PPT工程制图全套教程（710）3

第3章空间点点、直直线和和平面面的投投影分分析目录.ppt教学提提示：：空间间点、、直线线和平平面是是组成成一个个三维维立体体的最最基本本的三三个几几何要要素。。本章章将重重点介介绍点点、直直线和和平面面在三三投影影面体体系中中的投投影及及其投投影特特性，，两两两几何何要素素之间间的相相对位位置关关系及及其投投影特特性；；本章章还将将阐述述常用用的几几种空空间几几何问问题的的图解解方法法及其其应用用，如如用直直角三三角形形法求求一般般位置置直线线的实实长和和对投投影面面的倾倾角、、一边边平行行于投投影面面的直直角的的投影影原理理，等等等。。主要要是学学习如如何将将点、、直线线和平平面等等空间间几何何要素素用投投影表表达，，并反反过来来又如如何用用其投投影来来分析析和解解决空空间几几何问问题。。教学要要求：：本章章是工工程制制图最最为基基础的的部分分，学学生必必须熟熟练掌掌握各各种位位置点点、直直线和和平面面的投投影及及特性性，进进一步步建立立投影影法的的基本本概念念和思思维方方法。。在此此基础础上，，学会会应用用点、、直线线和平平面的的相对对位置置关系系的投投影特特性，，与直直角三三角形形法、、直角角投影影定理理配合合解决决简单单的空空间几几何问问题，，为立立体的的投影影分析析和表表达打打下基基础。。●3.1空间点点的投投影分分析●3.2空间直直线的的投影影分析析●3.3空间平平面的的投影影分析析本章内内容3.1空间点点的投投影分分析由初等等几何何可知知，空空间两两点可可确定定一条条直线线，空空间不不在一一条直直线上上的三三个点点可确确定一一个平平面。。因此此，要要研究究空间间基本本几何何要素素及其其投影影关系系，首首先要要建立立空间间点的的投影影概念念。3.1.1点的三三面投投影及及其投投影特特征点的投投影仍仍为一一个点点，且且空间间点在在一个个投影影面上上只有有唯一一的投投影。。但当当已知知点在在一个个投影影面上上的一一个投投影时时，都都不能能确定定点在在空间间的唯唯一位位置。。将点A放在三三投影影面体体系中中分别别向三三个投投影面面V面、H面、W面作正正投影影，得得到点点A的水平平投影影a、正面面投影影、、侧侧面投投影。。(关于空空间点点及其其投影影的标标记规规定为为：空空间点点用大大写字字母A、B、C…表示，，水平平投影影相应应用小小写字字母a、b、c…表示，，正面面投影影相应应用小小写字字母、、、、…表示，，侧面面投影影相应应用小小写字字母、、、、…表示。。)将投影影面体体系展展开，，去掉掉投影影面的的边框框，保保留投投影轴轴，便便得到到点A的三面投影影图，如图图3.1所示。3.1空间点的投投影分析由此可以得得出点在三三投影面体体系的投影影特性是：：(1)点A的V面投影和H面投影的连连线垂直于于OX轴，即a′a⊥OX(长对正)。(2)点A的V面投影和W面投影的连连线垂直于于OZ轴，即a′a″⊥⊥OZ(高平齐)。(3)点A的H面投影到OX轴的距离等等于点A的W面投影到OZ轴的距离，，即aax=a″az(宽相等)，作图时可可以用圆弧弧或45°线来反映该该关系。在在三面体体系中引入入笛卡儿坐坐标体系，，以H、V、W三个投影面面为坐标面面，以三根根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，，点O为坐标原点点。于是空空间点A便可用三个个坐标值，，即点分别别到W、V、H三个投影面面的距离x、y、z来确定，由由此：点点到W面的距离Aa″=a′az=aay=oax=x；点点到到V面的距离Aa′=aax=a″az=oay=y；点点到到H面的距离Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。3.1空间点的投投影分析水平投影由由X与Y坐标确定(Z=0)；正面投影影由X与Z坐标确定(Y=0)；侧面投影影由Y与Z坐标确定(X=0)。点的任何何两个投影影可反映点点的三个坐坐标，即确确定该点的的空间位置置。空间点点在三面投投影体系中中有唯一确确定的一组组投影。(a)(b)(c)图3.1点的投影及及其投影规规律3.1空间点的投投影分析设空间点A、B、D分别位于V、H面和OX轴上，如图图3.2(a)所示，则它它们的三面面投影如图图3.2(b)所示。由此此可知，投投影面和投投影轴上的的点的坐标标和投影有有如下特性性：(1)投影影面面上上的的点点有有一一个个坐坐标标值值为为0；在在该该投投影影面面上上投投影影与与该该点点重重合合，，在在相相邻邻投投影影面面上上的的投投影影分分别别在在相相应应的的投投影影轴轴上上。。(2)投影影轴轴上上的的点点有有两两个个坐坐标标值值为为0；在在包包含含这这条条轴轴的的两两个个投投影影面面上上的的投投影影都都与与该该点点重重合合，，在在另另一一投投影影面面上上的的投投影影则则与与原原点点O重合合。。3.1.2投影影面面上上的的点点与与投投影影轴轴上上的的点点3.1空间间点点的的投投影影分分析析(a)(b)图3.2投影影面面上上的的点点与与投投影影轴轴上上的的点点3.1空间间点点的的投投影影分分析析3.1.3两点点的的相相对对位位置置及及重重影影点点的的投投影影分分析析1.空间间两两点点相相对对位位置置的的投投影影分分析析在投投影影图图上上判判断断空空间间两两个个点点的的相相对对位位置置，，就就是是分分析析两两点点之之间间上上、、下下、、左左、、右右、、前前、、后后的的关关系系，，如如图图3.3(a)所示示。。由正正面面投投影影或或侧侧面面投投影影可可判判断断两两点点间间的的上上、、下下关关系系(Z坐标标差差)；由正正面面投投影影或或水水平平投投影影可可判判断断两两点点间间的的左左、、右右关关系系(X坐标标差差)；由水水平平投投影影或或侧侧面面投投影影可可判判断断两两点点间间的的前前、、后后关关系系(Y坐标标差差)，如如图图3.3(b)所示示。。3.1空间间点点的的投投影影分分析析(a)(b)图3.3两点点的的相相对对位位置置3.1空间间点点的的投投影影分分析析2.重影影点点的的投投影影分分析析当空空间间两两点点位位于于对对某某一一投投影影面面的的同同一一条条投投射射线线上上时时，，则则此此两两点点在在该该投投影影面面上上的的投投影影重重合合为为一一点点，，此此两两点点称称为为对对该该投投影影面面的的重重影影点点。。为为区区分分重重影影点点的的可可见见性性，，规规定定观观察察方方向向与与投投影影面面的的投投射射方方向向一一致致，，即即对对V面由由前前向向后后，，对对H面由由上上向向下下，，对对W面由由左左向向右右。。因因此此，，距距观观察察者者近近之之点点的的投投影影为为可可见见，，反反之之为为不不可可见见。。从空空间间几几何何关关系系分分析析，，重重影影点点在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中有有两两对对坐坐标标值值分分别别相相等等，，其其可可见见性性则则由由它它们们的的另另一一对对不不等等的的坐坐标标值值来来确确定定，，坐坐标标值值大大者者为为可可见见，，值值小小者者为为不不可可见见。。画画投投影影图图时时应应在在不不可可见见点点的的投投影影标标记记两两侧侧注注写写括括号号，，如如图图3.4所示示。。3.1空间间点点的的投投影影分分析析(a)(b)图3.4重影影点点投投影影分分析析3.1空间间点点的的投投影影分分析析3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析由几几何何学学知知识识可可知知，，空空间间两两点点可可确确定定一一直直线线。。因因此此要要用用投投影影来来表表达达空空间间直直线线，，只只需需作作出出直直线线上上任任意意两两点点的的投投影影，，再再连连接接该该两两点点在在同同一一投投影影面面上上的的投投影影即即可可。。3.2.1直线线的的表表示示法法如已已知知两两点点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空空间间位位置置，，可可首首先先绘绘出出该该两两点点的的三三面面投投影影，，如如图图3.5(a)所示示，，然然后后将将两两点点的的同同面面投投影影相相连连，，即即可可得得直直线线的的三三面面投投影影，，如如图图3.5(b)所示示。。由由此此也也可可得得出出结结论论：：在在一一般般情情况况下下，，直直线线的的投投影影仍仍是是直直线线(不变变性性)。而而当当直直线线上上两两点点为为某某一一投投影影面面上上的的重重影影点点时时，，直直线线即即垂垂直直于于该该投投影影面面，，直直线线在在该该投投影影面面上上会会积积聚聚为为一一点点(积聚聚性性)。3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析(a)(b)图3.5直线线的的投投影影3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析直线线与与投投影影面面的的相相对对位位置置有有3种：：投投影影面面平平行行线线、、投投影影面面垂垂直直线线和和一一般般位位置置直直线线。。前前两两种种直直线线又又统统称称为为特特殊殊位位置置直直线线。。直线线和和它它在在投投影影平平面面上上的的正正投投影影之之间间所所成成的的锐锐角角称称为为此此直直线线对对该该平平面面的的倾倾角角。。本本书书约约定定：：直直线线与与H、V、W三投投影影面面所所成成的的角角分分别别用用，，，，表表示示，，如如图图3.6(a)所示示。。当当直直线线平平行行于于投投影影面面时时，，倾倾角角为为0°°；垂垂直直于于投投影影面面时时为为90°°；倾倾斜斜于于投投影影面面时时，，则则倾倾角角在在0°°和90°°之间间。。1.一般般位位置置直直线线一般般位位置置直直线线对对投投影影面面V、H、W均为为倾倾斜斜，，两两端端点点的的坐坐标标差差都都不不等等于于零零。。如如图图3.6(a)所示示的的直直线线AB，由由此此可可得得一一般般位位置置直直线线的的投投影影特特性性。。3.2.2直线相对于投投影面的位置置及其投影特特性3.2空间直线的投投影分析1)一般位置直线线的三个投影影与其实际长长度的关系为为：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不不为0，故一般位置置直线的3个投影之长均均小于其实际际长度。(2)三面投影均倾倾斜于投影轴轴，且它们与与投影轴的夹夹角不反映该该直线与投影影面的倾角。。(a)(b)图3.6一般位置直线线3.2空间直线的投投影分析2.投影面平行线线在三面体系中中，平行于一一个投影面且且与其他两投投影面倾斜的的直线称为投投影面平行线线。根据该直直线平行于哪哪一个投影面面又分为3种：正平线：直线线平行于V面(=0)，对H、W面倾斜。水平线：直线线平行于H面(=0)，对V、W面倾斜。侧平线：直线线平行于W面(=0)，对H、V面倾斜。投影面平行线线的三线投影影及投影特性性如表3-1所示。且由表表3-1可得出投影平平行线的投影影特性为：投投影面平行线线在所平行的的平面上为一一条倾斜于轴轴线的直线并并反映实长，，与相应投影影轴的夹角反反映直线对另另外两个投影影面的倾角的的真实大小；；直线的另外外两个投影面面的投影平行行线平行于该该投影面，并并倾斜于相应应的投影轴。。3.2空间直线的投投影分析表3-1投影面平行线线的投影及其其投影特性3.2空间直线的投投影分析3.投影面垂直线线在三面体系中中，垂直于一一个投影面且且必平行于另另两个投影面面的直线称为为投影面垂直直线。根据该该直线垂直于于不同的投影影面又分为3种：正垂线：直线线垂直于V面，=90°，==0。铅垂线：直线线垂直于H面，=90°，==0。侧垂线：直线线垂直于W面，=90°，==0。3.2空间直线的投投影分析投影面平行面面的三面投影影及投影特性性见表3-2。且由表3-2可得出投影垂垂直线的投影影特性为：投投影面垂直线线在所垂直的的平面上积聚聚为一点，直直线的另外两两个投影分别别为垂直于相相应的投影轴轴并反映实长长；直线对投投影面的倾角角均为已知，，即为0°或90°3.2空间直线的投投影分析3.2空间直线的投投影分析表3-2投影面垂直线线的投影及其其投影特性由此，我们可可得出这样的的结论：从特特殊位置直线线的三个投影影，可直接获获得直线的实实长和对投影影面的倾角的的真实大小，，而对于一般般位置直线，，则要通过一一定的图解方方法来求解其其实长和倾角角。3.2空间直线的投投影分析特殊位置直线线在三面投影影图中可直接接显示实长及及对投影面的的倾角，有着着良好的投影影特性。而一一般位置直线线的3个投影均不能能直接反映直直线的实长和和对投影面的的倾角，必须须通过一定的的图解方法来来求解。首先，分析如如图3.7所示的空间直直线AB与其投影之间间的几何关系系：在投射线组成成的平面ABba内，过点A作AK//ab，交Bb于点K，得RtΔABK。其中：直角角边AK=ab(水平投影的长长度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B两点间的Z坐标差)，斜边AB即为实长，而而AB与AK的夹角(即斜边与水平平投影的夹角角)为该直线对H面的倾角α。显然，在这这个直角三角角形的三条边边和一个夹角角中3.2.3直角三角形法法求解一般位位置直线的实实长和对投影影面的倾角3.2空间直线的投投影分析只要知道其中中两个要素，，就可画出该该直角三角形形，其他两个个要素也就随随即获得。如如图3.7(b)所示，线段AB的水平投影ab和两端点的Z坐标差均为已已知，故可画画出此直角三三角形，问题题便获解决。。这种方法称称为直角三角角形法。直角三角形法法中所用的直直角三角形是是从上述空间间几何分析中中推理而抽象象出来的，图图解时可直接接作在投影图图中，也可作作在投影图形形之外，如图图3.7(c)所示。在如图图3.7(b)所示的作图过过程中，就分分别用了两个个位置来画直直角三角形：：一是画在水水平投影中，，直接利用水水平投影ab为一直角边，，而另一直角角边Ab为坐标差ΔZ；二是画在正正面投影中，，利用反映Z坐标差的正面面投影b′a1′为一直角边，，而另一直角角边a1′B就等于其水平平投影ab。注意两种作作法都有同一一结果，即斜斜边为实长，，斜边与水平平投影的夹角角为直线对水水平投影面的的倾角。3.2空间直线的投投影分析图3.7求线段的实长长及对投影面面的倾角(a)(b)(c)3.2空间直线的投投影分析同理，利用线线段的正面投投影a′b′或侧面投影a″b″，可与线段AB的实长及和角角分别组成另另外两个直角角三角形，如如图3.8所示。这3个直角三角形形的组成情况况如下：(1)两直角边分别别为直线的水水平投影和Z坐标差，斜边边为实长，水水平投影和实实长的夹角为为，如图3.8(a)所示。(2)两直角边分别别为直线的正正面投影和Y坐标差，斜边边为实长，正正面投影和实实长的夹角为为，如图3.8(b)所示。(3)两直角边分别别为直线的侧侧面投影和X坐标差，斜边边为实长，侧侧面投影和实实长夹角为，，如图3.8(c)所示。用直角三角形形法解题时要要注意以下几几点：3.2空间直线的投投影分析(1)对照图3.8所示的3个直角三角形形可知，对于于同一段直线线，用其中任任意一个直角角三角形，都都可求得该直直线的实长。。但对投影面面的倾角的问问题，则要用用不同的直角角三角形来求求解。如一定定是实长与水水平投影的夹夹角，一定是是实长与正面面投影的夹角角，而一定则则是实长与侧侧面投影的夹夹角。(2)获得直角三角角形的投影体体系一般是两两投影面体系系，不同的投投影体系所对对应的直角三三角形也不同同。求解的直直角三角形从从V/H体系中获得，，求解的直角角三角形从V/H或V/W体系中获得，，求解的直角角三角形从V/W体系中获得。。(3)从图中得知，，每个直角三三角形含有4个要素，若知知其中任意两两个，则此直直角三角形便便完全确定，，由此可求出出另2个要素。凡遇遇到此4要素的问题均均可用此法来来求解。3.2空间直线的投投影分析(a)(b)(c)图3.8直角三角形法法中的边和角角与投影的关关系3.2空间直线的投投影分析【例3.1】已知线段AB的实长为60mm，求出AB的水平投影ab，如图3.9(a)所示。分析：要求解解直线的水平平投影ab，则应利用含含有水平投影影的那个直角角三角形来作作图。而在该该直角三角形形的3条边和一个角角中，已知AB的Z坐标差(从正面投影而而知)和实长两个要要素，因此AB的水平投影ab由此可求(可得两解)。作图步骤：(1)过b′作a′a的垂线b′B0，以a′为圆心60mm为半径画弧与与b′B0交于B0，则得出水平平投影ab的长度，如图图3.9(b)所示。3.2空间直线的投投影分析(a)(b)图3.9作AB的水平投影3.2空间直线的投投影分析(2)过b′作投影连线b′b垂直于OX轴。(3)以a为圆心、ab为半径画弧交交b′b于b。(4)连ab即为所求(两解)。3.2空间直线的投投影分析空间点与直线线的相对位置置有两种情况况：点在直线线上、点不在在直线上。根据平行投影影法中从属性性和等比性的的基本性质可可知：点在直直线上，其投投影必在该直直线的同面投投影上；且点点分线段之比比，其投影后后保持不变。。如图3.10所示，已知点点C在AB上，则点C的3个投影必在AB相应的同面投投影上，且有有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″″∶c″b″。而如图3.10(b)所示点D的水平投影虽虽然在直线AB的水平投影上上，但其正面面投影和侧面面投影都不在在直线AB的同面投影上上，故点D不在直线AB上，如图3.10(a)所示。3.2.4点与直线的相相对位置3.2空间直线的投投影分析(a)(b)图3.10点与直线的相相对位置3.2空间直线的投投影分析根据上述性质质即可判别点点是否在直线线上以及解决决在直线上取取点的作图问问题。要从投影上判判断点是否在在直线上，对对于一般位置置直线而言，，只需从其中中两组投影就就可加以判断断。如在图3.10中，点C的两个投影在在AB的同面投影上上，点D只有一个投影影在直线AB的同同面面投投影影上上。。因因此此点点C在直直线线AB上，，点点D不在在直直线线AB上。。而对对于于特特殊殊位位置置直直线线而而言言，，则则必必须须从从其其三三组组投投影影或或利利用用点点分分线线段段之之等等比比性性来来进进行行判判断断。。如如图图3.11(a)所示示，，因因为为所所给给直直线线AB及点点D位于于平平行行于于侧侧面面的的同同一一平平面面内内，，不不管管点点D是否否在在AB上，，都都有有d∈ab，d′′∈a′′b′′的关关系系。。为为此此，，必必须须根根据据第第3投影影或或利利用用点点分分线线段段之之等等比比性性质质来来判判别别。。图图3.11(b)、图图3.11(c)列出出了了这这两两种种判判别别方方法法。。由由作作图图可可知知，，点点D不在在AB上。。3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析(a)(b)(c)图3.11点与与直直线线相相对对位位置置的的判判别别3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析空间间两两直直线线的的相相对对位位置置有有3种情情况况，，即即平平行行、、相相交交和和交交叉叉(即异异面面直直线线)1.平行行两两直直线线空间间两两直直线线平平行行，，则则其其3组同同面面投投影影必必平平行行。。反反之之，，若若有有两两直直线线的的三三组组同同面面投投影影都都平平行行，，则则该该两两直直线线在在空空间间相相互互平平行行。。如如图图3.12所示，已已知空间间两直线线AB∥EF。过AB、EF上的各点点向投影影面作投投射线，，所形成成的两个个平行平平面与投投影面的的交线也也相互平平行。即即ab∥ef，a′b′′∥e′f′′，a″b″″∥e″f″″。其投影影图如图图3.12(b)所示。从从而不难难得出AB/EF=ab/ef=a′b′′/e′f′′=a″b″″/e″f″″。由此可可得其同同面投影影必平行行，且两两平行线线段长度度之比等等于其投投影长度度之比。。3.2.5两直线的的相对位位置3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.12平行两直直线3.2空间直线线的投影影分析表2-6(要判别两两条一般般位置直直线是否否平行，，只需看看它们的的任意两两面投影影即可。。但对于于特殊位位置直线线而言，，则必须须同时检检查它们们的3组同面投投影。如图3.13所示的两两直线AB和CD均为侧平平线，虽虽然它们们的H、V面投影：：ab∥cd，a′b′′∥c′d′′，但a′b′′∶c′d′′ab∶cd，其侧面面投影a″b″″不平行于于c″d″″，故直线线AB不平行于于CD。3.2空间直线线的投影影分析图3.13两直线是是否平行行的判断断3.2空间直线线的投影影分析2.相交两直直线空间两直直线相交交，其各各组同面面投影必必相交，，且交点点的投影影符合点点的投影影规律。。反之亦亦然。如如图3.14(a)所示，空空间两直直线AB与CD相交于点点K，则交点点K为两条直直线所共共有，根根据从属属性不变变的性质质，两直直线的同同面投影影必定相相交，且且交点符符合点的的投影规规律，即即kk′⊥OX(k′k″″⊥OZ)，如图3.14(b)所示。因因此，对对于一对对一般位位置直线线，要判判别它们们是否相相交，只只需检查查任意两两面投影影的交点点的投影影连线是是否垂直直于投影影轴即可可。否则则，要同同时从3组同面投投影、或或者从交交点的从从属性及及交点分分割线段段的等比比性来判判断。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.14相交两直直线3.2空间直线线的投影影分析如图3.15(a)所示的两两直线AB和EF，虽然其其两面投投影均相相交，其其实在空空间并不不相交。。因为从从图3.15(b)的判别可可看出：：e′k′′∶k′f′′ek∶kf，所以点点K不在EF上，即两两直线不不相交。。同样，，还可通通过作出出其侧面面投影来来判断。。(a)(b)图3.15两直线是是否相交交的判断断3.2空间直线线的投影影分析3.交叉两直直线在空间既既不平行行又不相相交的两两直线称称为交叉叉两直线线。如图图3.13和图3.15所示的两两直线均均为交叉叉两直线线。交叉叉两直线线的3组同面投投影不一一定都相相交，即即使都相相交，其其交点也也不符合合点的投投影规律律。我们们在交叉叉两直线线的同面面投影上上看到的的交点，，实际上上是分别别在两直直线上的的两点在在该投影影面上的的重影点点。利用用重影点点的投影影特性，，可判断断两直线线的相对对位置。。如图3.16所示，交交叉两直直线AB，CD上分别有有两个点点Ⅲ、Ⅳ(点Ⅲ∈AB，点Ⅳ∈CD)，它们在在H面的重影影点为(3)4，由3.16(b)中的投影影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ点在Ⅲ点的正上上方，Ⅲ点的水平平投影3为不可见见，用(3)表示。同同理，在在V面上另一一对重影影点I、II中，点II的正面投投影2′不可见，，用(2′)表示。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.16交叉两直直线的重重影点3.2空间直线线的投影影分析【例3.2】】试判别已已知直线线AB，CD，AE两两之间间的相对对位置，，如图3.17(a)所示。分析：从图中直直接观察察可得出出：AB与AE相交，因因为它们们有公共共点A。对于AB与CD两直线，，由于它它们均为为侧平线线，虽然然其正面面投影和和水平投投影均分分别平行行，但不不能凭观观察直接接定出。。判别方方法有两两种，一一种方法法是作出出它们的的侧面投投影，另另一种方方法是通通过检查查A，B，C，D4点是否共共面。即即分别连连接AC与BD的正面投投影和水水平投影影，使它它们形成成AC与BD两条直线线。由AC与BD两直线的的不共面面，即可可推断出出A，B，C，D4点不共面面。所以以AB与CD为两交叉叉直线，，如图3.17(b)所示。而而AE与CD是一对交交叉直线线，其判判别方法法可用图图3.17(c)所示的等等比性定定理，读读者可自自行分析析判断。。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.17判别两直直线间的的相对位位置3.2空间直线线的投影影分析【例3.3】】求作直线线ST，使其与与已知直直线AB，CD相交且平平行于已已知直线线EF，如图3.18(a)所示。分析与作作图：从从图3.18(a)可知，直直线CD的水平投投影积聚聚为一点点c(d)，故CD为铅垂线线。由于于所求直直线ST与CD相交，故故其交点点T的水平投投影也必必积聚于于点c(d)。又由于于所求直直线ST∥EF，且与AB相交。故故可过点点c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，过s′作s′t′′∥e′f′′交于t′，则st和s′t′′为所求直直线ST的两面投投影。作作图步骤骤如图3.18(b)所示。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.18直线平行与相相交的综合题题举例3.2空间直线的投投影分析空间垂直的两两直线(相交或交叉)，若其中的一一直线平行于于某投影面时时，则两直线线在该投影面面上的投影仍仍为直角。直直角的这一投投影特性称为为直角投影定定理。反之，，若两直线在在某投影面上上的投影为直直角，且其中中有一直线平平行于该投影影面时，则该该两直线在空空间必互相垂垂直。证明如下：如如图3.19(a)所示，设相交交两直线AB⊥BC，且AB∥H面。∵AB⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如图3.19(b)所示。3.2.6一边平行于投投影面的直角角的投影(a)(b)图3.19直角的投影3.2空间直线的投投影分析应用直角投影影定理可以解解决许多空间间定形和定位位的几何问题题，如求作直直角三角形、、等腰三角形形、长方形、、正方形、菱菱形等的投影影作图问题，，以及求解点点与直线间、、两直线间及及直线与平面面间的距离问问题等等。直角投影定理理同样适合于于两直线交叉叉垂直的情况况。读者可自自行证明。如如图3.20所示的两直线线就是交叉垂垂直的情况。。因为直线AB是一条水平线线，且AB与CD的水平投影又又相互垂直，，因此由上述述直角定理可可知，这两条条直线在空间间垂直。又因因为两直线的的正面投影不不相交，且两两直线的两面面投影也不平平行，因此它它们是一对交交叉直线。3.2空间直线的投投影分析【例3.4】试求点A到直线BC的距离，如图图3.21(a)所示。分析：求空间一点到到直线的距离离的问题，也也是过点向直直线作垂线、、并求出该垂垂线的实长的的问题。在本本例中，应从从已知点A向直线BC图3.20两直线交叉垂垂直3.2空间直线的投投影分析作垂线AK，得垂足为K。由于所给直直线BC为正平线，故故由直角投影影定理，应使使其正面投影影a′k′⊥b′c′；然后利用直直角三角形法法求出AK的实长，即为为所求的距离离。作图步骤：(1)过a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，连接ak，得AK的投影(ak，a′k′)；(2)用直角三角形形法求出AK的实长，即a′k0为所求，如图图3.21(b)所示。(a)(b)图3.21求点到直线的的距离3.2空间直线的投投影分析【例3.5】试作出交叉两两直线AB、MN的公垂线EF，并求AB与MN之间的最短距距离，如图3.22(a)所示。分析：如图3.22(b)所示，公垂线线EF是与AB，MN都垂直相交的的直线，EF的实长就是所所求交叉两直直线的距离。。由于AB⊥H面(AB为铅垂线)，又EF⊥AB，所以应有EF∥H面，其垂足E的水平投影e必积聚在AB的水平投影ab处。又由于EF∥H，同时EF⊥MN，根据直角投投影定理必有有ef⊥mn。显然，因为为EF为水平线，其其水平投影ef反映公垂线EF的实长，这就就是所求AB与MN之间的距离。。作图步骤：［［如图3.22(c)所示］。(1)在水平投影面面上过a(b)点作ef⊥mn。(2)由ef及水平线EF的投影特性，，定出其正面面投影e′f′。则e′f′和ef即为所求公垂垂线EF的两面投影，，同时，ef也是所给交叉叉两直线的最最短距离。3.2空间直线的的投影分析析图3.22作交叉两直直线的公垂垂线并求其其距离3.2空间直线的的投影分析析平面的投影影概念可建建立在点和和直线投影影分析的概概念之上。。3.3空间平面的的投影分析析1.用几何元素素表示平面面由几何学可可知，空间间平面可由由下列几何何元素确定定：①不在在同一条直直线上的3点；②一直直线及直线线外一点；；③两相交交直线；④④两平行直直线；⑤任任意的平面面图形，如如图3.23所示。从图中可以以看出，以以上各组元元素可以互互相转化。。同一平面面无论采用用何种形式式表示，其其空间位置置始终不变变。(a)不在同一直直线上的三三点(b)直线及直线线外的一点点(c)相交两直线线3.3.1平面的表示示法3.3空间平面的的投影分析析(d)平行两直线线(e)平面图形图3.23用几何元素素表示平面面2.用平面的迹迹线表示平平面在画法几何何中，空间间平面还可可用迹线来来表示。空空间平面与与投影面的的交线称为为投影面的的迹线。如如图3.24(a)所示。平面面P与H、V、W面的交线分分别称为水水平迹线(用PH表示)、正面迹线线(用PV表示)和侧面迹线线(用PW表示)。PH、PV、PW与投影轴X、Y、Z的交点PX、PY、PZ称为迹线集集合点。3.3空间平面的的投影分析析由于迹线是是投影面上上的直线，，所以它的的一个投影影与迹线本本身重合，，另一个投投影则落在在投影轴上上。在投影影图中，PH、PV、PW直接表示迹迹线本身在在空间的位位置，而处处在投影轴轴上的那个个投影则省省略不画，，如图3.24(b)所示。(a)(b)图3.24用迹线表示示平面3.3空间平面的的投影分析析显然，用迹迹线表示的的平面，其其直观性强强，它形象象地表明了了平面在空空间的位置置。用迹线线表示的平平面称为迹迹线平面。。3.3空间平面的的投影分析析3.3.2平面相对于于投影面的的位置及其其投影特性性在3面体系中,平面对投影影面的位置置有3种：一般位位置平面、、投影面垂垂直面和投投影面平行行面。后两两种称为特特殊位置平平面。平面分别与与H、V、W面所构成的的两面角称称为该平面面对H、V、W面的倾角，，，。显然然，当平面面平行于投投影面时，，其倾角为为0°；垂直于投投影面时，，其倾角为为90°；倾斜于投投影面时，，其倾角在在0°<，，<90°。1.一般位置平平面既不平行也也不垂直于于投影面的的平面称为为一般位置置平面。如如图3.25所示可直接接观察分析析得到一般般位置平面面的投影特特性：由于于平面倾斜斜于投影面面，所以它它的三面投投影的形状状均为空间间平面的类类似形线框框，其面积积均小于空空间平面的的实形面积积，不反映映实形的真真实大小；；3个投影均不不能反映平平面与3个投影面的的倾角的真真实大小。。3.3空间平面的的投影分析析(a)(b)图3.25一般位置平平面的投影影3.3空间平面的的投影分析析2.投影面垂直直面在三面体系系中垂直于于任意投影影面，而与与另两投影影面倾斜的的平面，称称为投影面面的垂直面面。投影面垂直直面可分为为3种：(1)垂直于V面、且倾斜斜于另两投投影面的平平面称为正正垂面。(2)垂直于H面、且倾斜斜于另两投投影面的平平面称为铅铅垂面。(3)垂直于W面、且倾斜斜于另两投投影面的平平面称为侧侧垂面。3种投影面垂垂直面的投投影及投影影特性见表表3-3。由此可得得出投影面面垂直面的的投影特性性：在所垂垂直的投影影面上的投投影积聚为为一条斜线线，该斜线线与相应投投影轴的夹夹角反映出出该平面与与其他两个个投影面的的倾角的真真实大小；；其他两个个投影面互互为类似形形线框。3.3空间平面的的投影分析析表3-3投影面垂直直面的三面面投影及其其投影特性性3.3空间平面的的投影分析析3.投影面平行行面平行于一个个投影面且且必垂直于于另两个投投影面的平平面称为投投影面平行行面。投影面平行行面又可分分为3种：(1)平行于H面的平面称称为水平面面。(2)平行于V面的平面称称为正平面面。(3)平行于W面的平面称称为侧平面面。投影面平行行面的投影影及投影特特性见表3-4。由此可得得出投影面面平行面的的投影特性性为：在所所平行的投投影面上的的投影反映映实形，其其他两个投投影都积聚聚为直线且且平行于相相应的投影影轴。三个个倾角分别别为0°或90°。3.3空间平面的的投影分析析表3-4投影面平行行面的三面面投影及其其投影特性性3.3空间平面的的投影分析析由此，我们们可以得出出这样的结结论：从投投影面垂直直面的3个投投影影，，可可直直接接获获得得该该平平面面对对投投影影面面的的倾倾角角的的真真实实大大小小(其中中一一个个倾倾角角为为已已知知，，即即90°°)，但但不不能能直直接接得得到到其其实实形形；；而而从从投投影影面面平平行行面面的的投投影影，，则则可可直直接接获获得得平平面面的的实实形形(对投投影影面面的的倾倾角角为为已已知知)。对对于于一一般般位位置置平平面面，，则则要要通通过过图图解解方方法法求求解解其其实实形形和和对对投投影影面面倾倾角角的的真真实实大大小小。。3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析由初初等等几几何何可可知知：：①点点在在平平面面上上，，则则该该点点必必在在此此平平面面的的一一条条直直线线上上。。②直直线线在在平平面面上上，，则则该该直直线线必必通通过过平平面面上上的的两两点点、、或或通通过过平平面面内内的的一一点点且且平平行行于于平平面面上上的的另另一一直直线线。。将上上述述两两个个条条件件应应用用于于投投影影法法，，即即可可解解决决在在平平面面上上的的取取点点、、取取直直线线的的问问题题。。如图图3.26所示示，，点点K、直直线线KT和KM均位位于于由由相相交交两两直直线线AB、BC所确确定定的的平平面面上上。。3.3.3平面面上上的的点点和和直直线线3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析【例3.6】(1)在△ABC平面上上过点点C作正平平线CD；(2)并在此此面上上取一一点S，使之之在H面之上上15mm，在V面之前前25mm，如图图3.27(a)所示。。分析：：(1)由正平平线CD的投影影特性性可知知：其其水平平投影影cd平行于于OX轴，正正面投投影倾倾斜于于X轴。利利用这这一投投影特特性，，应用用平面面上取取直线线的几几何原原理即即可求求解出出所求求的正正平线线CD。(2)在平面面上取取定点点S：平面面上的的投影影面平平行线线是一一条与与所平平行的的投影影面等等距的的直线线。据据题意意，所所求点点S应位于于平面面上距距H面为15mm的一条条水平平线EF上，同同时，，它也也应位位于距距V面25mm的一条条正平平线MN上，因因此，，所求求点S应为平平面上上这两两条直直线的的交点点。作图步步骤：3.3空间平平面的的投影影分析析(a)点k在平面abc上(点k过平面上一直线)(b)直线kf在平面abc上(直线过平面上两已知点)(c)直线km在平面abc上(直线过平面上一点且平行平面上另一直线)图3.26在平面面上取取点取取线3.3空间平平面的的投影影分析析(1)作正平平线CD：在水水平投投影面面上，，过c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，连接接c′d′,则CD(cd,c′d′)为所求求，如如图3.27(b)所示。。(2)确定S点：首首先作作一条条平面面△ABC内的水水平线线EF的正面面投影影e′f′，使其其与X轴相距距15mm，然后后再作作出其其水平平投影影ef，以及及平面面内的的正平平线MN的水平平投影影mn，使其其与X轴相距距25mm，mn与ef的交点点即为为点S的水平平投影影s，由此此再定定出S点的正正面投投影s′，即为为所求求，如如图3.27(c)所示。。3.3空间平平面的的投影影分析析(a)(b)(c)图3.27在平面面上作作投影影面平平行线线和取取定点点3.3空间平平面的的投影影分析析3.3.4直线与与平面面、平平面与与平面面的相相对位位置直线与与平面面、平平面与与平面面之间间的相相对位位置有有两种种情况况，即即平行行和相相交。。包括括直线线与平平面、、平面面与平平面的的平行行和相相交，，相交交又有有垂直直相交交和倾倾斜相相交两两种情情况。。1.平行几何条条件：：①如如果一一直线线平行行于平平面上上的一一条直直线，，则直直线与与该平平面平平行，，如图图3.28所示。。②如如果一一平面面上的的两相相交直直线平平行于于另一一平面面上的的两相相交直直线，，则该该两平平面平平行，，如图图3.29所示。。据此此，即即可解解决其其投影影作图图及其其相对对位置置的判判断等等问题题。3.3空间平平面的的投影影分析析图3.28直线与与平面面平行行图图3.29两平面面平行行3.3空间平平面的的投影影分析析【例3.7】】试判断直直线MN与平面△△ABC是否平行行，如图图3.30(a)所示。分析及作作图：根根据上述述几何条条件，如如果能在在△ABC平面内作作出一条条平行于于MN的直线，，则直线线MN就与平面面△ABC平行，否否则就不不平行。。为此，，在平面面上先作作一条辅辅助线DB，使其正正面投影影d′b′′∥m′n′′，再由d′b′找出DB的水平投投影db。因为水水平投影影db不平行于于mn，不符合合直线与与平面平平行的几几何条件件，故知知MN不平行于于△ABC，如图3.30(b)所示。3.3空间平面面的投影影分析(a)(b)图3.30判断直线线与平面面是否平平行3.3空间平面面的投影影分析【例3.8】】试过点S作一平面面平行于于已知平平面△ABC，如图3.31(a)所示。分析与求求解：根根据其几几何条件件，应过过点S作一对相相交直线线，使其其分别平平行于已已知平面面△ABC内的任意意两条直直线。为为此，过过点S作一条直直线SL1∥AB，按同法法过点S再作SL2∥BC，则SL1与SL2所组成的的平面即即为所求求平面，，如图3.31(b)所示。(a)(b)图3.31作平面平平行于已已知平面面3.3空间平面面的投影影分析2.相交直线与平平面或平平面与平平面相交交，就会会产生交交点或交交线。直直线与平平面相交交，其交交点为直直线与平平面所共共有，它它既在直直线上又又在平面面上，是是直线与与平面的的共有点点，如图图3.32所示；同同理，两两平面P和S相交，其其交线为为一条直直线，它它既在平平面P上又在平平面S上，是两两平面的的公有线线，如图图3.33所示。图3.32直线与平平面相交交3.3空间平面面的投影影分析为讨论问问题的方方便和清清楚起见见，本章章只讨论论特殊情情况下求求交点或或交线的的问题。。有兴趣趣的读者者，可从从中找出出规律，，以引伸伸到一般般位置的的线面相相交及面面面相交交问题的的求解。。图3.33平面与平平面相交交3.3空间平面面的投影影分析所谓特殊殊情况主主要指以以下3种：(1)特殊位置置直线与与一般位位置平面面相交；；(2)一般位置置直线与与特殊位位置平面面相交；；(3)一般位置置平面与与特殊位位置平面面相交。。在以上每每一组相相交的几几何要素素中，至至少有一一个要素素的某一一投影具具有积聚聚性，故故可利用用其积聚聚性直接接求交点点和交线线。1)特殊位置置直线与与一般位位置平面面相交如图3.34(a)所示，铅铅垂线MN与△ABC平面相交交。由图图中可以以看出，，由于直直线垂直直于H面，其水水平投影影积聚为为一点，，因此它它们的交交点S的水平投投影s必与之重重合。又又因为交交点S属于△ABC，故可利利用面上上取点的的方法，，即在ΔABC上过点S作辅助线线AD求出s′。直线与平平面相交交，存在在着投影影重叠部部分的可可见性判判别问题题。即判判断某一一同面投投影中直直线被平平面挡住住的一段段，并用用虚线表表示。显显然，其其交点为为线段投投影可见见与不可可见的分分界点，，若在一一侧为可可见，则则另一侧侧必不可可见。可见性的的判别可可利用重重影点的的投影特特性。如如图3.34(b)所示，为为判别直直线MN的正面投投影的可可见性，，可通过过正面投投影中a′c′′、m′n′′的交点［［即重影影点1′(2′)］引投射射线，3.3空间平面面的投影影分析分别交水水平投影影中mn和ac于点1和2，由于点点1在2的前面，，故正面面投影中中2′为不可见见，即点点Ⅱ所在直线线MN的2′s′一段为可可见，用用粗实线线表示；；而其余余为不可可见，画画成虚线线。(a)(b)图3.34特殊位置置直线与与平面相相交3.3空间平面面的投影影分析