高等代数线性变换公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6能够对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵特征值当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸收对方新鲜活力，并快速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。---华罗庚（1910－1985）7.1线性映射一、内容分布7.1.1线性映射定义、例.7.1.2线性变换象与核.二、教学目标:1．准确线性变换（线性映射）定义，判断给定法则是否是一个线性变换（线性映射）．2．正确了解线性变换象与核概念及相互间联络，并能求给定线性变换象与核．三、重点难点:判断给定法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换象与核．

7.1.1线性映射定义、例

设F是一个数域，V和W是F上向量空间.

定义1

设σ是V到W一个映射.假如以下条件被满足，就称σ是V到W一个线性映射：①对于任意

②对于任意轻易证实上面两个条件等价于下面一个条件：③对于任意

和任意在②中取，对③进行数学归纳，能够得到：（1）（2）例1

对于

每一向量

定义

σ是

到

一个映射，我们证实，σ是一个线性映射.

例2

令H是

中经过原点一个平面.对于每一向量ξ，令

表示向量ξ在平面H上正射影.依据射影性质，

是

到

一个线性映射.

例3

令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间

每一向量

要求：

是一个m×1矩阵，即是空间

一个向量，σ是

到

一个线性映射.例4

令V和W是数域F上向量空间.对于V每一向量ξ令W零向量0与它对应，轻易看出这是V到W一个线性映射，叫做零映射.

例5

令V是数域F上一个向量空间，取定F一个数k，对于任意

定义轻易验证，σ是V到本身一个线性映射，这么一个线性映射叫做V一个位似.

尤其，取k=1，那么对于每一

都有

这时σ就是V到V恒等映射，或者叫做V单位映射，假如取k=0，那么σ就是V到V零映射.

例6

取定F一个n元数列

对于每一向量

要求

轻易验证，σ是

到F一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或

上一个线性型.

例7

对于F[x]每一多项式f（x），令它导数

与它对应，依据导数基本性质，这么定义映射是F[x]到本身一个线性映射.

例8

令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成R上向量空间，对于每一

要求

仍是[a,b]上一个连续实函数，依据积分基本性质，σ是C[a,b]到本身一个线性映射.

7.1.2线性变换象与核定义2

设σ是向量空间V到W一个线性映射,(1)假如

那么

叫做

在σ之下象.(2)设

那么

叫做

在σ

之下原象.定理7.1.1

设V和W是数域F上向量空间，而

是一个线性映射，那么V任意子空间在σ之下象是W一个子空间，而W任意子空间在σ之下原象是V一个子空间.

尤其，向量空间V在σ之下象是W一个子空间，叫做σ象,记为

即另外，W零子空间{0}在σ之下原象是V一个子空间，叫做σ核，记为即定理7.1.2

设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么(i)σ是满射(ii)σ是单射证实

论断(i)是显然,我们只证论断(ii)假如σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一零向量.反过来设ker(σ)={0}.假如

那么

从而

所以

即σ是单射.假如线性映射

有逆映射，那么是W到V一个线性映射.

提议同学给出证实.

7.2线性变换运算

一、内容分布7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换积7.2.3线性变换多项式二、教学目标:掌握线性映射加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换多项式,能够求出给定线性变换多项式.三、重点难点:

会做运算.7.2.1加法和数乘

令V是数域F上一个向量空间，V到本身一个线性映射叫做V一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成集合，设定义:

加法:

数乘:,那么是V一个线性变换.能够证实:和

都是V一个线性变换.

令，那么对于任意

和任意

证实

所以

是V一个线性变换

令，那么对于任意

和任意

所以kσ是V一个线性变换.

线性变换加法满足变换律和结合律,轻易证实,对于任意,以下等式成立:

(1)(2)令θ表示V到本身零映射,称为V零变换,它显然含有以下性质：对任意

有：

(3)设

σ负变换－σ指是V到V映射轻易验证，－σ也是V线性变换，而且

（4）线性变换数乘满足以下算律：这里k,l是F中任意数，σ,τ是V任意线性变换.定理7.2.1

L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.

7.2.2线性变换积

设

轻易证实合成映射

也是V上线性变换，即

我们也把合成映射

叫做σ与τ积，而且简记作στ。除上面性质外，还有：对于任意

成立。证实

我们验证一下等式（9）其余等式能够类似地验证。设

我们有因而（9）成立。7.2.3线性变换多项式

线性变换乘法满足结合律：

对于任意

都有

所以,我们能够合理地定义一个线性变换σn次幂

这里n是正整数。我们再定义

这里ι表示V到V单位映射，称为V单位变换。这么一来，一个线性变换任意非负整数幂有意义。

深入，设

是F上一个多项式，而

以σ代替x，以

代替，得到V一个线性变换

这个线性变换叫做当

时f(x)值，而且记作

（1）因为对于任意

我们也可将

简记作，这时能够写（2）带入法：假如而且

那么依据L(V)中运算所满足性质,我们有

7.3线性变换和矩阵

一、内容分布

7.3.1线性变换矩阵7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不一样基下矩阵—相同矩阵二、教学目标

1．熟练地求出线性变换关于给定基矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ线性变换．2．由向量α关于给定基坐标，求出σ(α)关于这个基坐标．3．已知线性变换关于某个基矩阵，熟练地求出σ关于另一个基矩阵。三、重点难点线性变换和矩阵之间相互转换,坐标变换,相同矩阵。7.3.1线性变换矩阵

现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V一个线性变换，取定V一个基令

………设

N阶矩阵A叫做线性变换σ关于基矩阵.上面表示经常写出更方便形式:(1)7.3.2坐标变换设V是数域F上一个n维向量空间,

是它一个基,ξ关于这个基坐标是

而σ(ξ)坐标是

问:和

之间有什么关系?

设因为σ是线性变换，所以

（2）将（1）代入（2）得最终，等式表明，坐标所组成列是

综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，σ是V一个线性变换，而σ关于V一个基

矩阵是

假如V中向量ξ关于这个基坐标是，而σ(ξ)坐标是

，

那么例1在空间

内取从原点引出两个彼此正交单位向量

作为

基.令σ是将

每一向量旋转角θ一个旋转.σ是

一个线性变换.我们有

所以σ关于基

矩阵是设，它关于基

坐标是,而

坐标是.那么

7.3.3矩阵唯一确定线性变换

引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，

是V一个基，那么对于V中任意

n个向量，有且仅有V一个线性变换σ，使得:证

设

是V中任意向量.我们以下地定义V到本身一个映射σ：我们证实，σ是V一个线性变换。设那么

于是

设

那么

这就证实了σ是V一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求条件：假如τ是V一个线性变换，且

那么对于任意从而■定理7.3.3

设V是数域F上一个n维向量空间，

是V一个基，对于V每一个线性变换σ，令σ关于基

矩阵A与它对应，这么就得到V全体线性变换所成集合L（V）到F上全体n阶矩阵所成集合

一个双射，而且假如,而，则(3)

(4)

证设线性变换σ关于基

矩阵是A。那么

是

一个映射。是F上任意一个n阶矩阵。令

由引理7.3.2，存在唯一

使

反过来，设显然σ关于基

矩阵就是A.这就证实了如上建立映射是

双射.

设

我们有

因为σ是线性变换,所以

所以

所以στ关于基

矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然。□推论7.3.4

设数域F上n维向量空间V一个线性变换σ关于V一个取定基矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，而且关于这个基矩阵就是

.证

设σ可逆。令

关于所取定基矩阵是B。由（7），

然而单位变换关于任意基矩阵都是单位矩阵I.所以AB=I.同理BA=I.所以注意到（5），能够看出

同理

所以σ有逆，而

□

反过来，设

而A可逆。由定理7.3.3，有

于是

我们需要对上面定理7.3.1和定理7.3.3深刻意义加以说明:

1.取定n维向量空间V一个基之后,在映射:

之下,

(作为线性空间)研究一个抽象线性变换σ,就能够转化为研究一个详细矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,能够经过矩阵来研究线性变换,也能够经过线性变换来研究矩阵.2.我们知道,数域F上一个n维向量空间V同构于,V上线性变换

转化为

上一个详细变换:

也就是说,线性变换都含有上述形式.

7.3.4线性变换在不一样基下矩阵

——相同矩阵

定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.假如存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式

成立，那么就说B与A相同，记作：.n阶矩阵相同关系含有以下性质：1.自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相同，因为2.对称性：假如，那么；

因为由3.传递性：假如且那么实际上，由

得设线性变换σ关于基

矩阵是A,σ关于基

矩阵是B,由基

到基

过渡矩阵T,即:定理7.3.4

在上述假设下,有:

即:线性变换在不一样基下矩阵是相同.反过来,一对相同矩阵能够是同一个线性变换在不一样基下矩阵.证实留做练习7.4不变子空间一、内容分布

7.4.1定义与基本例子7.4.2不变子空间和线性变换矩阵化简7.4.3深入例子二、教学目标

1．掌握不变子空间定义及验证一个子空间是否某线性变换不变子空间方法．2．会求给定线性变换一些不变子空间．三、重点难点

验证一个子空间是否某线性变换不变子空间、会求给定线性变换一些不变子空间。7.4.1定义与基本例子

令V是数域F上一个向量空间,σ是V一个线性变换.定义

V一个子空间W说是在线性变换σ之下不变,假如

.假如子空间W在σ之下不变，那么W就叫做σ一个不变子空间.

注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指,

即:

并不能说:

例1

V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.例2

令σ是V一个线性变换，那么σ核Ker(σ)像Im(σ)之下不变.例3

V任意子空间在任意位似变换之下不变.

例4

令σ是

中以某一过原点直线L为轴，旋转一个角θ旋转，那么旋转轴L是σ一个一维不变子空间，而过原点与L垂直平面H是σ一个二维不变子空间.例5

令F[x]是数域F上一切一元多项式所成向量空间，

是求导数运对于每一自然数n，令

表示一切次数不超出n多项式连同零多项式所成子空间.那么

在σ不变.

设W是线性变换σ一个不变子空间.只考虑σ在W上作用，就得到子空间E本身一个线性变换，称为σ在W上限制，而且记作

这么，对于任意

然而假如

那么

没有意义。7.4.2不变子空间和线性变换矩阵化简

设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W一个基

再补充成V一个基

因为W在σ之下不变，所以

仍在W内，因而能够由W基

线性表示。我们有：所以，σ关于这个基矩阵有形状

而A中左下方O表示一个

零矩阵.这里

是

关于W基

矩阵，由此可见，假如线性变换σ有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V基，能够使与σ对应矩阵中有一些元素是零。尤其，假如V能够写成两个非平凡子空间

直和：

那么选取

一个基

和

一个基

凑成V一个基

当

都在σ之下不变时，轻易看出，σ关于这么选取基矩阵是这里

是一个r阶矩阵,它是

关于基

普通地，假如向量空间V能够写成s个子空间

直和，而且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V一个基，σ关于这个基矩阵就有形状

这里

关于所取

基矩阵.矩阵，而

是n–r阶矩阵，它是

关于基

矩阵。例6

令σ是例4所给出

线性变换.显然是一维子空间L与二维子空间H直和，而L与H在σ之下不变.取L一个非零向量，取

H两个彼此正交单位长度向量

那么

是

一个基，而σ关于这个基矩阵是7.4.3深入例子例7

假如，那么证：1.任取2.任取例8

假如，那么对任何

证：，那么

例9

判定以下子空间在给定σ下是否为不变子空间

（1）

（2）（3）

（4）

解

(1)是.

(2)否.

(3)是.

(4)否.

例10

σ是V上一个线性变换，W是

生成子空间：

.则.

证：

必要性：W中不变子空间，

充分性：假如

是包含最小子空间，

例11

设σ是V上线性变换，α是V上非零向量，且

线性无关，但线性相关.那么

是包含α最小不变子空间.证(1)线性表出,所以

这么，生成元在σ下象全部属于.所以是一个σ不变子空间（2）对任何包含α不变子空间W，

故，

即

包含W一个最小子空间.

例12

设

是V一给基,σ在

下矩阵为

求包含

最小子空间.

解

算

坐标为（用“()”表示取坐标）中线性无关

坐标排成行列式为：

所以

是包含

最小子空间.

注意到

与

是等价向量组，所以

一.内容分布

7.5.1引例7.5.2矩阵特征值和特征向量定义7.5.3特征值和特征向量计算方法7.5.4矩阵特征值和特征向量性质二.教学目标

1.了解特征值和特征向量概念2.熟练掌握求矩阵特征值和特征向量方法3.掌握特征值与特征向量一些惯用性质三.重点难点

矩阵特征值和特征向量求法及性质7.5.1引例

在经济管理许多定量分析模型中，经常会碰到矩阵特征值和特征向量问题.

它们之间关系为

写成矩阵形式，就是是当前工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位).

例发展与环境问题已成为二十一世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平关系，有人提出了以下工业增加模型：设是某地域当前污染水平(以空气或河湖水质某种污染指数为测量单位)，

若干年后(比如5年后)污染水平和工业发展水平分别为

和记

，，，即(2)式可写成

设当前

，则

即

，由此能够预测若干年后污染水平与工业发

展水平。由上例我们发觉，矩阵A乘以向量

恰好等于

4倍，倍数4及向量

即是我们本节要讨论矩阵特征值和特征向量.7.5.2特征值和特征向量定义定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中一个数，假如存在V中非零向量α，使得

那么称λ为矩阵A一个特征值，α称为A属于特征值λ特征向量.例

因

解:所以4是

一个特征值，

是A属于4特征向量.

又

故

也是A属于4特征向量.注1：α是A属于λ特征向量，则

，cα也是A属于λ特征向量

练习1(1)假如向量是矩阵特征向量，

则k=__________(2)设，以下向量中能够成为A

特征向量是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.7.5.3特征值和特征向量计算方法使

λ是A特征值

有非零解

注2：

λ是A特征值

λ是方程

根.α是A属于λ特征向量

且

是

非零解。

注3：α是A属于λ特征向量

是非零解。

定义2：

称为A特征多项式。

称为A特征方程，

称为A特征矩阵。

例1设，求A全部特征值、特征量。

解：A特征多项式为A特征值为

对于解因为得基础解系A对应于全部特征向量为

即对于

解

即因为

得基础解系A对应于全部特征向量为注4：A特征向量有没有穷多个，分为两大类：

一类为一类为问题1：同类两个特征向量线性相关性怎样？问题2：不一样类任两个特征向量线性相关性怎样？求A全部特征值和特征向量方法：1.计算特征多项式

2.求特征方程

全部根，

即得A全部特征值

3.对于A每一个特征值

，求对应齐次线性方程组

（不全为零）例2：求矩阵

特征值和特征向量。

一个基础解系

，则A属于

全部特征向量为解

A特征多项式

A特征值为

，对于

，解

得基础解系:A属于特征值1全部特征向量为

对于

，解

得基础解为

A属于特征值–1全部特征向量为

7.5.4特征向量和特征值性质性质1

有相同特征值

分析：要证

有相同特征值

只须证

注意到

性质3

A主对角线上元素和称为A迹，记作

，则

性质2

A属于不一样特征值特征向量线性无关。注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=0

练习：求

特征值，特征向量。

解：A特征多项式为所以A特征值为

对于

，解

对于

，解

小结1、定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中一个数，假如存在V中非零向量α，使得

那么称λ为矩阵A一个特征值，α称为A属于特征值λ特征向量.2、

λ是A特征值

λ是方程

根.3、

α是A属于λ特征向量

是非零解。

4、求A全部特征值和特征向量方法：1.计算特征多项式

2.求特征方程

全部根，

即得A全部特征值

3.对于A每一个特征值

，求对应齐次线性方程组

（不全为零）一个基础解系

，则A属于

全部特征向量为5、3个性质。作业：P2961、（i）（iii）思索题：矩阵A特征值由特征向量唯一确定吗？为何？7.6能够对角化矩阵

一、内容分布

7.6.1什么是可对角化7.6.2本征向量线性关系7.6.3可对角化判定7.6.4矩阵对角化方法及步骤二、教学目标

1．掌握可对角化定义与判断．2．熟练掌握矩阵对角化方法步骤．三、重点难点

可对角化判断与计算。7.6.1什么是可对角化

设A是数域F上一个n阶矩阵，假如存在F上一个n阶逆矩阵T，使得

含有对角形式（1）则说矩阵A能够对角化.

我们知道,能够经过矩阵来研究线性变换,也能够经过线性变换来研究矩阵，本节更多经过线性变换来研究矩阵.矩阵A能够对角化对应到线性变换就是:

设σ是数域F上

维向量空间V一个线性变换，假如存在V一个基，使得σ关于这个基矩阵含有对角形式(1),那么说，σ能够对角化.

很轻易证实,σ能够对角化充分必要条件是σ有n个线性无关本征向量.这n个线性无关本征向量显然组成V基.所以，我们需要深入研究本征向量线性关系，需要研究在什么条件下σ有n个线性无关本征向量.7.6.2本征向量线性关系

定理7.6.1

令σ是数域F上向量空间V一个线性变换.假如

分别是σ属于互不相同特征根

特征向量，那么

线性无关.证

我们对n用数学归纳法来证实这个定理

当n=1时，定理成立。因为本征向量不等于零。设n>1而且假设对于n－1来说定理成立。现在设

是σ两两不一样本征值，是属于本征值本征向量：

假如等式

成立，那么以

乘（3）两端得

其次，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有（5）式减（4）式得

依据归纳法假设，线性无关，所以

但

两两不一样，所以

代入（3），因为

所以

这就证实了

线性无关。□推论7.6.2

设σ是数域F上向量空间V一个线性变换，是σ互不相同本征值。又设

是属于本征值

线性无关本征向量,

那么向量

线性无关.

证

先注意这么一个事实：σ属于同一本征值λ本征向量非零线性组合仍是σ属于λ一个本征向量。由上面所说事实，假如某一，则

是σ属于本征值

本征向量。因为互不相同，所以由定理7.6.1，必须全部

即令

则

现在设存在F中数

使得

然而

线性无关，所以

即

线性无关。□7.6.3可对角化判定定理7.6.3

令σ是数域F上n维向量空间V一个线性变换，假如σ特征多项式

在F内有n个单根，那么存在V一个基，使σ就关于这个基矩阵是对角形式.证

这时σ特征多项式

在F[x]内能够分解为线性因式乘积：

且两两不一样。对于每一个选取一个本征向量

由定理7.6.1,

线性无关，因而组成V一个基,σ关于这个基矩阵是将上面定理转化成矩阵语言,就是:

定理7.6.4

令A是数域F上一个n阶矩阵，假如A特征多项式

在F内有n个单根，