中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点•现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）•yy（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设AMBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）n/2（2）22.5。⑶周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出ZAOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：（1）TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45。，•••OA旋转了45°.•••OA在旋转过程中所扫过的面积为阳冷(2)TMNIIAC,•ZBMN=ZBAC=45°，ZBNM=ZBCA=45°.•ZBMN=ZBNM.•BM=BN.又:BA=BC，•AM=CN.又:OA=OC，ZOAM=ZOCN，•△OAM竺△OCN.•ZAOM=Z•ZAOM=ZCON=121(zaoc-zMON)=2(90。-45。)=22.5°.•旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°.（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则ZAOE=45°-ZAOM，ZCON=90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,•ZAOE=ZCON.又:OA=OC，ZOAE=180°-90°=90°=ZOCN.

△OAE竺△OCN.OE=ON,AE=CN.又：乙MOE=ZMON=45°,OM=OM,△OME竺△OMN.MN=ME=AM+AE..MN=AM+CN,.p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.•••在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.2.如图，在ABC中，ZACB二90,ZBAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE丄AD交AB于点E,以AE为直径作O.（1）求证：BC是O的切线；O（2）若AC=3，占C=4，求tanZEDB的值.1【答案】（1）见解析；（2）tan/EDB=2.【解析】【分析】（1）连接OD,如图，先证明OD//AC，再利用AC丄BC得到OD丄BC,然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用勾股定理计算出AB=5，设O的半径为r,则OA=OD=r,OB=5—r,再证明BDO-BCA再证明BDO-BCA，利用相似比得到r：3=（5-r）:5,解得r=-8,接着利用勾531股定理计算BD=-，则CD=-，利用正切定理得tanz1=-，然后证明222Z1=zEDB，从而得到tanzEDB的值.【详解】（1）证明：连接0D,如图，

AD平分ABAC,z.Z1=Z2,..OA=AD平分ABAC,z.Z1=Z2,..OA=OD,；Z2=Z3,.•・Z1=Z3,••・OD//AC,AC丄BC,・•・OD丄BC,・°・BC是O的切线；（2）解:ACB中，ab=启2+42=5,o-设O的半径为厂，则OA=OD=r,OB=5-r,OD//AC,A・％DOsBCA,・・OD:AC=BO:ba,■艮即r3=（』-r）：5,解得r=-,8OB=兰在RtODB中，BD=衬OB2-OD2・CD=BC-BD=-在RtACD中,tanZl=CD=2=1，AC32AE为直径，/.ZADe=90,・ZEDB+ZADC=90,•Z1+ZADC=90,。・Z1=ZEDB,。1・tanZEDB=—2・【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．已知，如图：O1为x轴上一点，以01为圆心作O01交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，ZCMD的外角平分线交OO1于点E,AB是弦，且ABIICD,直线DM的解析式为y=3x+3.（1）如图1,求OO1半径及点E的坐标.（2）如图2,过E作EF丄BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦ABIICD，试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.（3）在（2）的条件下，EF交OO1于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长（不写过程），若变化自画图说明理由.图1图2【答案】（1）r=5E（4,5）（2）BF+CF=AC（3）弦BG的长度不变，等于5、込【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO]、MO1，如图1,可以证到ZECD=ZSME=ZEMC=ZEDC,从而可以证到ZEOD=ZEO]C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设OO1的半径为r.在RtAMOO1中利用勾股定理就可解决问题.（2）过点01作Of丄EG于P,过点01作Of丄BC于Q,连接EO】、DB，如图2.由ABIDC可证到BD=AC,易证四边形OfFQ是矩形，从而有Of=FQ,ZPO1Q=90°，进而有ZEOp=ZCO1Q，从而可以证到厶EPO*△CQO1，则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理1可得FQ=-BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.厶（3）连接EO1，ED,EB,BG,如图3.易证EFIBD,则有ZGEB=ZEBD,从而有BG=ED，也就有BG=DE.在RtAEOD中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解：（1）连接ED、EC、EO]、MO1，如图1.TME平分ZSMC,•••ZSME=ZEMC.TZSME=ZECD,ZEMC=ZEDC,AZECD=ZEDC,AZEOD=ZEOC.TZEO]D+ZEO]C=180°,AZEOD=ZEOC=90°.T直线DM的解析式为y=3x+3,A点M的坐标为（0,3）,点D的坐标为（-1,0）,AOD=1,OM=3.设OO]的半径为r,则MO]=DO]=r.在RtAMOO1中，(r-1)2+32=r2.解得：r=5,•••001=4,E0]=5,•••OO]半径为5,点E的坐标为(4,5).BF+CF=AC.理由如下：过点O]作Of丄EG于P,过点O]作Of丄BC于Q,连接EO].DB,如图2.vABIIDC,•ZDCA=ZBAC,•ad=BC,:.BD=AC,•BD=AC.•••Of丄EG,O]Q丄BC,EF丄BF,•ZO]PF=ZPFQ=ZO]QF=90°,•四边形OfFQ是矩形，O]P=FQ,ZPO]Q=90°,•ZEO]P=90°-ZPO]C=ZCO]Q.'/EOP=ZCOQ11在厶EPO]和厶CQO]中，＜ZEPO]=ZCQO],OE=OC11△EPO梓△CQO],•PO^QO],•FQ=QO].vQO]丄BC,•BQ=CQ.11CO]=DO],•O]Q=—BD,•.FQ=—BD.厶厶•:BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,•BF+CF=BD=AC.连接EO],ED,EB,BG,如图3.DC是OO]的直径，•ZDBC=90°,•ZDBC+ZEFB=180°,•EFIBD,ZGEB=ZEBD，•BG=ED，•BG=DE.vDO=EO=5,EO丄DO,•DE=5、辽,•BG=5、迂,1111•弦BG的长度不变，等于5迈.EEDDqC02aBB上AA图EEDDqC02aBB上AA图2点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由ABIDC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键，由EGIDB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线-与大圆交于点B,点D在大圆上，BD与小圆相切于点F,AF的•延长线与大圆相交于点C,且CE丄BD.找出图中相等的线段并证明.【解析】试题分析：由AE是小OO的直径，可得OA=OE,连接OF,根据切线的性质，可得OF丄BD,然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OFIICE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD.然后连接OD、OC,可证得△AOD竺△EOC，则可得BC=AD=CE=AE.试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE.证明如下：TAE是小OO的直径，OA=OE.连接OF，TBD与小OO相切于点F，.OF丄BD.TBD是大圆O的弦，.DF=BF.TCE丄BD，.CEIOF，.AF=CF..四边形ABCD是平行四边形.-AD=BC,AB=CD.TCE：AE=OF：AO，OF=AO，.AE=EC.连接OD、OC，TOD=OC，ZODC=ZOCD.TZAOD=ZODC,ZEOC=ZOEC,.ZAOC=ZEOC，.△AOD竺△EOC,.AD=CE..BC=AD=CE=AE.【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．5.如图，AB是半圆0的直径，半径0C丄AB,0B=4,D是0B的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；3若tanZAED二§，求AE的长；点F是半径0C上一动点，设点E到直线0C的距离为口，当厶DEF是等腰直角三角形时，求m的值.16【答案】（1）S=6\2；（2）AE—5；（3）m=2、〔3，m=2*'2，ADE5m=、门-1.【解析】【分析】（1）作EH丄AB,连接OE,EB,设DH=a，贝HB=2-a，OH=2+a，则EH=OH=2+a,根据RtAAEB中，EH2=AH・BH,即可求出a的值，即可求出S^ADE的值；AFAD（2）作DF丄AE,垂足为F,连接BE，设EF=2x,DF=3x，根据DFIIBE故=——,EFBD得出AF=6x，再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2，即可求出x,进而求出AE的长;(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.【详解】解：(1)如图，作EH丄AB，连接OE,EB,设DH=a，贝HB=2-a,OH=2+a,•••点E是弧BC中点，ZCOE=ZEOH=45°,

EH=0H=2+a,在RtAAEB中，EH2=AH・BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=±2p'2-2,.a=2迈-2,EH=2迈,ODHB(2)如图，作DF丄AE,垂足为F,连接BE设EF=2x,DF=3x•••DFIIBE.AF_AD…~EF~~BDAF6…——=32x2.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=I<5(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH=a由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,

乙DFO=ZEDH△ODF竺△HED.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH・BH(2)2=(6+a)・(2-a)解得a=±2朽-2m=2J3当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFG竺△DEH设DH=a，贝9GE=a,EH=FG=2+a在RtAABE中，EH2=AH・BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2^2-2.m=2\迂当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFM竺△FDO设OF=a,贝9ME=a，MF=OD=2.EH=a+2在RtAABE中，EH2=AH・BH(a+2)2=(4+a)・(4-a)解得a=±J7-1m=\：7-1【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.6.如图1,在RtAABC中，ZABC=90°,BA=BC，直线MN是过点A的直线CD丄MN于点D,连接BD.观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BE丄BD，交MN于点E,进而得出：DC+AD=BD．(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写DN图1.V图DN图1.V图2DBD的长．【答案】(1)€2；(2)AD-DC=J2BD；(3)bd=ad=€2+1.【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系过点B作BE丄BD，交MN于点E.AD交BC于O,证明ACDB^AAEB，得到CD=AE,EB=BD,根据ABED为等腰直角三角形，得到DE=42BD,再根据DE=AD-AE=AD-CD，即可解出答案.根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大.在DA上截取一点H,使得CD=DH=1，则易证CH=AH=72,由BD=AD即可得出答案.【详解】解：(1)如图1中，由题意：ABAE空ABCD,AE=CD,BE=BD,CD+AD=AD+AE=DE,•••ABDE是等腰直角三角形，.DE=迈BD,.DC+AD=p2BD,故答案为〔2•(2)AD-DC=J2bD.证明：如图，过点B作BE丄BD，交MN于点E.AD交BC于O.ZABC=ZDBE=90。,ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,ZABE=ZCBD.ZBAE+ZAOB=90°,ZBCD+ZCOD=90°,ZAOB=ZCOD,ZBAE=ZBCD,ZABE=ZDBC.又AB=CB,ACDB^AAEB,CD=AE,EB=BD,.ABD为等腰直角三角形,de=J2BD.DE=AD—AE=AD—CD,.AD—DC=\2BD.(3)如图3中,易知A、B、C、D四点共圆,当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大.此时DG丄AB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH二AH二j2,…BD二AD=\2+1.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质,等腰直角三角形的性质以及图形的应用,正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.7.如图1,AB为半圆0的直径，半径0P丄AB,过劣弧AP上一点D作DC丄AB于点C.连接DB,交0P于点E,ZDBA=22.5°.⑴若0C=2,则AC的长为;⑵试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；⑶连接AD并延长，交0P的延长线于点G,设DC=x,GP=y,请求出x与y之间的等量关系式.(请先补全图形,再解答)【答案】⑴2叵-2；⑵见解析；⑶y=2x【解析】【分析】如图，连接OD,则有ZAOD=45°,所以△DOC为等腰直角三角形，又OC=2,所以DO=AO=2，故可求出AC的长；连接AD,DP,过点D作DF丄0P,垂足为点F.证AC=PF或AC=EF,证DP=DE证PF=EF=丄PE，故可证出PE=2AC；2首先求出OD=^2CD=、辽x，再求AB=2、辽x，再证△DGE里△DBA,得GE=AB=2迈X，由PE=2AC得PE=2(迈x-x)，再根据GP=GE—PE可求结论.【详解】(1)连接OD,如图，ZB=22.5°,ZDOC=45°,TDC±AB.△DOC为等腰直角三角形，TOC=2,•••OD=2$2,.A°=2J2,.AC=AO-OC=2迈2.⑵连接AD,DP,过点D作DF丄0P,垂足为点F.TOP±AB,.ZPOD=ZDOC=45°,.AD=PD,T△DOC为等腰直角三角形，.DC=CO,易证DF=CO,.DC=DF,RtADAC竺RtADPF,.PF=AC,TDO=AO,ZDOA=45°.ZDAC=67.5°.ZDPE=67.5°,TOD=OB,ZB=22.5°,.ZODE=22.5°.ZDEP=22.5°+45°=67.5°.ZDEP=ZDPEPF=EF=-PE2.PE=2AC(3)如图2,由/DCO=90°,ZDOC=45°得OD=j2CD=y'2x••AB=2OD=2払vAB是直径，.ZADB=ZEDG=90°,由(2)得AD=ED,ZDEG=ZDAC△DGE^△DBAGE=AB=2\；'2xvPE=2ACPE=2&2x-x)GP=GE—PE=2<2x-2Q2x-x)即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.8如图，AB为OO的直径，BC为OO的弦，过O点作OD丄BC,交OO的切线CD于点D,交OO于点E,连接AC、AE，且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是OO的切线；(2)若AF：EF=2：1,求tanZCAF的值.【答案】⑴证明见解析；⑵弓【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到ZOBD=ZOCD=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；根据已知条件得到ACIIDE，设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到11AC：EG=2：1,EG=AC,根据三角形的中位线的性质得到OG=㊁AC于是得到AC=OE,求得/ABC=30°，即可得到结论.【详解】证明：(1)TOC=OB,0D丄BC,ZCOD=ZBOD,在厶COD与厶BOD中，'OC=OB<ZCOD=ZBOD,OD=0D.△COD竺△BOD,.ZOBD=ZOCD=90°，.BD是OO的切线;(2)解：TAB为OO的直径，AC丄BC,TOD丄CB,.ACIIDE,设OD与BC交于G,TOEIAC,AF：EF=2：1,1.AC：EG=2：1,即卩EG=_AC,2TOGIAC,OA=OB,OG=1AC,211OG+GE=2AC+2AC=AC'.AC=OE,.AC=AB,2.ZABC=30°.ZCAB=60°,CE=BE,ZCAF=ZEAB=1ZCAB=30°,2..tanZCAF=tan30°=【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．9.如图，已知等边△ABC,AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF丄AC,垂足为F,过点F作FG丄AB,垂足为G,连结GD.求证：DF是O0的切线；求FG的长；求tanZFGD的值.【答案】⑴证明见解析；(2)6「：；(3)'.【解析】试题分析：⑴连接OD,根据等边三角形得出ZA=ZB=ZC=60°,根据OD=OB得到ZODB=60°,得到ODIIAC,根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据RtACDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据RtAAFG的三角函数求出FG的长度；⑶过点D作DH丄AB,根据垂直得出FGIIDH,根据RtABDH求出BH、DH的长度，然后得出ZGDH的正切值，从而得到ZFGD的正切值.试题解析：⑴如图①，连结OD,T△ABC为等边三角形，•••ZC=ZA=ZB=60°,而OD=OB,•△ODB是等边三角形，ZODB=60°,•ZODB=ZC,ODIIAC,TDF丄AC,•OD丄DF,•DF是OO的切线T0DIIAC，点O为AB的中点，•OD为厶ABC的中位线，BD=CD=6.在RtACDF中，ZC=60°,•ZCDF=30°,CF=CD=3,•AF=AC-CF=12-3=9在RtAAFG中，TZA=6