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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切2.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.253.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.14.已知集合,集合,则().A. B.C. D.5.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③6.已知,则()A. B. C. D.7.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.8.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.9.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()A. B.C. D.10.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.11.设集合,,则().A. B.C. D.12.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)14.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________.15.在平面直角坐标系中,已知圆,圆.直线与圆相切,且与圆相交于,两点,则弦的长为_________16.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函数,为实数,且.(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数在区间,上的值域(其中为自然对数的底数).20.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.22.(10分)2018年9月,台风“山竹”在我国多个省市登陆,造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失,将收集的数据分成五组:,,,,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议,为该地区的农户捐款帮扶,现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶,设抽出损失超过8000元的农户数为,求的分布列和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论.【详解】解:由题意,圆的圆心为,半径,∵圆心到直线的距离为,,,故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.2.D【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.3.C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.4.A【解析】
算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.5.B【解析】
由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.6.B【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】,本题正确选项:【点睛】本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.7.D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.8.C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.9.B【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【详解】解:已知函数,其中,,其图像关于直线对称,对满足的,,有,∴.再根据其图像关于直线对称,可得,.∴,∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,,故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.10.D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.11.D【解析】
根据题意,求出集合A,进而求出集合和,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意,则故选:D【点睛】此题考查集合的交并集运算,属于简单题目,12.A【解析】
由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.14.【解析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率,利用点斜式求切线方程.【详解】因为,所以,又故切线方程为,整理为,故答案为:【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于容易题.15.【解析】
利用直线与圆相切求出斜率,得到直线的方程,几何法求出【详解】解:直线与圆相切,圆心为由,得或,当时,到直线的距离,不成立,当时,与圆相交于,两点,到直线的距离,故答案为.【点睛】考查直线与圆的位置关系,相切和相交问题,属于中档题.16.【解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)连结.由是正三角形,且为中点,则.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,两两垂直.以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,∴,,.设平面的一个法向量为.由可得,.令,则,,∴.设与平面所成角为,则.【点睛】本题考查了空间几何中,面面垂直的性质,线线垂直的证明,及线面角的求法,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.18.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.通过证明,证得平面,由此证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.设,则,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如图所示的空间坐标系,设,则,,,,,,,,设平面的法向量为,∴,令得.设平面的法向量为,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19.(Ⅰ)极大值0,没有极小值;函数的递增区间,递减区间,(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增区间为,令,得减区间为,所以有极大值,无极小值;(Ⅱ)由,分,和三种情况,考虑函数在区间上的值域,即可得到本题答案.【详解】当时,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得极大值,没有极小值;函数的增区间为,减区间为,,当时,,在上单调递增,即函数的值域为;当时,,在上单调递减,即函数的值域为;当时,易得时,,在上单调递增,时,,在上单调递减,故当时,函数取得最大值,最小值为,中最小的,当时,,最小值;当,,最小值;综上,当时,函数的值域为,当时,函数的值域,当时,函数的值域为,当时,函数的值域为.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值,以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域,考查学生的运算求解能力,体现了分类讨论的数学思想.20.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,结合三角形中位线和长度关系,为平行四边形,进而得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;【详解】
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