X(t)]E[f(t)]Qf(t)是确定信号E[Y(t)]mX(t)f(t)CxHt)E[Y(3)丫色)]E[Y(3)]E[Y(t2)]E[X(tJ"⑴]E[X(tz) f&)]E[X")X(t2)X(t”(t2)f(t1)X(t2)f(t1)f(t2)]E[X(G)f(t1)]E[X(t2)f(t2)]E[X(t“X(t2)]f(t1)E[X(t2)]f(t2)E[X(t1)]f(t)f(t2)E[X(t1)]E[X(t2)]f(t2)E[X(t1)]f(t1)E[X(t2)]f(t”(t2)E[X(t1)X(t2)]E[X(L)]E[X(t2)]CXdk)Y(t)的均值为mX(t)f(t)其协方差为：CX(t1,t2)9、设接收机中频放大器的输出随机信号为 X(t)s(t)N(t),其中N(t)是均值为零，方差为2的高斯噪声随机信号， 而s(t)cos(0t0)为确知信号，求随机信号X(t)在任

意时刻t1的一维概率密度函数。QX(t)S(t)N(t)QN(t)X(t)S(t)QS(t)cos(0t 0)是确知信号E[X⑴]E[S(t)N(t)]S(t)E[N(t)]QN(t)服从均值为QN(t)服从均值为0,方差为22的高斯分布E[X(t)]0E[X(t)]S(t)cos(ot 0E[X(t)]0E[X(t)]S(t)cos(ot 0)D[X(t)]D[S(t)N(t)]D[N(t)]2[Xcos(0t0)]—2^ fX(x，t) enn第三章3、设X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号Z(t)X(t)Y(t)也是平稳的。证：QX(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机信号E[X(t)]Rx。/)E[X2(t)]D[X2(t)]mxE[X(t1)X(t2)]Rx(), &tj2X2XE[Y(t)]mY同理Ry。/)2E[Y同理Ry。/)2E[Y2(t)]D[Y2(t)]E[Y&)Y(t2)]2Y2YRy(),|t2 t1|Z(t)X(t)Y(t)E[Z(t)] E[X(t)Y(t)] E[X(t)]E[Y(t)]mXmYRZ(t1,t2)E[Z(t1)Z(t2)] E[X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)]E[X(t1)X(t2)Y(t1)Y(t2)] E[X(t1)X(t2)]E[Y(t1)Y(t2)]RX(t1,t2)RY(t1,t2)RX()RY(),|t2t1|E[Z2(t)]E[X2(t)Y2(t)]E[X2(t)]E[Y2(t)] 2XY22 2 22 2 2D[Z(t)]D[X(t)Y(t)]E[Z2(t)]E2[Z(t)] X2Y2m2Xm2Y由平稳条件可知Z(t)X(t)Y(t)也是平稳的随机信号8、设随机信号Z(t)X(t)cos0tY(t)sin 0t,其中°为常数，X(t)、Y(t)为平稳信号。试求：(1)Z(t)的自相关函数 RZ(t,t )；(2)若RX()RY()，RXY()0，求 RZ(t,t )。解：(1)QX(t)，Y(t)是平稳的随机信号RZ(t,t )E[Z(t)Z(t)]))]E[(X(t)cos0tY(t)sin0t)(X(t)cos0(t)Y(t)sin0(t))]E[X(t)X(t)cos0tcos0(t)X(t)Y(t)cos0tsin0(t)X(t)Y(t)sin0tcos0(t)Y(t)Y(t)sin0(t)sin0t]X(tcos0tcos0(tsin0tcos0(t)Rcos0tcos0(tsin0tcos0(t)RYX()sin0(t)sin0tRY()(2)QRx()Ry(),Rxy()0X(t)Y(t )Y(t)Y(t )X(t)Y(t )Y(t)X(t )Ryx(,t)0Rz( ,t)cos 0tcos 0(t )Rx( )sin 0tsin 0(t )Ry()Rx()[cos0tcos0(t )sin°tsin0(t)]Rx()cos011、已知随机信号X(t)AsintBcost,式中，A与B为彼此独立的零均值随机变量。求证X(t)是均值各态历经的，而X2(t)无均值各态历经性。证：X(t)AsintBcostTTTT(AsintBcost)dt—— .. 1X(t)AsintBcostlimT2T2BsintBsint八lim lim 0T2TTTE[X(t)]X(t)0X(t)是均值各态历经的__2 _2 2 _2 2 __QE[X(t)]E[AsintBcost2ABsintcost]sin2tE[A2]cos2tE[B2]2E[AB]sintcost.2 2 2 2sintAcostBX2(t)limT2TT2 2T(AsintX2(t)limT2TT2 2T(Asint2 2Bcost2ABsintcost)dtlim-1[T2TT2 2Asintdt2 2B2cos2tdt 丁ABsin2tdt]「22 2T2 2T1cos2tAsintdtAsintdtA dtT T T221 1T2 1A[—t-sin2t]TA[T-sin2T]2 4 2「_2 2. _2T2_ _2T1BcostdtBcostdtB—T T Tcos2t dt2211T2 1B[tsin2t]TB[Tsin2T]2 4 2TABsin2tdtTTABsin2tdtTTABsin2tdtTAB[-cos2t]TT22 1 2 1 2 1X2(t)lim [A2 1 2 1 2 1X2(t)lim [A2[T-sin2T]B2[T-sin2T]]T2T 2 2,二c2、’1sin2T(AB)lim(-T24T12 2)2(AB)_1 2 _2 2 2Q-(AB)sintA22i2costBX2(t)无均值各态历经性第四章4、若调幅信号波形为Y(t)[aX(t)]cos0t,其中a, 0为常量,密度PX()的低频随机信号，求已知波形 Y(t)的功率谱密度。解：Y(t)acos0tX(t)cos0t”t)Y2(t)其中Y(t)为确知信号，Y2(t)为随机信号X(t)为具有功率谱分布求P1()、P2()利用4-102RY1()—acos0tacos0(t)dtacos0QR()P()2TOC\o"1-5"\h\zR()][( 0) ( 0)]QX(t)的功率谱密度为PX()利用傅里叶变换的性质、，，、 1… 、… 、rX(t)cos0t -[Px( 0)Px( 0)]PY()Py()P2()6、已知随机信号Z(t)X(t)cos0tY(t)sin0t,式中X(t),Y(t)联合平年I, 0为常数。(1)讨论X(t),Y(t)的均值和自相关函数在什么条件下， 才能使随机信号Z(t)Z⑴宽平稳;(2)利用(1)的结论，用功率谱密度 Px(),Py(),Pxy()表示Z(t)的功率谱密度PZ();⑶若X(t),Y⑴互不相关，求Z(t)的功率谱密度Pz()。解:无答案9、随机信号X(t)和Y(t)是统计独立的平稳信号，均值分别为 mx和mY,协方差函数分别为Cx()e||和Cy()e||。求Z⑴X(t)Y(t)的自相关函数与功率谱密度。思路：先求RZ(),RZ() PZ()Rz()E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t )]Rx()Ry()

TOC\o"1-5"\h\zQCx( ) E[X(t)X(t )] E[X(t)]E[X(t )]Rx( ) Cx()mX2 e ||mXI2同理Ry()e mYRz()(e||mX)(e||mY2)e()||mXe||m/e||mXmX又QRz() Pz()2( ) 2 2 2 2 22/、P149PZ() -2——2mx———2mY———22mxmY()第五章2t 一 、5、若功率谱密度为5W/Hz的平稳白噪声作用到冲激响应为 h(t)eu(t)的线性系统上,求系统输出的均方值和功率谱密度。解：思路：先求PY(),再求E[X2(t)]单边指数脉冲e2tu(t)1单边指数脉冲e2tu(t)12jwPY() Px()|H()|2*4No可得Ry⑴可得Ry⑴R(0)No9、一个均值为mx,自相关